Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 89
Текст из файла (страница 89)
111П 10. Й ° Га 127 Х А васо Р-всю Га 127 Х1 Га 127 Х11 ВТФ1101 911, Га127ХХ ВТФ1101;11>, Га127ХХ1 ВТФ1101;11~, Га 127ХХ11 Га 127 ХХ111 28 Р'1 —, 1; 2; 4 (1 — в)~ = —, ~14< —, 1в(1 — з'1< 4 ~ ,/1 г 11 24 Р 1 2, 1; 1; язп в =явсв. ,/1 11. 12. И. 14 15. 16. 17. 18. 19. 20, 21.
22. в.з ГИПЕРГЕОМЕТРИЯЕСКИЕ ЮУНКЦИИ Г1 — зз,1;2; з ~ (С+в)и — Зи ПЗЗВ-1 Г(1, 1 2 — в'1= ~ ~~+ 1 1+з !и— Г(-,'. 1; !; ~)= 1пп7 1 1, й; 1; — 1=1+г11шГГ1, й; 2: — * ~ 3 зз 'з вшз ь г~й, й', —; — —,)= —. 2 ' 4йй') з 1 зз~ 2 4АА / 11ш Р'~й, й', —; — —,1 = сова. А -еао /1 1 3 . в ~ з ~2' 2' 2' ) вшз' Р~1, 1; —; япвв) 3 3 2 ' вза з сов з Г" ~ —, 1; —; — ЪДвл) = , /и+1 и — 1 3 .
з 91п вз 2 ' ) ввшз' /п+2 и — 2 3 . ~ вш пз Р*~ —,, — —; —; я1езв ~= г' и 51П 3 СОВ 3 в — 2 и — 1 3 1П Из 2 ' 2 ' 2 ' ) пьшзсови 1з' , /и+2 и+4 3 и ~ вшпзсови 1з 2 ' 2' ) пвшз ,/в и 1 Р ~ — †. — япР в) = соя ззв. э 2 ъ з 1 /В+1 в 1 1 . в 1 Сов Вз Р'~ —, — —; —; я1п л) з и и — 1 1 *в з совпз 7 — — — — —.
— 1д в) ии ь 2 ° 2 е о ) совиз' Га 127 Х111 Га127Х1У Га 127 ХУ Га 127 ХУ1 Га 127 ХУ11 Га 127 ХУ111 Га 127 Х1Х и — 9. специАльныи Функции / 1 1 3 ~ агсэшл (сравни 9Л21 13.). 27. г" —., 1; —,; — г* 28. Р'~ —. —; —, -У) = ,/1 1 3 д~ Ажьз (сравни 9.121 26.), ~ттт )— , ~1+-и 1 — а Э ~1 в1о ~в агсмп х) (сравни 9.121 15.). ~сравни 9.121 16.). , сравни 9. 12! 17.).
31. Р ~ —, — —,; —; и ~=сов пагсвшз) ;сравни 9.121 20.). 32 Р 1+и 1 — и 1 в сов 1п агсмв ) (сравни 9.121 21.) 1 — з~ Представление специальных функций через гипергеометрическую функцию см.: для полных эллиптических интегралов 8,113 1., 8Л14 1.; для ишь ралон ог цилиндрических функций 6.574 1., 3., 6.576 2. — 5., 6.621 1 — 3.; для полииомои Лежандра 8.911, 8.916 (все эти гинергеометрические ряды обрываются, т. е. эти )яды обрашаются в конечные суммы', для функций»1ежапдра 8.840, 8.837, для гпаровых функций 8.702, 8.703, 8.751, 8.77, 8.852, 8.853; для полиномов Чобыгзова 8.942 1.; для полиномов Якоби 8.962; для полипомов Гегенбауэра С„(т) 8.932; для интегралов от функций параболического цилиндра 7-726 6. 9Л22 Частные значения.
Г ()») Г (у — а — [)) 1 Р (а, Р; у; 1) = [Ке у > Ке(а+ р), Ке у ) Ке р > О). Гв 147 (48), Ф П 793 2 Р(а, р; у; 1)=У(-а, — [1; у — а-р; 1) [Иеу) О[; Га148(49) [Ке(у — [)) > 0'); Га 148(50) [Ке(у — а) ) 01. Га148(51) 3 Р 1,1; —. 9ЛЗ Формулы иреобразования и аналитическое продолжение для функций, определяемых ги^оргеометрическими рядами 9.130 Ряд г'(а, р; у; г) определяет аналитичес кую функци ю, кото'рая имеег, вообще говоря, в точках я =О, 1, со особенности (в общем случае точки ветвления).
Раврелем х-плоскость вдоль действительной 1057 з 2 Гипергиомжтвичжскик Ф22нкции оси от точки я=1 до точки з= со, т. е. потребуем, чтобы цри ~г~ ~л1 имело мосте неравенство (агд( — з)( (22. Тогда ряд Р(а, Р; у; г) в рааре)апной плоскости судет давать однозначное аналитическое продолжение, которое (если только у+ 1 не является натуральным числом, а а — )) и у — а — () не являются целыми числами) осуществляе)ся с помогцью ни)кеприведрпн)ах формул Зти формулы дают возможпогть вычислигь значения Р в заданноч области также и в том случае, когда ~ г ~ > 1.
К ним примыкают еще некоторые дальнейшие формулы преобразования, которые в случае наличия соответствующих соогяошений между а, Р, у могут служить также для аналитического продолжении. МО 12 Формулы преобразования Га 218 (92) 9 132 Р(р%)(1)~~(У~(В~)Рррр+1'~)+ +(1 — я) — Р~ (), у — а; р — а+1; 1. М013 -() Г (у) Г (а - В) Р' 1 Г (о) Г (у — В) ' 1 — л,Р Р(а, р; у; з) = „"(Ю"'1 — '') 1).,--Р(,,,+1 т) „11 2; 1)+ + Г (у) Г (а в В) 1 а Г (~ Г(а) Г(у — ))) ( — 1) я-рР~ф, р+1 — у; ))+1 — а; — ~.
1 а 220 (93) Р(2, 221 -)-2-).—,';,) =Р(,, 2; .1.2.). '; 4л)1,)~ ~! з1" ~, $ з (1 — з) $< 4 ~ . УВ 11% 9.134 1 Р)~, 2; 22; з)-(1 — — ) Р( —,, —; 2+ —; ( ) 1 МО 13, ВТФ 1111(4) Р<2., 2т+1-1; т) )=)1+*)-"Р(, т+ — ': т; .). Га 225 (100) Р(% +2 — т. 2+т: ')=)1+ ) Р(~, 21 22;,). Га 225 (1И) Бу таблллы ллтегралов 9.131 1. Р), 2: т; *) =)1 — *Г Р( т 2' т' Га 218 (91) =11- Г'Р(2. -',',~): =(1 — г)~ " Р(у — а, у — (); у; г). 2. Р(а, р; у' зЫ г — ГТ вЂ”  — Р(а' ~' а+ар — у+ 1; 1 — з) + Г (у) Г(у — а В) -(-(1 — з) —,, Р(у — а, ~2-~; у — а — р+1; 1 — з). а Г (у) Г ( -Р — у) 2 (12) 1 (2)) ВТФ194, М013 1058 в — в спкиилльныи эмннции Р(а, р; а+~3+ ~, ян'1р) =Р(2а, 2р, а+р+ —; вш' — ) х=я1п — действительно; (х < — ~ .
МО13 З ГГ 1 — У2 1 з 2 9.135 9Л36 Полояжм Г(о+1+2 )Г( Т) , р(.+~+-'')'(~) г( ~г«)г(0-'; —,.')' г<щг(р) тогда Р (2«, 20; а.1-0 1- —,;:) = =АР(а, 0« —; «)+02« Р(а+ —, 0+ —, —, «) Г 221 (1061 Р(2«. 20; 0-0+ —: ~, *)- =АР(а, р; —; г~ — В р'гР(а+ —, р+ —; —; г) . Га 228(107) С --') (0-В „„(„, 2 1+)Р 0) - *) . Г. Е«0,110) =Р(2а — 1, 2Р— 1; а+р — —; 1 -Р(2а — 1«2Р— 1; и+р — —,; 1 9Л37 1.
Рекуррентные формулы Гаусса. у[у — 1 — (2у — а — р — 1) г]Р(а, р; у; г)+ + (у — а) (у — Д) гР (а, р; у + 1; г) + у (у — 1) (г — 1) Р (а, р; у — 1; г) = О. (2а — у — аг+рг)Р(и, р; у; г)+(у — а)Р(а — 1, р; у; г)+ + а(г — 1)Р(и+ 1, р; у; г) = О. (2$2 — у — 12г+аг)Р(а, р; у; г)+(у — р)Р(и, Р— 1; у; г)+ +р(г — 1)Р(а, р+1; у; г)=0. уР(а. р — 1; у; г) — уР(и — 1, р; у; г)+(а — р) гР(и, р; у-1-1; г)=0. у(а — р)Р(и, р; у; г)-а(у — р)Р(и+1, р, у+1; г)+ +Р(у — а)Р(а.
Р+1 у+1; г) =0 у(у+1)Р(и, Д; у; г) — у(у+1)Р(а, р; у+1; г)— — иргР(а+ 1, р+ 1; у+ 2; г) = О. уР(а, р; у; г) — (у — а)Р(а, р+1; у+ 1; г)— — а (1 — г) Р (и -1- 1, р + 1; у+ 1; г) = О. уР(и, ~3; у; г)+ф — у)Р(и+ 1, р; у+1; г)— — «рг(1 — г)Р(а+1, р+1; у+ 1; г)= О. 1059 в 1 Гине РГиометРичиские Функции 9. у(у — [)г — а)Р(а, р; у; г) — у(у — а)Р(а — 1, р; у; г)+ +а[1х(1 — г)Р(и+1, Д+1-, у+1; 10 у(у — аг — р) Р(а, р; у; г) — у(у — [)) Р(а, р — 1; у; г)+ +арг($ — г)Р(а+1, $)+1; у+1; 11. уР(а, р; у; г) — уР(а, р+1; у; г)+.агР(а+1, р+1; у-(-1; 12 уР(а, [1; у; г) — уР(а+1, р; у; х)4-~гР,'а+1, р+1; у+1; 13 у[а — (у — р)г]Р(а, р; у; г) — ау(1 — г)Р(а+-1, р; у; г)+ +(у — а)(у — р) гР(а, р; у+ 1; 14.
у[р — (у — и)г]Р(а, р; у; г) — ру(1 — г)Р(а, р+1; у; г)+ +(у — а)(у — р)гР~а, [); у+1; 15. у (у -+ 1) Р (а, р; у; г) — у (у+ 1) Р (а, р+ 1; у+ 1; г) + +и(у — ~) гР(и+ 1, Д+ 1; у+ 2; г) =О. г) =О. г) =О. г) =О. г) =О. г) =О. г)=0. 16 у(у+1~Р(а, р; у; г) — у(у+1)Р(а+1, [); у+1; г1+ +р(у — а)хР(и+1, р+1; у+2; г~=О 17 уР(а,'р; у; х) — (у — р)Р(а, р; у+1; г) — рР(а, р+1; у+1; г) =О. 18 уР(а, р; у; х) — (у — а)Р(а, р; у+1; г) — аР(а+1, [Ф; у+1; г)=-О. МО 13 — 14 9.14 Обобщенный гипергеометрическпй рнд Ряд (о1)~~ (о~)х ..
(пр~) 2 1. „Р„(а„а, ..., ар, -~„~~, ..., [Ъо, г) = ~~, ь — о называется обобщенным еииергеометрическим рядом (см. также 9.210). МО 14 2 Р (а, р; у; г) =Р(а, р; у; г). МО 15 Инте| ральные представлении см 3.2542, 3'.2592., 3.4783 9.15 Гипергеометричеекое дифференциальное у равнение 9.151 Гипергеометрический ряд является одним из решений дифференциального уравнения и*и Ыи г(1 — г) — „,+ [у — (и+ р+ 1) г] — — ари = О, УВ 11 67 называемого гиаерееометрическим.
решение гипергеометрического дифференциального уравнения 9.152 Гкпер~еометрнческоо дифференциальное уравнение 9.151 обладает двумя липеппо нез анисимы ми рептенкями. Огп ропгония могут быть неограниченно аналитически продолжаемы на всю г-плоскость, эа исключением, быть может, трех точек г = О, 1 и сю, Вообще ~оворя, тачки х=О, 1, со являются точками ветвления по крайней 67" 1090 8 — 9 специАлъные <Ръ'ннции мере одной из ветвей каждого решения гипергеометрического дифференциального уравнения Отношение ш (х) любых двух линейно независимых решении удовлетворяет дифференциальному уравнению 2 а~ 3 ~ ю 19 1 — а] 1 — а1 а1+а1 — а1 — 1 и' ~,в' / 89 + (а — 1)9 + а(9 --1) где а, '= (а — р)'.
а', = (1 — у)', а,* = (у — а — Р)9, Если а, р, у действительны, то функция геях отображает верхнюю ~1ш х > 0) или шиьнюю 1т х ( О) полуплоскости па криволипсйпыи треуг ольник, углы при вершинах лоторого равны яа„пах, лаз Вершины этого треугольника являются образами точек 8= 0, х= 1, х= с~э, 1.
Если у пе является целым числом, то и,=Р,а, Р; у; х), и, = х' — ' Р (а — у+ 1„р — у -)- 1; 2 — у. х). 2. Если у=1, то и,=Р(а, ]); 1; х), и =Р(а, ра; 1; х1)пх+ + У> х~,, (Ф(а+А) — ф(а)+$9+И вЂ” 'Ф(Р— 2$'3+1)+2~р11)) (а)ь (Р)ь (см. 9.14 2.). 3. Если у=т+1 (т — число натуральное) и в то же время и а и ]) отличны от положительного числа, мепьшшо или равного п., то и,=Р а, р; л8+1; х), иа=Р~аэ ]1) )и+'1; х) 1пх+ + у,ь(')8Ф)а (б,),) д(0)) ) ("-1))( — ),- + - * (1 .), ( . <1 — )„ <1 Р), ' (см.
9.14 2.), где Ь(я) =$(а+и)+~(])+и) — $(пг+1+я1 — ф~п+-1) 1л+ 1 — число натуральное]. 4. Пусть у=т+1 (кг — число натуральное) и в то же время а или ]) равно л9'+1, где 0;~ т' <, лх. Тогда, например, при а = т'+1 мы получим: и, = Р (1+ и', р; 1+ вт; х), и,=х ~Р(1+т' — а8, ]) — ж; 1 — т; х). В атом случае и является мнегочленом относительно г ~, 9.133 Внутри единичного круга )г~ <1 линейно независимые решения и, х', и и (х) гппергеометрического дифференциального уравнения даются следузнцими формулами: 1061 9! Гипеггвоиктгичвсния Функции 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
