Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Если у = 1 — и (и — число натуральное) и в то же время как а, зак и р отличны от чисел: О, — 1, — 2, ..., 1 — т, то и =-«Р(а+и, [)+т; 1+т; «), и»=«Р(а+ и, р+т; 1+и; «)1п«+ +,-У «( +™'4+т1' Р*(7,) — ~*(О)) (1+т)»»~ «-с «™и (см. 9 14 2.), -Х (1 — а — и)» (1 — р — т)» »=с где И(п) =ф(а+и+и)+ф(р+и+п) — ф(1+т+п) — ф(1+п).
Заметим, что ф(а+гс) — ф(а)= — + +... + (сравни 8.3653.) 1 1 1 и что прв а = — Х, где Л вЂ” натуральное число или нуль и п = Л+ 1, Л+2, ..., выражение (а) „[ф (а+ п) — ф (а)1 в формулах 9Л532. — 5. следует аамепить выражением ( — 1)~ Л! (и — Л- 1)!. 6 Пусть у=1 — и (и — число натуральное1 и в то же время а или р равно целому числу — т', где пс' — одно из следующих чисел О, 1, ..., пс — 1. Пусть, например, а= — т'. Тогда и,=Р( — и', р; 1 — т; х), и =Р( — и'+и, р+и; 1+и; «) 1 7. При у = — (а+ р+ 1) ,-г(«.» ~ +с+с~; ). 1 ив= Р(а, р; —; — (а+р+1); 1 — «) МО 18 являются двумя линейно независимыми решениями гипергеометрвческого дифференциального уравнения, если только а, Р и у отличны как от нуля, так и от целых отрицательных чисел.
МО 17 — 19 Аналитичесное продолжение решения, правильного в точке «=О 9.154 Формулы 9.153 делают возможным аналитическое продолжение в область ~«! > 1, ~агд( — «)~ < я функции Р(а, [1; у; «), определенной впутрикруга ~ « ~ < 1 гнпэргсометрическим рядом При этом предполагается, что а — р не является целым числом Если же а — р — целое число, например, если р=а+т [т — число натуральное1, то при !«~) 1, ~аг6( — «)!<и имеем: 1062 3 — 9 спвциАльныв а>ункции г® нь — $ згв я(у - а) ( ~ Г (а-( Л) Г(1 — у+а+й) Г (ж — к) й! ( ь=-з ; — и — й+ г а ~в у Г (а-)-т-+ а) Г (1 — у+а+и+А) Й~ (Ус+т)~ й=з где 2 д (и) = 1н ( — г) + я с1я я (у — а) (- Яп + 1)+ ф (л+ т+ 1)— — ф (а+ т+ л) — ф (1 — у + а+ т+ и).
ти — $ При т=О следует положить ~~~ =0 к=о 9.155 Эта формула теряет смысл, когда а, у или а — у+ 1 равно одному из чисел О, — 1, — 2, ... В этом последнем случае имеем 1. Если а — целое отрицательное число или нуль, а у не равно целому числу, то Р(а, а+т; у; г) представляет собой многочлен относительно г. 2 Пусть у — целое отрицательное число или пуль, а а пе является целым числом Полон им тогда у= — Х, где 1=О, 1, 2,, ('огда Г(а+3~+1) (а+1+ш+1) г"+~Р а+)Ь-' 1 а+ 1+ т+ 1 1+2 г) + является решением гипергеометрическо~ о уравнения, правильным в точке г=О Зто решение раьно правой части формулы 9.154 1., если вней и и формуле 9.154 2 у заменить через Х 3 Если а — у (- 1 — целое отрицательное число или нуль, а а и у не представляют собой целых чисел, то можно воспользоваться формулой Р(а, а+т; у; г)=(1 — г)~ " Р(у — а — т, у — а; у; г) Й, (г) + 1п (1 — г) Л~ (г), гдо Л,(г) и Й,(г) — рациональные функции от г Чтобы получить зту форму решения, следует к функции Р(а, р, у; г) применить формулы 9.137 1.— 9.137 3.
Однако если у= — А, где 1+1 — натурачьное число, то формулы 9.137 1. и 9.137 2. следует применять не к Р(а, р; у; г), а к функции гЧ 'Р(а+ 1+1, р+ 1+ 1; 1+ 2, г) Последовательным применением ъкз зпных формул мокно половите ~ьные значения параметров принести к дьоике, едипвце и п~ лю Далее из формул Р(1, 1; 2; г) = — г г 1п(1 — г), Р(0, р; у; г) =Р(а, 0; у; г) = 1 получаетс)г указанная форма решения.
МО 19 — 20 и применить н ее правой части формулу 9.154 1., если только у — а — т > 0; если же а — у — т - О, то правая часть этого выражония представляет собой мпогочлеп, умпоженный па степень 1 — г 4 Если а, р и у суть целые числа, то гипергеометричегкое дифференциальное уравнение всегда имеет решение, правильное при г = 0 и имею щее вид 1064 8 — 9. СПЕЦИ АЛЬНЫЕ Ф2«ПИНИИ а Ь с О 1)+а+у 9 л а' — а р'+а+у у' — у у х~ 1. и =Р а р а' Р' О «О 1 ( х) Р О 2-« .1. О а' — а р'+а+у у' — у МО 23 Таким образом, ато решение следующим образом выражается через гипергеометрический ряд: 2.
и=( — ) ( — ) Р(а+2+у, .~.2'4-у; 1-« Если постоянные а, Ь, с; а, а'; р, р'„у, у' соответствующим образом переставить, то римавово уравнение не изменится Таким образом получастсн совокупность 24 решении дифференциальных уравнений, которые (при условии, что ни одна из разностей а — а', р — р', у — у' не является целым числом) имеют следууощнй вид: УВП67, М023 9 163 4. «,=( — ) ( — ) Р(~'«24-у', '+2'1-у';1-1- ' — а; 9.164 ,,-(*=')'( — 'Г Р(24-у-1~24-у 4:1-;-2 — С'; '," ") .
3.,=(* ')'(' ') Р(2-УУ-~ ' 1+У'-У 114-2 — 2" [,и а) и независимой пероменной х . Переменная з 'связана с переменной хдробполинейным преобразованием Тем же дробнолинейным преобразованием связаны точки а1, Ь, с с точками а, Ь, с. ~В1265, МО2О 9.162 При помощи последовательного применения обеих формул преобразования 9.161 1. и 9.161 2. дифференциальное уравнение Римана и ер еходит в гипер геометрическое дифференциальное уравнение; таким образом, решение дифференциального уравнения Римаыа можно выразить через гипергеометрическую функцию. При к= — а, 1= — у и г2= (2 — а) 1С Ь) имеем: 12 — Ь) (с — а) а — 9 специ АльпьГе Функции 9Л7 Запись некоторых диффереяциальныл уракпевнп второт о порядка с помощью схемы Римана 9.171 Гипергеометрическое уравнение 1см. 9.151). 0 оо 1 0 а 0 а УВП78 9.172 Уравнение Лежандра, определяющее функции Р™,(х) ~и и и — целые числа] (см 8.700 1.): 0 оэ 1 1 1 1 — х — т и+1 — ш 2 г 2 УВ 11 120 1 1 — — ш — и — — т г г О 1 — л~ УВ 11 134 2 и=Р 9.173 Функция Р'„"(1 —,~ удовлетворяет уравнению УВ 11 168 Функция 1 ~х) удовлетворяет предельной форме етого уравнения, получающейся при и — ~ оэ 9.174 Уравнение, определяющее многочлены С~1х) 1см.
б.938). 1 — — и+2Л вЂ”,— Х О -и О УВ 11 135 9Л75 Уравнение Бесселя 1см 8.401) есть предельная форма уравнений 0 оо с тс У В 11 181 1 — — и 2 1 —,+тс х 2 1 —,— ~с 2 1Об7 0.1 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКИИИ О со С 2. и =- с'=Р УВ11 181 и я — и — ', — 21с 21с — 1 2 — я — (с — л) 1 1 2 2 О г' УВ11 181 1 1 — — и — — 1С+ и) 2 2 получающаяся при с — э оо. 9.18 Гипергеометричеекпе функции двух переменных 9.180 1.
Р1а Р р' у.х у1=~ ~ "х д". (у)т~~Р'-' " аъ=0 я=0 ВТФ! 224 (б), АК 14 (11) Область сходимости 1х!С1, ~у1<1. О(~з ~~э 1 уэ у 1 *э У/= ~ ~ ( ) (, ) ~ у У т=О и=-0 АК 16 БТФ1 224(7), АК 14(12) Область сходимости ~х~+~ у~ ( 1. АК 17 СО Ю вЂ” Π— О ВТФ1224(8), АК 14(13) Область сходимости АК 17 ~х~~1, ~у,<1. 4 Р (а Р . у . х ) ~ ~ ( ) в(Р) +в ххуп 4 а1 ъ Чь Ую Х1 У (>) пав=0 а=0 ВТФ224(9), АК 14(14) Область сходимости 1~/*1+1~' у ~ < 1.
АК 18 9 181 Функции ЄЄР, Р удовлетворяют следующим системам дифференциальных уравнений в частных производных относительно з. г — г СПКЦИАЛЬНЫЕ Фг НКПИИ 1. Система уравнений для 2 =Р1: дгз дгз х (1 — х) —, + у (1 — х) —, + + [у — (а+ [1 + 1) х] — ру — — арз = О, у(1 у), +х(1 — у) + [у — л+ Г+ 1) у) —," — 8'х —" — пр'2 = о.
2 Система уравнений для 2=Уз: дзз дзз дз х(1 — х) —,,— ху д д +[у — (а+Р+11х1 —,— 1 ВТФ 1 233 (9) дз — ру — — ар2 = О д = г ВТФ 1 234 (10) у (1 — у) —,' — ху —.+ [у' — (а+ р'+ 1) у) —— дд д ду дф дз г — р х — — а[3 2=0 дх 3 Система уравнений для 2=Уз: дгз д'з х(1 — х) — +у + + [у — (а+ р + 1) х) — — арз = О, дз дзз дзз у(1 — у) — +х — + дуз дх дх ВТФ1 234 (11) + [у — (а'+Р'+1) у1 д — а'хр'2=0 дд 4.
Система УРавнений ДлЯ 2=Уз дгз дгз дгз х (1 — х) — — уз — — 2ху + дхз дуз дх ду +[1 — а+~+1)х) д, — (а+Р+1)у — — аР2=0, дз дз дгз дзз д'з у (1 — у) — — х' — — 2ху — + дуг дзг дх ду дз дз + [у' — (а+ р+ 1) у) — — (а+р+ 1) х — — ар2=0. дц дх ВТФ 1 234 (12), АИ 44 1.
Р (а, Р, р', р+р', х, у',=(1 — у) Р(а, р; Р+р', *— .„")- ВТФ1238 (1), АК 24(28) 2. Рз(а, р, р', р, у', х, у)=(1 — х)~3~а, р", у', з ) . ВТФ1238(2), АК23 9.182 При некоторых соотношениях между параметрами или аргументами ггшергео метрпческпе функции ппух перемеппьгс выражаются через ~ ппер ометрические функции одпон переменнои или через элементарные функции: 1070 8 — 9 спвциАчьные (Ръ'нкции 2. Р (а, р, р'; у, у'; х, у)= / / =(1 — х)-"Р [ а, у — р, Р', у, у'; =(1 — у) "Р. [ а, Р, у' — Р', у, у', =(1--х — у) Р,~а, у — р, у'--р', у, у х 1 у, а+1 — р; —, — )+ У У у, Р+1 — а; —, —,.
у у/ ВТФ1240(9), АК26(37) Двойные интегралы эйлерова типа г (у) Р1(а. р р у' х. у) — Г(8) Г®) Г( )) а) ~ иа — 1цв' — 1 (1 — и — а)У-а — а'- (1 — цх — цу)-а 4у44 41ц ( и>О, »О~ и+ о~1 [Ве~ > О, Вер' > О, Не(у — )4 — ~') > 0]. ВТФ1230(1), АК28(1) Г(у) Г(у') 2.
Р,(а, р, р', у у', х, у)- Г01)г(Г)г( )) (, Р,)х 11 х 1 1 в- оа'- (1 — ) -в-1(1 — )т -Π— (1 —,у)-«Ы,Ь О О [НеР > О, Не)4' > О, Не(у — р) > О, Ве(у' — р') > О]. ВТФ1230(2), АК28(2) Ф / г (у) "". (а а ' Р. В ' у' х' у) г( г(г')г — р--р') х х [ [ и ~ - <1 — — )- -~-~ <1 — ) ~1 — д) (и~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
