Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В частном случае, когда 4г, Х) есть функция некоторого параметра Х, не зависящего от времени, задача сводится к оценке параметра сигнала 4г, Х). При непосредственной передаче в неискажающем канале (с коэффициентом передачи у) з(г, Ь) = уЬ(г), что соответствует линейной связи между сигналом и сообщением, вычисление оценки Ь(г) сводится к линейной фильтрации сигнала 4г, Ь). При передаче с помощью модулированных сигналов я(г, Ь) оценка сообщения Ь(г) в приемнике определяется (вычисляется) демодулятором.
Во многих случаях эта обработка сводится к тем или иным методам фильтрации и может осуществляться как до детектора, так и после него. В обычном приемнике (например, радиовещательном) додетекторная обработка производится с помощью полосовых усилителей, обеспечивающих необходимую частотную избирательность сигналов на входе. Функцию же последетекторной обработки выполняют усилители низкой частоты, которые усиливают и фильтруют низкочастотный первичный сигнал Ь(г), поступающий на вход оконечных устройств (громкоговорителя, магнитофона и т. п.).
Оптимальный демодулятор в общем случае представляет собой нелинейное устройство (нелинейный фильтр), обеспечивающее наилучшее (по заданному критерию) выделение сообщения Ь(г) из принятого сигнала У(г). Теория оптимального приема непрерывных сообщений впервые была разработана В. А. Котельниковым. Мерой помехоустойчивости при передаче непрерывных сообщений может бьггь степень "отклонения" полученной оценки ьИ от переданного сообшения Ь(г). Обычно применяется среднеквадратическое отклонение или средний квадрат ошибки: Е'() = !В(~) -В()!', (8.2) где усреднение берется по всем возможным реализациям Ь(г) и Ь(~) с учетам совместного распределения ю(Ь,Ь).
Разность е(г) = Ь(~) — Ь(г) можно рассматривать как реализацию помехи Е(г) на выходе приемника. Величина Е'(~) =Р,— мощность помехи на выходе приемника. Мощность передаваемого сообщения В(~) считается заданной Р, = В'(~) . Тогда можно определить отношение сигнал- помеха (ОСП) на выходе приемника р =Р,~Р,. ОСП на входе приемника р =Р,~Р . Во многих случаях в качестве критерия помехоустойчивости принимают не средний квадрат ошибки Е'(~), а ОСП р . Отношение сигнал- помеха в канале, как уже отмечалось, может быть улучшено приемником, Это улучшение зависит не только от способа приема, но и от вида модуляции. Поэтому помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообшений удобно оценивать выигрышем р Р, ( Р, (8.3) р Р/Р' При я > 1 отношение сигнал-помеха при демодуляции улучшается.
В некоторых случаях я < 1, что означает, что система модуляции дает не выигрыш, а проигрыш. В различных системах сигналы могут иметь различную ширину спектра, и поэтому при сравнительной оценке систем связи следует определять реальный .или "обобщенный выигрыш системы" через отношение мощностей сигнала не к мощностям помехи, а к их средним спектральным плотностям: Р Р Я (8.4) р ар а' где Р, , Р, Р, ь . а ~ Р.
Р~Р е с ю/ о Р— ширина спектра сигнала; Г, — ширина спектра сообщения. Заметим, что в системе непосредственной передачи, в которой сигнал пропорционален передаваемому сообщению я(~, Ь) = уЬ(1), Р= Г, и р,ы = р,„, выигрыш (7.3) и обобшенный выигрыш (7.4) одинаковы: я = я' = 1. Это означает, что введенный критерий выигрыша сводится к сравнению систем передачи модулированных сигналов с системой непосредственной передачи. На практике используют и другие критерии верности передачи непрерывных сообщений, например критерий разборчивости при передаче речевых сообщений, критерий максимальной ошибки Ь = ~Ь(~) — Ь(~)~ в телеметрии и др. 308 8.2.
ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА Задача оценки параметров сигнала возникает во многих практических случаях. Так, часто требуется определить (измерить) частоту или фазу сигнала, оценить амплитуду сигнала при его передаче по каналу и т.д.. В телеметрии и телеуправлении необходимо оценивать большое число параметров, характеризующих состояние объекта. Таким объектом может быль технологический процесс, нефтепровод, летательный аппарат, экипаж и т. п. В этом случае передаваемыми сообщениями явля)отея контролируемые параметры, представляющие собой случайные величины, не зависящие от времени.
Модуляция при этом сводится к установлению некоторого параметра Х сигнала х(г) в соответствии с переданным сообщением, а демодуляция — к выявлению (оценке) этого параметра с возможно большей точностью. В простейшем случае, когда оценивают один параметр сигнала заданной формы, задачу ставят следующим образом. Пусть принимаемое на интервале (О,У) колебание У(г) представляет собой аддитивную смесь сигнала з(г,Х), зависящего от одного неизвестного параметра Х, с шумом М(г): У(г) = х(г,Х) + М(г), 0 < г < Т.
(8.5) Полагаем, что параметр Х имеет постоянное значение на интервале наблюдения (О, Т) и известна априорная плотность вероятности этого параметра сз(Х). Требуется определить оператор системы, гарантирующий получение наилучшей оценки параметра и рассчитать точность этой оценки.
Из-за шума в канале и случайного характера параметра Х точное измерение его невозможно. Можно лишь указать его приближенную оценку. Качество оценки параметра, называемой точечной„обычно проверяется на выполнение трех условий: — состоятельности, состоящего в том, что оценка Х сходится по вероятности к оцениваемому параметру Х при неограниченном увеличении времени анализа (или объема выборки), т.е.
анри ~ > 0 1йп Р~~Х вЂ” Х~~~~=О. При этом, естественно, дисперсия ошибки стремится к нулю: гч 1пп Р(,Е)= оп Р(Х вЂ” Х)=О. — несмещенности оценки, состоящего в том, что условное МО ошибки при всех Х должно равняться нулю: Е =Х-Х= О или Х=Х; — эффективности оценки, состоящего в том, что дисперсия ошибки Р(В) должна, при заданном времени анализа или объеме выборки быть минимальной в классе всех возможных оце- „2 нок: Р(В)=(Х вЂ” Х) = пап. Очевидно, вся информация о переданном параметре (сообщении) Х после приема колебания (8.5) содержится в апостериорном распределении сз(Цх), которое согласно формуле Байеса (5.5) зе(Х1х) = и (Х)и(х1 Х)и(х) .
(8.б) На основании анализа апостериорного распределения (8.6) принимается решение об оценке передаваемого параметра Х. При больших отношениях сигнал-шум апостериорная плотность вероятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного значения параметра Х. Это обстоятельство указывает на 309 Вг(Л) ~(Л Л) ~(Л~х)~й~ л (8.9) дЯг(» ) Оптимальная оценка Л находится из условия —. = О.
й~Л После дифференцирования выражения (8.9) по Л с учетом того, что ~ ю(Л~х)аА = 1, получаем 2Л вЂ” фв(Л~х)аА = О, откуда л л Л=~Л (Л!х)а, (8.10) л т.е. оптимальной оценкой параметра является в данном случае математическое ожидание апостериорного распределения. Критерий среднеквадратической ошибки является частным случаем более общего критерия, когда минимизируется МО некоторой функции потерь Ь(Л-Л), т.е. Ь(Л вЂ” Л) = 1 ф — Л)и(Л~х)аЛ. (8.11) л Оценку, минимизирующую эту величину, называют байесоаской оценкой, а критерий, основанный на минимизации (8.11),-как и в дискретном случае 1см. (5.17)1, — критерием среднего риска.
При Ь(Л вЂ” Л) =(Л-Л) критерий минимума 310 то, что в качестве оценки целесообразно взять то значение Л, которое обращает в максимум функцию и (Л)х) . Во многих практических случаях априорная плотность вероятности в(Л) оказывается неизвестной и ее полагают равномерной: ю(Л) = сопзг на всем возможном интервале й. При этом координата максимума апостериорной вероятности будет совпадать с соответствующей координатой условного распределения и(4Л), которое определяет функцию правдоподобия. В этом случае правило максимума апостериорной плотности вероятности переходит в правило максимального правдоподобия.
Здесь оценка параметра Л определяется из условия аЬ(4Л) (8.7) Оценку параметра, получаемую по этому критерию, называют максимально праодолодобной. Уравнение правдоподобия (8.7) можно записать в эквивалентном виде: ~ъ Щ поскольку 1п х — монотонная функция своего аргумента и, следовательно, корни (8.7) и (8.8) совпадают, Оценка определяется тем корнем уравнения (8.8), который соответствует максимуму функции правдоподобия. Другим весьма распространенным критерием оценки параметров сигнала является оценка по минимуму среднеквадратической ошибки.
При этом критерий минимизируется по Л: (8.13) где 2 т д(Л) = — г) гяур(~, ~~си . (8.15) ~о о Нетрудно убедиться, что для сигнала л(~), зависящего от нескольких параметров, функция правдоподобия в(~Л) и апостериорная плотность вероятности и(2~Л) будут определяться аналогичными выражениями, в которых Л'='(Л„Л„..., Л„). Отсюда следует, что при известной априорной плотности вероятности определение апостериорной плотности вероятности сводится к вычислению функции 4Л). Эта функция с точностью до коэффициента равна скалярному произведению пришедшего сигнала с ожидаемым вариантом сигнала 4г, Л).
Ее среднего риска (8.11) переходит в критерий среднеквадратической ошибки (8.9). В этом случае байесовская оценка определяется выражением (8.10). Если а(Л~х) симметрична относительно Л„,, что имеет место при большом отношении сигнал-шум, то критерий максимума апостериорной вероятности и максимума функции правдоподобия совпадает с критерием минимума средне- квадратической ошибки. Если значение параметра Л постоянно на интервале наблюдения и приня- тое колебание представляет собой аддитивную смесь (8.5) полезного сигнала 5(~,Л) и БГШ М(г) со спектральной плотностью У,/2, то вектор х, определяю- щий принимаемое колебание в функциональном пространстве, является слу- чайным гауссовским вектором, среднее значение которого з(г,Л), а дисперсия совпадает с дисперсией шума. Рассуждая так же, как в 8 5.3, получаем т (~~)=с~р( — Я ~~~- щ ~~), (8.12) ~о о где с — постоянный коэффициент, а согласно (8.6) и (8.12) т .Щ-ь,Р>.(~~)=в,~ц..( Д,и ~д1'а), ~о о где /с — некоторая постоянная, которая может быть вычислена из условия нор- мирования ) и(Л~х)сВ=1.
Упростим это выражение, преобразовав показатель л экспоненты ~~х) = В~я тр — — 1~'ий~ ~р~ — 1 '(~,х)а~ щ~ — 1 ы~~,х)а) . ~Оо ° ~, 'О. 3 ~,~«Оо В правой части этого равенства первый экспоненциальный множитель не зависит от Л и его можно включить в постоянную. Второй множитель равен ехр( — Е/М~), где Š— энергия сигнала. В тех случаях, когда параметр Л неэнерге- тический, т.е. энергия сигнала не зависит от Л, этот член также можно вклю- чить в постоянную х. При этом условии последнее выражение можно записать так: в(г~ Л) = Ь~(Л) ехр(~у(Л)), (8.14) часто называют корреляционным интегралом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
