Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Далее нас интересуют те рептснпя уравнения 8.700 1, для лоторых з или р или т и и суть целые числа Особое значение имеет тот случай, когда р =О. 8.701 В соответствии с этим мы будем пользоваться следующими обозначениями Буквой г мы будем обозначать любую комплексную величину, буквой х мы будем обозначать дейсз вительную переменную, изме- 1013 а.г — а а шлговыв ~с ьигичвскив о дикции Буквы ц, и означают натуральные числа или нуль. Буквы т, р, если нет никаких оговорок, озпачзют любыс комплекснью числа. Верхнип индекс, если он равен нулю, опускают, т, е. полагают Р~ (г) = Р„(г), ф (г) = ~1„(г), Р~~ (г) = Р„(г), Две линейно независимые функции 8,702 Р",1г) = Г +1;г .Г Г(1-р),.— 1 ) (, Р~ — ~, т+1; 1 — р.; агп — =О, если г действительно и больше 1~ и а+1 г — 1 вювГ (т+р.+1) Г ~ —, 8.703 ~о(г) — — ( ~ (г' — 1) г ' к ' х 2"+ Г м+— МО 80, УВ11122 [агд '(гг — 1) = — О, когда г действительно и больше 1; агд г = О, когда г деиствительно и польше нуля~, Х109 (44), я10 80 являющиеся решениями дифференциального уравнения 8.700 1., называются шаровыми функциями (или присоединенными фунгв1илми .Уе:мсандра', соответственно 1-ео и 2-го рода.
Они определены и притом одцсзна'шо соответственно в областях )1 — г! < 2 и ~г) > 1, из которых исключена часть действительной оси, лежащая между — со и + 1; с помощью гипергеометричсских рядов опи могут быть неограниченно продолжены на зсю г-плоскость, в которой сделан указанный разрез.
Эти выражения для Р" (г~ и ~1,(г) теряют смысл, когда 1 — )г, соответственно ~+ —, являются 3 целыми отрицательными числами или равны нулю. а10 80 Когда г — действительное число, лежащее на отрезке [ — 1, +11 ',г = х = соз ~р), за линейно независимые решения уравнения принимают функпии: 8.704 Р,",(г) = —, [ей Р~ ~(соз <р+ 10) + е г" Р~~ (сов (р — 10)~; ВТФ1 143 Щ ( ~*)'Р( — т, ~-1; 1 — р; . ). ВТО!143[6~ няющуюся на отрезке [ — 1 ~~ х < + Ц; мы будем иногда полагать х = соз~р, где ~р — дейс~вигельное число. Символами Р„" (г), О," (г) мы будем обозначать те рюпсния уравнения 8.700 1,, которые при ~ г ~ ( 1 однозначны и регулярны и, в частности, однозначно определены при г = х Символами Р" (г„г)", (г) мы будем обозначать тг рсшсшзя уравнения 8.700 1., которые прп Нег > 1 однозначны и регулярны; когда этв функции не могут быть неограниченно продолжены осз нарушения нх однозначности, то производят разрез вдоль действительной оси слева от точки г = 1.
Значения функции Ря(г) и Я(г) на верхней и нижней грапш1ах части разреза, лежащей между точками — 1 и +1, обозначаются соответственно так: Р,"(х ь 10), Щ(х + 10). 8 — 9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1 1 8705 (;~" (г)= — е Р"" ~ е з ф(х+10)+ег Я(х — 10~ ~; ВТФ1 143(2) ~Р»(х) созрл —,( ~+ Р "(х~~ (сравни 8.7325.) ВТФ1 143(13) При р = ~- т целом последнее равенство теряет смысл; для етого случая при помощи предельного перехода получается. 8.766 11. (~„(х) =( — 1 (1 — х')г — Я (х) (сравни 8.752 1). ВТФ1 149 (7) ВТФ 1 144 (18) Функции Щ(г, при т+ д, равном целому отри цате льно му числу, пе определены Поатому из последующих формул с л е д у е т исключить случаи, когда»+д= — 1, — 2, — 3, Линейно независимыми решениями дифференциального уравнения при»+р ~О, -ь 1, ь 2, ...
служат функции Р» "(+ ), У»+",~ ), Р+" (+ г), О»" (~ ). 8.707 Все же о п р е д е л е н и е д в у х л и я е й н о н е з а в и с и и ы х решений возможно в любом случае, а именно Дифференциальное уравнение 8.700 1 при»+ )1, ие равном целому числу, имеет следующие решения $ Р»+~,'-~ г), ~»~(~ г), Р»~ 1(~ г), Д~»1" 1(~ г) 8.71 Интегральные представлении 8.711 в 1 1 (ге — 1)г ~ (1 — ез) 2 ф.- Г (,.~.,) ~,1'-~- У" — з"-" ~ йе р, ) — —, )аг~ (г ~ 1) ( ( 1т~ .
МО 88 или соответственно при г = х = сов 1р 2 Р»" (~х), ф+,"(~ х), Р+» 1(~ х), О™» 11+ х). Если т-ь)г не равно целому числу, то решения 3. Р" (г), ()в (г) и соответственно Р„" (х), ф (х) линейно независимы Если» -1- р — целое число, но д не равно целомучислу, то линейно независимымв решениями уравнения 8.7001. являютсяфункции: 4.
Р»(г), Р в(г) и соответственно Р„"(х), Р»" (х) Если 11= ~ т, » =и или т= — и — 1, то линейно независимыми решениями уравнения 8.700 1 при и > т являются функции 5 Р„(г), Щ(г) и соответственно Р„(х), Я™(х), а при и т — функции 6 Р„(г), ~„1г) и соответственно Р„(х), 0„(х). 1О15 В 7 — В В ШАРОВЫИ (СФЕРИ~ХНСИИЕ) Ф~ИНБИИ 2. Ри (В) — '" " " ~ [е.+]Iе* — 1сееф~ сеешфдф; О 1 с1 ч(ч — 1) ...
(~ — ш+1) 1 сочтфсйр и [з+ ф л~ — $ ссь ф] + 0 [ ! агО л ! < —, агд (л+)/л' — 1 СОВ ф) = аул при ф = — 1 (сравни 8.8221 ). СИ111 483(15), УВ11 123 Ч'~(,+ —.) Г[~ — ), (-1) .~ (х+г л 1сыг) [Ке(~ ~ )В) > — 1, !агД(з -)- 1) < 7(] (сРавни 8.822 2.У. М088 сиада Г (у+ 1) сы )$ й а 4 Я'х)= ('( — Р-(-» ( -~-)~ — ( Ы7) +' [Ке(ъ-(-Р) > — 1, Ке(В > — 1, ! агд(г -)- 1)! < 7(] (СРавни 8.821 2.). М088и, ВТФ1155(5)и 8.713 с"" Г м+ — в 1 ф(г)= ( — 1) Х К Лгт 1~ Г (М "-(. —;~" е ~ с(й с (д ссег) В (з+сы 7) [ Ке р > — —, Ке ('7+ р.) > — 1, ! аги(г ~ 1) ! < л~ .
! ыеъ'+1 ( 2'т ()~ — ~) Г (у-(-Ц д (л-(-сЫ г)~+"+~ о МО 89 [Ке В > — 1, ! агд (з ~ 1) ! < 7В, Ке(я+1'1 > О, Ке ()~ — ~) > О]. МО 89 в ( ) ° — )' (р-)- — ~(лз — 1) "свеч+ — 1гЖ 3 р„-;.) = (з+сы |) [КОВ> — 1, !агд(л-(-1)! <7(, Ке(д+р)> — 1,Ке(р,— т)>0] М089 [Ке(ч+р) > — 1, 'ч ~ — 1, — 2, — 3, ..., ]агд7В ~ 1'! <7(] УВ11134и, М088 и 7 87!2 (С(,~-' "'"Н+ '(Я-1, г [~1 — и( ~,-~) ~ -'Й г(.+» Ф вЂ” ' — Я 1О16 8 — О. СПИЦИАЛЬНЫИ ФЪ'НКЦИИ 8.714 + —,) 1В1 / 1~ ~ 2 в(с1" Ф ~ 2) (! ) ( О (ссв1 ссв1р) 2 ] 0«р< я, Вер,< — ); (сравни 8.823) СО и (1,, Г (2)1+1) 81нв ~р Вт (сое ц3) 2~'Г ()1+ 1) Г (~+)1+1) Г(р — т) 1 В+2 1 О (1+2 ссв1р+(в) 2 [Ве ( ч + р) > — 1; Ве ()8 — 11) > О].
Ос 1 Г (в+ р.+ 1) 81вв\р О~ (соя ) 2Р+1 Г (м — (1+ 1) 1 Х г (р+ — ~ ЯЬ2в1 вЬ28 Ю Х ] [ „,+, „~,)Н1 О ~ Ве (т+ р + 1) > О, Ве ( с — р + 1) >О, Ве (2 > — — ~ . МО 87 МО 89 М089 1 Г (м+)1+1) в(нв 1р г~ р+ —,) СО вЬ2в г Х р+ вн рсЬ|)'+в+11 О ] Ве(т ~ [1-~-1) >О, вЬ2в1 „) „1 , ~Ю~ Ве(1 > — — ~ . М089 1 1~ 1/28Ьс в с ( +2 ) 1.
Р„" (с)1 а) = ~, 2 )1,~ О (сЬа — сЬ1) ~ а >О, Ве)8< — ~ МО 87 Г (р.)-~ -~ — ) [( -~-а-) — ) у — (2Й-)-1!";~— ] ==Г(т+р,+1) ~ ~ г(н — й-~-.) иг(„~ ~ '~и,ьс"'г 2,/ 5я -1-)1 — 1, — 2, — 3, ...; -1'- — —,, — —., — —...; нри — < р<— 1) 2. Щ(сна)= $/~ 2,, 1 ~ 1 Г ~ — Р. ),„в+2 ~. 2 у (сЬ1 — сЬа) ~ а > О, Ве (1 < —, Ве (т+ (8) — 1 ] . М087 1 См.
такя~е 3.277 1., 4., 5., 7., 3.318, 3.516 3., 3.518 1., 2., 3.542 2., 3.663 1., 3.894, 3.988 3., 6.622 3., 6.628 1., 4.— 7., а твкх1е 8.742. 8.72 Асимитотические рнды для 6ольших ] т] 8.721 Для действительных значений р„~ с ) >> 1, ~1 ]:2 ~ р,~, ~ атк О~ < 28, имеем: 1 Р1" (соыр) = 1018 в — 9 спжциАльные Фтнкции 8.723 О поведении функций Р,",(г и ®(г) при болыпих ~т~ и действи- 3 тельных значениях г) = можно судить на основании равенств. 2У2 1~ 1. Р" (с)2 ) = ~ Х р'й Г ( — т — р) „+1 (2Я 1) 2 1 3 Х Р р+ — — р,+ —. + —.
— 11+ 2' 1 — е211 l г~ ~- — ) 1 Г ( — в+1) 2 ' 2 ' 1 — е2~ / ( Зх 1) 2 ' . ° ° ' 1 3 5 1 2 Щ(сЬ а)=ввя12")/я +) + ), вЬ"ах 1 1 3 1 ХГ(р+ —, — р,+ —; т+ —; 1 — ег~ ./ [р+т+1 чь О, — 1, — 2, ..., а > — 1п2~ . МО94 МО 94 См также 8.776 8.724 Неравенства н Г( +и+1) 1п Г(т+1) 1. ~ Р™(сов 1р) ~ < 1 2 91В 1Р 2п Г ('у + и+-1) ! т Г(т+1) 91в 2~р 2 Г( * +1) 1 (т и р — любые действительные числа, удовлетворяюп(ие неравсп- 1' ствам т ~ 1, т — р.+ +1>0, р>Щ МО 91 — 92 2. ~ (,)+~ (сов 1р) ~ < 3 ~Р~ (сов(р) ~ < р',~ Г (т+1) 910 к Г(ъ ~ т+1) Г (т+1) 91П 11 4 !(;),+, (сов1р)1< 8.73 — 8.74 Функциональные соотпоп1ении 8.731 ~рв( ) 1 (22 — 1) — ' = (~ — р+ 1) Р" ~~ (г) — (т+ 1) ~Р"„(~) (сравни 8.832 1., 8.9142,).
ВТФ1161(10), М081 2 (2т+1) гР,(г) =(т — р+1)Рт+1 ( )+(т+ р) Р„", ( ) (сравни 8.8322., 8.914 1.). ВТФ1160('2), М081 3* Р„"+- (г)+ е(р+ 1) Р'„'+' (г) = (т — р) (т+ р+ 1) Рч(г). МО82, ВТФ1160(1) 1019 8 7 — 8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИ7ЕСКИЕ) ФЪ'НКЦИИ Р)+а(г) — Р„" з(а)=(2~+1))/'ы' — 1Р," '(л). ВТФ1160(З), М082 Р" ((л) = Р». (ю) (,сравни 8.820, 8.832 4.). ВТФ1 140(1), МО 82 4 5 8.732 Й3„" (7) (87 — 1) „= ('ч — р, + 1) ф+1(е) — ('()+ 1) е(3~(е) (' сравни 8.832 3.') (2))+1) а~~~ (г) = (22 — р + 1) К+( (л1 + ()) + р,'ы(/"„( (г) (сравни 8.832 4.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
