Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Ф ~ (г) = ( — 1)) 'У ! (3). 2 2 .2. Р ! (г) = (-1)" У ~ (3). 3 3 Д (809.01) Д (809.21) Д,809.08) Д (809. 23) Д (809.05) Д (809.25) а.» — а.а цилиндричкскиж чтнкции и ж~нкции, связьнныв с ними 981 Функции Н!' ~~(г)г У 1(з>г К 1(г) +г "+ г "+г и — 1 = р — 1 ие1* ~~~ ( — 1) — (сравни 8.451 Зф -гг ьг (и+й — 1)! 1 .Пз Н (и — Й вЂ” 1)! (2!г)» »=а и-1 »=а и и « *'Я ( 1) ( + ) ~ ( 1)иг1-*~1 (гг+ ) $ )'2я» ( И(и — /с)((2»)» й! (и — 4)((2»)».) )»-а »-о » (сравни 8.451 5.).
Ку 60 и Н", (г) и'",( ) г 8г467 У «и+ г) и 8.468 К 1(г)= ~ — е ' -+г 2' » Он( — А)((2)" 8.469 Частные случаи: Г 2 1т'1(з) = — ~ — з . 2. Х 1(а) = ~г — а(па. Лй (сравни 8А51 6.). Ку 60 К 1(г) = '1/ — е *. г 2и г В 95 (13) 1! Г 2 е"' 4. Н~~ (~) = 1à — —, г 5. О'г '~г) !à — —. г 6. Н~~)1(з)= 1~ —" . 1г ят г МО 27 МО 27 МО 27 7. Н'~!1(з) = ф~ — е ". г МО 27 8.47 — 8.48 Функциональные соотношения 8.471 Рекуррентные формулы: 1. ЯХм-1(г)+гЯ~-(-1 (з)=2Щ,(г).
Ку56(13), В56(1), В79(1)г В88(3) 2. е; 1(з) — Е ~1(г) ии 2 — Я„(з). Ку56(12), В56(2), В79(2), В88(4) Сонин и Нильсен при построении теории цилиндрических функций определяли эти последние как аналитические функции г, удовлетворяющие рекуррентным соотношениям 8.471. 8.472 Следствия из рекуррентных формул: 1. в — Я„(г)+тЛ„(г) =аЕ, 1(а). Ку56(11), В56(3), В79(3), В88(5~ в.~ — в.в цилнндричвскин эв нкции и атнкпии, связ.~нныв с ними 983 7, Н» '(е 'з)=е»нН,'~'(з)+2е""' ". Х»(з)= зш»я Н~~" (з) ""' Н"' (з) В 90 (6) зш»л '+' з)а»я [т — целое число]. МО 26 8.
Н»~ (е'" в) = — Н (з) = — е — м'™ Н~~ ) (г) 9 Н~~) (е-4л з) Я~~~~ (з) в~ля Н< > (з) 10. Н<" ( )=Н,")( ). МО 26 МО 26 8.477 2 1. Х (з Х»+~(х) — У ~~(з)Х Ь)= — —. аз т 2. 1 (з) К» ) ~ (з) + 1»~ ~ (г) К» (з) = — . См, также 3.864. Связь с шаровыми фуякциями см.
8.722 Связь с полиномамн С~(Ц см 8.936 4. Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см 9.235. В 91 (12) В 95 (20) 8.479 , > —,, [1,*(х)~ )ч»(х)]-,, ~~х>»> 1 я,, 1 ) 11 (см. также 6.518, 6.664 4., 8.456). МО 35 2. )Х„(и\1<1 [) — *" ~ -)<1,л — иа ур н * с ). МОВБ ~+)'1 Соотношения между цилиндрическими функциями 1-го, 2-го н 3-го рода 8.481 Х» (з) з)в»я (в) у, <в) соз»я п~ Н ~(з) Иг„(з)= =НО'(.)+а'-()-2 (Н. '+~ (')) (сравни 8.403 1., 8.405). (а) сов»Ф — Т»(в) 1)[» (з) ваа В 89;1), ЯЭ 228 (сравни 8.403 1., 8.405).
В 89 (3), ЯЭ 228 8.478 При т >0 и х >0 произведение х[1»(х +М (х)] рассматриваемое как функция х, монотонно убывает, если ~ > †, и монотонно возрастает, если О <» < — . 1 МО 35 з — 9. спнцизльнъ1В Фе нкции 8.483 1 < > 1 (з) — е ~'Х„(з) Н (г1— с затя я (з) — е ч" я„(з) 1 (г)+иУ,(г) В89(5 еч ч (з) — е Лч (з) 6)п чя — Х (г)- И)ч(г) (сравни 8.405). В 89 (6 чзэс 1 Н (г)— 8.484 1. 2 Н'~,'(г) = е — ™ Н,',~) (г).
В 89(7) В 89(7' и т-ч (з) 1» (з) -ч ч 2 е)а чл В 92(6) и К„(г): В 93(1) В 93 (2) 8.486 Р 1. В 93 (3) В 93 (41 В 93 (5) В 93 (6) В 93 (8) В 93 (7) В 93 (1) В 93(2) 1О В 93(3 В 93(4) В 93 (5) 15 В 93 (6) В 93(8) 16 17 18 В 93(7) (т не равно целому числу1 (см. также 8.407) екуррентяые формулы и их следствия для функций 1„(г) г1ч,,х) — з1ч+4 (г] = 2Ы~ (г). д 1„е (г)+ 1ч» 1 (г) = 2 — 1ч (г). д з „вЂ” 1ч (г~+ И ч (г) = х1ч — з (г) х — 1» (г) — м1ч ~ х) = х1ч» 1 (г). 4(з (".~ Ц ~та ° (хч 1 (г)) зч — чп 1 ( ) (.-3 ~та — (г "1ч~г))=з 1 + (г).
1 „(г) = 1.„(г) (л- натуральное число]. 2 1з(г) 1з(г)+ 1з(з) д — 1з г)=1,(г). гКч ~ (г) — гК„.( е (г) — 2тКч (г). д К, ~ (г) + К,» ~ (з) = — 2 у Кч (г). Н г — Кч ~г) + тК„(х) = — хКч 1 (г). Из И з — К„(з) — тКч (з, = — хК ~, (г). зз (~) ("К,())=(-1)- --К. (.). ( '„)"( --К,(г))=(-1)" --К„„(). К ч(г) =К„(г). К*(г) = —, К. (г)+ Ке(г). Й вЂ” К. (г) = — К. (*). дз в.ь — вл цилиндричвскив эвикции и функции, связлнныв с ними 985 8.487 Непрерывность по индексу *): В 76 1 11ш Л~ (х)=Л'„(х) т-~е 1 ур1,2)( ) р(1,2)( ч-ве 3. 11ш .К„(х) = К„(г) ~и — целое число], В 183 В 92 См.
также 8.401 8.491 1 ЯЭ 237 и=Еефхт) ЯЭ 237 и=х Е„фхт). ЯЭ 237 ЯЭ 237 й + рау2222-2 и = О, и = х Е, (уха). В 1И (9)и х*и' + (2а — 2рет + 1) хи' + [$Ру2222 -~- а (а — 2ръ 11 и = О, и = хд' —" Е, (ухР). В 110(3) 12 8.492 1. +(е* ) =О, =г,(*). В И2(21) В И2(22) й+' и=О, и=хЕ,(е*). «) Непрерывность но индексу для функции .7„(е) и !„(з) следует непосредственно из представления этих функций с нокощыо рндов.
8.49 Дифференпиальиые 'уравнения. приводящие к иилипдрическич функциям И ~ 2 УЕ~ — — (хи') + ~(Р— —,) и=О„и = Е„фх). 3. и'+ и'+ ~фохт-1)2-, ~ ~ и=О, и + ~(рухт — 1)2 — у ~и=О, и= $~хЕт,рхт). 4т тут — $1 и -~-(5 — '",, ') =О, -ф ве,еьд и + и'+ ~Д'.+, )и=О, ~ и=х" Е,фх). 1 — 2а, Г ае — ч' ~ 2 $ГЬ за+2, , ш-. О, .=$/.е, 1 +2 — т+2 и" + — и'+ 4 Г2~ — — 1 и = О, и Е~ (22).
1, 1 г че' и + — и' + — ~ 1 — — ) и = О, и = Е, ('у' г). и'+ — и'+ — — =О, и=2 Ет()/х). 1 — т 1 и 2 е 4 з ЯЭ 237 ЯЭ 237 ЯЭ 238 В1И (3) В1И (6) В1И(7) 988 г — 9. спиддиалънь|е сРЪ нкнии 8.513 В 46 (1) В частности В 47 (4) В 47 (4) В 47 (4) 8,514 УВ 11 192 "УВ 11 192 ОЭ ,")'„,( — 1)А (2й)ОХ, (г1='""' А — 1 В 32 (9) Х ( — 1)А (2й+ 1)9 Х, . (г) = —. А=О В 32(10) Ку 120(14), В32 Ку 120(15), В 32 В 638 8.515 А (9140) М0127и 3.
4 5 5. 6. 7. ~~~~~ (2й)"'ХОА(г) = ~ (~~А"'гОА [р=1, 2, 3, ...1. А=Д А=о ~ (2й+1)го+'ХОА+, (г) = ~ ~О~Аф 'гОА д [р=0, 1., 2, 3, ...). В46(2) А=О А=О ~( г )( — 1)™( ~<А — 2 )9 В формулах 8.513 фодо= -о ~ ', (2й+ 1)ОХОА., (г) = — (г-д- го). А=О О9 Х (2й)' Х ( ) = —, ' 9=1 ,'~~ 2й (2й+ 1; (2й+ 2) Х, (г) = — го. Х ( — '1)" Х... () ='— '",' А=О ХО(г) +2 ,'>', ( — 1) ХОА (г) = сонг. А=~ ~о Х, (г) ~- 2 Х Х (г) соя 2й 6 = сов (г в1 и 6). А — Д ХХ „( )а1 (2й+1)6= ( Щ ° А=О ОО О ~~)' Х А„д (ж) = — ~ Хо (1) й [ж действительно1. 1 Г А=О о 2',", ' (".'-')" х,, ~-( — ',)" ~,~*+о. А=О ~~ Х 1(го) А Д ол,— о.ь цилиндгичнскии э~ нкпии и амнкции, связлнныи с ними 989 З.
Х У,(х*) =С(х) А=о А+ з МО 127 и 8.516 ',~~, ~ Уз +зА (2з а1в О) = (з з)н О)з" И А=О В 47 Ряды ХаАУ (йх) и ХаАГд(йх) 8.517 ~А(йз)=о(1 ) А-1 ( 1-) '~~ (йз) 2 <1 з2 ~~~~ У,А (2йз) =, А=1 В 615 (1) В 622(1) МО 58 ХА (АУ) 1 й 2 4 А=1 МО 58 Р-'х< Ч Х(-1) УА (1сх) 1 а й 2 4 МО 58 ~0 < х ~ 11. МО 58 Го~х<11 ~0~х (11. МО 58 где 2 а = 2( (0) (- — ~ Ыи 1 иГ (~ вот 212у. о о 2,,„=-2 ~ 2 ~ У( .( 2(~* ~,2~, УВ11 193 Ряды Х аА Уо (йх) 8.519 г'ели функция ~ (х) обладает на отрезке [О-< х ~,', 2т] непрерывными производными ио х е ограниченной вариацией, то 2 + ~~ аА (о (йх) (О < х ( 2т1~ А=1 990 8 — 9.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ Ф~ИКЦИИ 8.521 Примеры. 1 ХУ,(йх)= — ~~+ ~+2 Х 1 4=3 3~» 4гю и ~2лп < х < 2 (и+ 1) и]. ОЭ 2. ~ ( — 1) +~ Уо (йх) = — (О < х < я1. А=1 Ку 124(12) ,~~ (2~, 1)о ~о((2й — 1) х) 8 2 [ и < х < гг1. Ку 124 й=! = — + х — и — — — яагссов — 1п(х< ~п1 ко х Я 8 2 х МО 59 4. ~ е-о' Уо (й Мха+ Уо) = Р я д ы,М а„Хо (йх) е1п йх и,~ ~а„7о (йх) сов йх 8.522 1. ~~~~ Уо (йх) сов йхГ = — — + '~' 2 ~/хо (2я~ ( ~х)о ОЭ о вв Х о( ) 2 ~ХТ Х 1)+ г ~ 11 о=1 с з МО 59 где г=~/хо+у'+го, а под квадратным корнем понимается то его значе- ние, у которого действительная часть положительна В формуле 8.521 4.
первое равенство имеет место, когда х и у действительны, а Ке г - (), последнее же равенство имеет место, когда х, у и з действительны. в.~ — в.в цилиндричйскиа ез нкции и еъ ннции, связАнныа с ними 991 1. ~~ ( — 1) /ф(йх) сов ЙхФ = — 2 + + 2 ~/~' [(2[ 1) а [ [ [Я МО 60 у' — [[2Ю вЂ” 1) — с Р Х[ — [)'~.[ [' ='(У'; — ХЯ [[=ь [=[ [-[ ( 1 + У [=[п+[ у~[[2[ — 1) [[+~я)~ — х[ 1[[) — МО 60 [=л+[ ( 00 з. 2 [ — ц"к,[[ [ .~ г- — — „' ([[-[-ь —,')»- [[-[ зп и СО ( у'[[2! — 1~ -(-~ [ — * — Я .
МО60 ( [=и+ [ В формулах 8.523 х >О, 0<1 < 1,, (2т — 1) ж< х(1 — Е) < (2т-[-1)я, (2п — 1) л < х,1 (- 1) < (2п+ 1) и, т и и — натуральные числа. 8.524 ~ У (Йх)соайхФ= — — -[- [-[ ОЭ ПЪ У (Йх)пайи= ~ $/ [21л — Й)'[ — ~~ [[=[ [=о ОЪ 1 1 \ +у1,, — — 1 „,\ [=[ йэ И 1 1 1 1 )/[2[~ — [' )[ — ' ~~~3 [ а+[ [-1 МО 60 Л., ~ ж.
[Й).о.й*~ = — ' (с-[-'1~ —,*,,) -~ —,' ф ~.~- ~ ~)— в=[ [-1 [-[ 1 (у'д г~-ю*~ и ~ Ч ' [[ ры — ~ > —, 2~[' [=а[ [-[ МО 60 В формулах 8.522 х > О, 0<1< 1, 2[те < х(1 — ~) < 2(ж+1) л, 2пя < х(1+1) < 2(п+1) л, т+1 и и+1 — натуральные числа. 8.523 в « — в ь цилиндгичкснив егннции и )ь~пнцни. связАннык с ними 993 СО 2 т ) — 1) к )йи)сои«и = — ) с -).)и †) -)- л у ( 1 1 1~ ~ 1, У +((2, 11„,~. ИЯ~+ гфт( (х > О, г действительно~, (см. также 8.66). 8.53 Разложение по произведениям цилиндрических функций «Теоремы сложения« 8.530 Пусть г ) О, 9 ) О, ф ) О н Л = , т. е.
пусть г, 9 з Н представляют гобой стороны треугольника, у которого угол между сторонамн н р равен ф. 11усть далее 9 ~ г и 1~) — у)ол, протнволе.кзщнй стороне 9, так что а «г — ое 1. О( ф< —, еже= 2 ' ое)«) При выполнении этих условий имеет место «теорема сяолеения)) для цилиндрических функций; 2. е""«Я„(тВ) = ~~" 1„(т9) Я ~«(тг) е')и)) [т — произвольное комплексное чигво1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
