Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 85
Текст из файла (страница 85)
8.8. Построение схемы удобно начинать с интегратора. Для этого обозначим правую часть (8.71) через у(») = у!(») + )2(»), где у,(») = — 7 (+(») — 7(»)Ь(»)),'у,(») = — аЬ(») . Тоща уравнение (8.71) запив»вт!!о ся как !»Ь/!»»= у(») . Отсюда следует, что если на вход интегратора подать напряжение у(»), то на его выходе получим оценку сообщения Ь(»). Для того чтобы сформировать напряжение у!(»)„необходимо иметь генератор Г несущего колебания Я»), два перемножнтеля, сумматор и усилитель с коэффициентом усиления 2/»»Фо. С помощью этих устройств осуществляются все операции, входящие в выражение для у!(»). Напряжение у!(») получается с помощью усилителя с коэффициентом усиления а, на вход которого поступает напряжение оценки Ь(»). Суммарное напряжение у(») = у»(») + )2(») с выхода сумматора поступает на вход интегратора, выход которого представляет оценку Ь(»).
Для немодулнрованного сигнала, когда з(», Ь) = Ь(»), в (8.71) и (8.72) нужно положить Я») = 1, и схема фильтра Калмана примет более простой внд (рис. 8.8, б). Пример. Рассмотрим фильтрацию гауссовского марковского сообщения в канале с амплитудной модуляцией, когда для передачи сообщения Ь(»), заданного (8.67), используется сигнал ~», Ь) = Ь(»)зшо!о». (8.73) Это сигнал АМ с подавленной несущей. Уравнение наблюдения в этом случае согласно (8.70) (8.77) 8.8.
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 1Ь вЂ” = -аЬ + — (2г(г) в)па вг — Ь(1 — сов 2а о~)1 (8.76) ьго Практически период колебания несущей Т= 2я/вс в т„= 1/а, т.е. а «ав, где т„— интервал корреляции сообщения Ь(г), При этих условиях слагаемым, пропорциональным сов2ивб можно пренебречь. Тогда имеем 1Ь - Ь г . -з ( — =-аЬ+ — ~2в(Г)в)пав~-Ь~=-~а ь — ~Ь+2 — в(Г)в)павГ. М У Ьо Ьо Уравнение (8,77) можно моделировать линейным Я 1/,л17 фильтром разомкнутого типа (рис.
8.9) с постоянной 2(г) времени 11С = 1/(а + /с/АГа). Постоянная /с, равная с, А Ь(г) ошибке фильтрации, определяется из уравнения (8.72). С Как видим, оптимальный фильтр (демодулятор) для 2в1пв,/ 3 сигналов (8,73) представляет собой схему когерентного рис,8,9 Структурная схема оптимального (синхронного) детектора с интегрирующим ЯС- демодулятора АМ сигналов фильтром.
В случае обычной АМ с несущей, когда в(», Ь) = Ус[1 + глЬ(Ь)в)пввб синхронный детектор выделает огибающую [17, +ец>ъ(~)1, и поэтому для получения на выходе оценки ссюбшсння в схему включены разделительный конденсатор, устраняющий постоянную составляющую 1/в, и атгенюатор А с коэффициентом затухания 1/(тг/в).
Для немодулированного сигнала, когда /(г) = 1 и в(г) = Ь(г), уравнение оценки (8.76) принимает внд ИЬ - ив -1 ( 2ь) 2ь — = — аЬ+ — (в(г)- Ь1= — '( а+ — )Ь+ — ф) . (8.78) Л А,( ! ~ М,3 М, Это уравнение моделируется интегрирующим фильтром с постоянной времени 71С = 1/(а + 2/в/Агд) и усилителем с коэффициентом усиления 2/с/АГв, Можно показать, что в этом случае, когда сигнал цг) и шум М(~) стационарны, ФК совершенно эквивалентен ФКВ, Однако для решения многих практических задач обработки сигналов н, в частности, данных телеизмерений, фильтры Калмана по вычислительной структуре оказались более удобными, чем реализуемые варианты фильтров Колмогорова-Винера.
Во многих случаях сигнал в(г,Ь) (например, при ЧМ, ФМ, ФИМ) является нелинейной функцией передаваемого сообщения, и уравнение наблюдения становится нелинейным. Может быть нелинейным и уравнение состояния. Основополагающие результаты по теории нелинейной фильтрации, из которой, в частности, следуют и результаты линейной теории, получены Р.Л. Стратоновичем. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В.И. Тихонова, Н.К. Кульмана, Ю.Г. Сосулина и многих других авторов 1261. В настоящее время теория нелинейной фильтрации наиболее разработана для двух случаев: сообщение Ь(г) моделируется гауссовским случайным процессом или представляет собой марковский процесс. Здесь остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов, порождаемых линейным дифференциальным уравнением (8.67).
Уравнение наблюдения задано в виде 2;(Г) = в(Г, Ь) + У(Г), 0 < Г < Т, (8.79) где 8(г, Ь) — нелинейная функция Ь(г). Как и в предыдущем случае, шум У(Г) считается белым гауссовским с нулевым средним значением и односторонней СПМ Мо. Не нарушая общности в уравнении (8.67), можно положить Аг~ = 4/а, Тогда Ь(г) будет нормированным безразмерным процессом с единичной дисперсией (мощностью), а измене- 331 Е'(1) = лба[В(1)- В(1)1 (8.82) то, как известно (см.
8 8.2), оптимальной оценкой является МО апостериорного распределе- ния Ь(1) = М[ (Ь!*)~ = ) Ь (1(х)1Ь (8.83) При этом погрешность оценки можно характеризовать апостериорной дисперсией е,*= ~(,Ь-Ь)* ~Ь|х)1Ь (8.84) в Таким образом, для вычисления оптимальной оценки и ее погрешности необходимо знать плотность апостериорного распределени в(Ь|х), которая согласно формуле Байеса (8.6) определяется двумя множителями ю(Ь) и в(в|Ь) (см.
(8.20)). Плотность вероятности в(Ь) фильтруемого процесса Ь(г), удовлетворяющего (8.67), определяется из (8.80). Условная плот- ность вероятности в(х|Ь) (функция правдоподобия) легко находится из уравнения наблюде- ния (8.79). Так как сигнал з(б Ь) является известной функцией аргументов г и Ь, а шум имеет гауссовское распределение, то и а(х|Ь) также будет гауссовским. При этом оценка Ь(1) явля- ется оптимальной не только по критерию минимума среднеквадратнческой ошибки, но и по критерию максимума апостериорной вероятности.
Апостериорная вероятность содержит всю информацию о передаваемом сообщении Ь(г), которую можно извлечь из наблюдаемого сигнала г(г) на интервале (О, 7) и априорных сведе- ний о Ь(г). В работах Р.Л. Стратоновича показано, что апостериорная плотность вероятности а(з| Ь) реализации Ь(Г) в конечный момент времени наблюдения определяется следующим не- линейным дифференциальным уравнением 126): — ю(Ь!х) = — [А,(б Ь)а(Ь! г)1+ — — [А (б Ь)а(Ь|в))+ [Ь (б Ь) — РФ, Ь)]в(Ь|а) . Здесь А1 и Аз — соответственно коэффициенты сноса и диффузии; Г(б Ь) — производная по времени от логарифма функции правдоподобия: г'(0Ь)= ~ 1а х|Ь).
(8.86) В общем случае с точностью до постоянных г(1,ь) = — [г(1) — (1,ь)1, 1 (8.87) ьо а применительно к неэнергетическим параметрам сигнала (например, для частоты и фазы) ~(бЬ) = ~ зЖ.Ь) (8.88) ь~о (8.85) ззг ния глубины модуляции того или иного параметра скажутся лишь на коэффициенте (индексе) модуляции. Поскольку процесс, описываемый стохастическим уравнением (8.67), является марковским (диффузионным), изменения во времени его плотности вероятности а(Ь, 1) определяются уравнением Колмогорова-Фокера-Планка (2.30), которое в данном случае имеет вид — ьд) = — ~оьъу(ь, 1)1+ — Ц вЂ” ~9(ьд) . д = д 1 д~ д1' ' дЬ ' 4 'дЬ' (8.80) Для большей общности можно рассматривать передачу сигнала в канале с флуктуз(рующей фазой ~р(г), которую часто представляют процессом с независимыми приращениями, описываемым дифференциальным уравнением дэ7д1 = ь,(1), (8.81) где Фз(г) — белый гауссовский шум с нулевым средним значением и односторонней спектральной плотностью мощности Фз.
Все белые шумы, фигурирующие в рассматриваемой задаче, взаимно независимы. Располагая этими априорными данными, нужно найти устройство, которое бы с наименьшей погрешностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное колебание Ь(г). Если в качестве критерия оптимальности используется критерий среднеквадратической ошибки где Уо и соо — априорно известные значения амплитуды и ч1зстоты; М вЂ” индекс фазовой модуляции; ср(с) — процесс, описывающий флуктуацию начальной фазы; сп д(1) с реализацией ь(с) положим нормированным одномерным марковским гауссовским процессом. Для нахождения уравнения оценки определим функцию ст(с,Ь) . Согласно (8.88) ф Ь) = — г(с)о(с, Ь) = — 'т(с) сев[а,с+ В(с)1 (8.93) '1о ЬСо Запишем уравнение оценки, полагая вначале, что флуктуации начальной фазы отсутетвуют: ср(с) = сро.
Подставляя (8.93) в уравнение (8.91), получаем — =-аЬ(с)- о з(с)з(вкусо 1+0(с)1, (8.94) с11 ЬСо где 9(с)= МЬ(с)+сро Построим структурную схему фильтра, выделяющего из наблюдаемого колебания с(с) оп- 2ИЛУ, тимальнУю оЦенкУ Ь(С). ДлЯ этото обозначим ' з(С)з(в(сооС+6(С))=У(С) и пеРепишем (8.94) а'1 о в виде у(с) = ь(с)+ — —. (8.95) а с11 Яепсо убедиться, что если подать напряжение у(с) на интегрирующую ЯС-цепь, где ЯС = 1/а, то напряжение на конденсаторе будет равно Ь(с).
Для того чтобы сформировать напряжение у(с), достаточно иметь автогенератор с частотой Д~, моделируемый по фазе сигналом Ь(с) с индексом модуляции М, и перемножитель, осуществляющий умножение напряжения автогенератора на входное колебание г(с). Амплитуда автогенератора Уг = 2/сМУо/(алСо). Коэффициент /с определяют решением нелинейного дифференциального уравнения (8.91). В данном случае для установившегося режима ., аЬСо 2М Боло (8.96) Таким образом, определяем один из возможных вариантов схемы для получения оптимальной оценки Ь(С), изображенной на рис. 8.10. Здесь Пà — подстраиваемый генератор, фаза которого модулируется с помощью управляющего элемента (УЭ). Это не что иное, как схема автоподстройки фазы автогенератора по входному колебанию т(с).
Благодаря этому она обладает в известной степени свойствами саморегулирования, в частности малочувствительна к точности установки начальной фазы сро автогенератора и его амплитуды. Однако, если начальная фаза подвержена значительным (по величине и скорости) флуктуациям, схема рис.
8.10 становится далеко не оптимальной. Если фаза ср(с) флуктуирует, то приходится решать уравнение совместной оценки Ь(с) и ср(с). В этом случае структурная схема оптимальното демодулятора ФМ сигнала несколько усложняется по сравнению со схемой рис. 8.10, так как теперь надо модулировать управляемый генератор сигналом О(с) = ЫЬ(с) + ф(с) . При ЧМ в (8.92) 6(с) = асо) Ь(с)с1с+ср(с), В остальном характер всех соотношений сохраняет- о ся. Схема оптимального нелинейного фильтра по структуре такая же, как и для ФМ. Отличие заключается в том, что в подстраиваемом генераторе модулируется не фаза, а частота. 334 Несюзлько отличаются также коэффициенты усиления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
