Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Она определяет те существенные операции, которые нужно выполнить над г(г), чтобы извлечь всю доступную информацию о переданном сообщении А. Оптимальный приемник максималь- ного правдоподобия воспроизводит то сообщение 2„для которого функция а7(Х) максимальна.
Пример. Найти оптимальную оценку коэффициента передачи канала т(амплитуду сигнала, прошедшего через канал), полагая, что принимаемый сигнал т(т) = тв(т) + то(г), где в(г) — точно известно на приеме, а )о(т) — БГШ со спектральной плотностью )оа. Функция правдоподобия для этого случая согласно (8.12) т йч= — Д*и-оиГ") 'Уо о Уравнение (8.8) максимального правдоподобия принимает вид =- — ~~х(~)-тЯ~Яа= о, 1а (хРо) г " вг 'уо или после преобразований т „т — — Г~г(~ддй+ — т~ в'яй = о .
~о о ~о а Отсюда искомая оценка т т т = — ~хЩе~й! =у+ — ~ ИивЯЙ . (8.16) о а Измеритель для получения такой оценки может быть реализован фильтром, согласован- ным с сигналом в(г)/.Е или с эквивалентной корреляционной схемой. Определим качество найденной оценки. Из (8.16) видно, что при Т-о е (Е -о е) погрешность оценки т 1 г т-т = — ~ Го'(ф(фй стремится к нулю, т.е, данная оценка является состоятельной, несмещено ной (поскольку М(г)= О). Она является также эффективной при гауссовском шуме 1о(г).
Дис- персия ошибки (имеюшая гауссовское распределение) с учетом (5.46а) будет 0(Е) = —. ~Уо 2Е 8.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ Определим условия оптимального приема непрерывных сообщений. Пусть сообщение представляет собой некоторый стационарный процесс (первичный сигнал) с реализацией Ь(г). Он может непрерывно изменяться во времени и принимать любую форму. Для простоты анализа будем считать, что функция Ь(г) принимает значения от -1 до + 1, что реализации сообщения имеют конечную длительность Т и что их спектр практически ограничен частотами от О до Гс.
При этих условиях функция Ь(г) может быть разложена по ортонормированному базису (цЧ,(г)) и представлена в виде усеченного ряда в Ь(г) = ХЛ, р,(г), (8.17) о-1 где 2,» — случайные коэффициенты, определяющие передаваемое сообщение. При разложении в тригонометрический ряд Фурье 2.» пропорциональны со 312 ставляющим спектра, а при разложении в ряд Котельникова — отсчетным значениям Ь(М) функции Ь(1). Здесь Л = 1/(2Г,), В = Т/Л = 2ТГ,. Таким образом, при известной системе базисных функций (ц!Ь(1) передача непрерывных сообщений Ь(1) эквивалентна передаче В значений коэффициентов (параметров) Хр,.
Для передачи по каналу колебание Ь(1) преобразуется в сигнал в(1, Ь). Поскольку колебание (8.17) определяется параметрами Х1, ()с = 1, 2, ..., В), то и сигнал зависит от этих параметров. Принятое колебание с учетом наложения помехи г(1) = в(1, Ь) + пЯ = 41, Х) + п(1). (8.18) Влияние помех приводит к тому, что каждый параметр Хь будет принят с некоторой погрешностью ЛХ~. В результате оценка сообшения Ь(1) = ~~~,(Х, +,) „(1) = Ь(1) + (1), (8.19) й=! где е(1) = ль = ~Ах„!р,(1) — погрешность воспроизведения сообщения ь(1) (шум А 1 на выходе приемника). Таким образом, задача оптимального приема непрерывного сообщения Ь(1) сводится к задаче совместного оптимального приема совокупности многих параметров Х =(Х„Х„..., Х ).
Эта задача является обобщением рассмотренной в 8 8.2 задачи оптимальной оценки одного параметра. Итак, по реализации г(1) необходимо восстановить переданное сообщение Ь(1) с возможно большей точностью, хотя бы при слабых помехах. Для этого необходимо на основе анализа принятого колебания ~(1) найти максимум апостериорного распределения в!(Ь|х), которое на основе формулы Вайеса может быть представлено в виде и(Ь!х) = Ь~(Ь)и!(х!Ь), (8.20) где 1 — постоянный коэффициент.
Функция правдоподобия и(г!Ь), входящая в выражение (8.20), известна (для рассматриваемого гауссовского канала — это гауссовское распределение). Априорное распределение в(Ь) зависит от вида и характеристик передаваемых сообщений Ь(1). Выбор конкретной модели априорного распределения в(Ь) является не столь существенным 12б1. Роль начальных, априорных сведений уменьшается с увеличением объема наблюдений. При большом объеме наблюдений алгоритмы обработки сигналов получаются асимптотически одинаковыми, т.е.
мало чувствительными к априорному распределению. Поэтому ограничимся рассмотрением модели равномерного распределения в!(Ь) = сопзг. В этом случае решение задачи упрощается, так как согласно (8.20) апостериорное распределение и(Ь|х) будет полностью определяться функцией правдоподобия и(х!Ь), которая для гауссовского канала определяется выражением, аналогичным (8.12): т' (~ь)=сщ( — П~0)-~~!и)! й~. 1~10 О Согласно этому выражению максимуму функции правдоподобия и(х!Ь), а следовательно, и функции и(Ь! х) соответствует минимум по Ь(1) интеграла г ш1вЯ~(1)- (1,Ь(1))! в!1.
(8.21) О 313 где 2 7 Ч(Ь) = — )гЯ~ф, Ь(г))я1 . (8.23) ~а а Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определение апостериорной вероятности сводится к вычислению Функции а)(Ь), т.е. скалярного произведения принятого колебания г(Г) на переданные (ожидаемые) сигналы г(г,Ь(г)). Во многих случаях для приближенного нахождения д(Ь) целесообразно применение простых следящих устройств. Рассмотрим принципиальную возможность построения таких устройств. Подробное и более строгое обоснование на основе теории нелинейной фильтрации приводится в 5 8.8. При передаче непрерывных сообщений сигнал я(ЬЬ(г)) не является полностью известным. Однако обычно имеется некоторая априорная информация об этом сигнале.
Известны, например, несущая частота, вид модуляции, ширина спектра сигнала и т.п. Часть информации можно получить в результате наблюдения над принятой реализацией сигнала г(г) за предшествующий промежуток времени. В результате имеется возможность определить оценку сигнала \ г "а г(г, Ь(г)) и вычислить функцию а1(Ь) для этой оценки: т д~Ь) = — ~гЯ~~,ЬЯ~й~. (8.24) ~а а Функцию а( 1Ь ) можно найти с помощью фильтра с переменными параметрами (рис.
8.1) или схемы следящего коррелятора (рис. 8.2). Каждая из этих схем имеет основной информационный канал, на выходе которого получается оценочное значение Ь(г) передаваемого сообщения, и канал обратной связи, с помощью которого в схеме рис. 8.2 формируется опорный сигнал з~г,Ь(г)), а в схеме рис. 8.1 с помощью управляющего элемента (Уэ) производятся изменения параметров фильтра СФ так, чтобы он был согласован с непрерывно изменяющимся ожидаемым сигналом г(г,Ь(г)).
В схеме рис. 8.2 с помощью УЭ изменяется модулируемый параметр несущего колебания, формируемого генератором (Г). При частотной Рнс 8.1. Структурная схема демодулятора со следящим фильтром Рнс.8.2. Структурная схема следящего корреляционного демодулятора 314 Значит, оптимальный приемник должен воспроизводить сообщение Ь(г), которое соответствует, как и при передаче дискретных сообщений, тому из а возможных сигналов г(г,Ь), который меньше других отличается в среднеквадратическом смысле от реализации сигнала г(1) на входе приемника. При отсутствии помех такой приемник воспроизводит сообщение без искажений (без ошибок): г(г) = г(г', Ь(г)), Ь(г) =Ь(г) и Е'(г) =О, а при наличии помех ошибка минимальна.
Запишем (8.20) в другом виде, подобном (8.15): н'(Ь! 8) = Ью(Ь)ехр(п(Ь)], (8.22) модуляции, например, этим параметром будет частота, при временной импульсной модуляции — сдвиг импульсов во времени и т,п. Фильтр нижних частот ФНЧ в этой схеме выполняет роль интегратора на интервале наблюдения Т, который связан с максимальной частотой Р, в спектре передаваемого сообщения соотношением Т = 1/(2г",). Рассмотренные схемы являются квазиоптимальными, поскольку получаемая оценка з(г,Ь(г)) не является наилучшей возможной. При различных видах модуляции принцип следящего приема остается одним и тем же. Вид модуляции определяет параметр, за которым должно осуществляться слежение.
Иначе говоря, оптимальный приемник должен с наименьшей ошибкой следить за передаваемым случайным колебанием Ь(г). Схемы следящего приема позволяют практически реализовать помехоустойчивость, близкую к потенциальной. При линейной модуляции, когда ~ЬЬ(~)) = Я~)Ь(~), где Я() — известная функция (несущее колебание), оптимальный демодулятор можно реализовать разомкнутой схемой с синхронным детектором (рис. 8.3). Перейдем к определению помехоустойчивости систем связи при оптимальном приеме. Заметим, что эту потенциальную помехоустойчивость можно вычислить, не уточняя структуры оптимального демодулятора.
Для этого достаточно знать, что он выдает решение Ь(г), соответствующее минимуму (8.21). Прежде чем приступить к выводу формул, определяюших потенциальную помехоустойчивость, напомним основные принципы классификации видов модуляции при передаче непрерывных сообщений. В общем случае модуляция за- . ключается в том, что множество сообщений (первичных сигналов) В(г) преобразуется (отображается) в множество вторичных сигналов 5(г) = 5(г,В(г)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
