Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 81
Текст из файла (страница 81)
уу ) 0; т и у действи- > ~ тельны, х-)-у) Ц. М07 8 — э. специАльные Фъ'нкции Представление в виде ряда 8.382 аж В ] 2 2~2 1)249(У вЂ” 2) ° ° - »У — 22» (х. у =-,~~ (- „~,.+„> (у > О]. ж 2 1+в 2. 1»В( ~, — ) 2 2 2»-а — [ $ — ($ — 2 "") ~ (2Усф1) + х~а 2й+1 (!х~ < 2]. НГ39(17) УВ П36 В(*. у)= П,.',.„,"„+,ц 8-О Р(Х) Р(~) 1 В(х, у)= Г(+ ) =В(у, х) Ф 11779 М06 3.
~ В (х, у+ й) — В (х — 1, у). 8=8 [и и я — натуральные числа] Связь с пси-фупкцией см. 4.253$. Х -8.391 В„(р, д)= Р 2(1 — ~)~'сЮ= — ВГ2(р, 1 — д; р-+1; х). ИП1373 22 ИП П 429 2 В (а,— ')=~ ~~~~',1~ ' (ам. »»иж 8384 и 83808.2 8=8 8 383 Представление в ниде бесконечного праииведепия: 8.384 Функциональные соотношении для бэта-функции: 2. В(х, у)В(х+у, ю)=В(у, г)В(у+8, х). 4 В(И *)=2 В~ —. )~см. аж» 83882. и 83823). 3. В(», »1В ( -';- —, »4 — ) = 8.39 Пеполная бэта-функция Вх(8э, 2т) УВ 11 39 Ф 11 784 УВП 38 е — 9, спепиельньвк Функции я я.
1„,(е) =е в Х„(ев е) В 92 В 92 При т целом Л. 1 (е) = Г"Хя(и). 8.407 Ку 46 (1) В 92 (8) 2. К„(е) = — ' е в НЕ!в (и). Дифференциальное уравнение, определятовкее вти фуикпии, см. 8.494. 8.41 Интегральные представлении е,~хлтвевв .,~ !ле и Л„,(л) г ( ) ~ — ее+в* вел е,1О. 1 гя я = — ~ сов(лΠ— ввшО) еКО 1 е- е 1л — натуральное число1.
УВ 11 172 2. Уме(е) = — сов 2пОсов(е вшО) ЫО = — сов 2лО сов (е в1п 01 ~И 1 г г о (л — целое число). В ЗО (7) л 3. у „! 1= ! 1 ! (вн+1)еи (*!Вв)ев= — в(н (2п+ 1 ! О в1Н (е в1ге 9) е19 [п — целое число), В 30(6) х,„!=2,! „~!! е„,!* юв!ее ! !,2! ~йеу > — — ~ Ъ'В 11 178 Цилиндр ические функции мнимого аргумента Хл(в) и Кл(е) ал-в.ь цилиндгичкскив етнкции и этнкции, связАннывс ними 967 ®' 6.
1~~г) = г( ~- — )г(~) сов(гв)пО)сов'~0сВ ~йе~> — -1. 2 1 и г Ку 65 (5), В 35 (4) и УВ11 178 8. Х, (г)— (-')" г( «.-)г(-) $ % г (1-Р) гсовг1сМ ~ Вел> — — ~ 2 ~ Ку65(6), УВ11178 СЮ 1 — <Вех< —, х>О 1 . а 2 ' 10. Х (г) = ~ е'*'(1 — г') сЮ ~Вел > — — ) (2) " ~к г" $ "( Ы"(-.)-' МО 37 В 34 (3) В 199 (12) О3 11. У„(х) = — ~ в1п ~хсЬт — — ~сЬ~МЖ 2 е . Г ми'~ 2,) а в ! — / 1 2ч+~ ~~' г сов г Оз1а ~ г — ~6+ — 6 ) ""'=,(,.',)',® 1 (! йг!< —, Ве( + — )>01.
УВ П 183 1з. х.~)- — 'С~ < э-*а~в>ао- "" $.~- ав Я,) Я е о (м — любое число, Лег > О]. В 195 (4) Л Ш ~~т~ 14 У„'г) = ~ ~ сов(м6+гв1п6)сКЭ вЂ” яп чк ~ е-~з+''" есЮ~ и при —, < ~агиг~ < и, причем верхний знак берется при агав > ~, а иижнии при агдг < — — 1 .
УВ11 174 2 1 (-')' 7 Х„( )= ~ ~" ~вю~%3% (В (и~-1)) О) . г( ~. )г( — ), н68 )) — э спвпиальные Функпии 8.412 о+, р.< )= ', [ р — р( — *,. (р —,') ) рр ) ~~агав! < —,, 1 УВ П 164, 819512) ~ о+) 2. 1мвв) ' 1 г — " — вохр) г — --~) ог. В195~1 4г ./ — О~ l' Дв)+Р и) ~ хв)Р*) I В 214 (7) ,Г„рв) — ~ 2 ~ .~ ~ (Р— 1) з сов(гЕ) й 2 Г') — ) ~ Ь л ~Г ~~ м) ') -„ь 0; точка Л находится справа от гочки г = 1, н яг~(г — 1, '= агд ф+ 1) = 0 в точке А 1 . УВ П 177 — 178 В 195,'1 Х„[з,= —, ~ е — '*"ао+оро Ю [Вез > 01 — рв+Оо~ КГ 401 Путь интегрирования показан на чертеже. .Р „(4Г,в .в) ~ егаов'сов(гв1п1 — И))Й— к)в+ь)" ( )а* — ьв)г о — рр рл ~ ~хр) — *рвр — ррв! — чр) й) )е)*-р~)>0).
м040 8.413 4 [ )в(~+)Ггв — 1) в[в [х1) г)г [х >О]. 4 )". арсаев ю 1. ~,[)= —,' .ш[*г) и— У1 — гв МО 37 в.в)в ( р )') а= — ' ) "' " а ),>в). 4)г .) сП1-р 0 МО 41 2в 1' См. также 3.715 2.„9., 10.„13., 14., 19.— 21., 3.865 1., 2., 4., 3.996 4. Интегральное представление для.рв(з) см 3 714 2., 3.753 2., 3., 4.124. Интегральное представление для У (з) см. 3.697, 3.711, 3.752 2., 3.753 5.. 8.415 ®' 2. «,< ~= — 2 1 1 — — <Кеч<— 2 е ОО 2 Г е' тл 3.
Л~„(х) = — — ~ сов ~хсЬг — — ~ и 2 о сов х< ! У+— (<2 — 1> х ) 0 ~ . Ку 80 (28) и, МО 38 сй 'о1 Ж ( — 1 < Ке т < 1, х ) О]. В-190 (13) 4. Л~т(г)= — ~ <пп(га$п6-о6)<В— о ОΠ— — ~ (е"'+ е с< сов юп) е-""' <Р ~ Ке г > О]. 1 о 5 М,(г) = ~ ~ а1п(гв1п6)соягт6«6— 'СО ,(, 2 2 СО е-*'ьо сЫ" 6а(6~ ~Кеь' > — —, Кег > 01 . 2 ' о 1 л 2е— 1 г ° 'в е~ — е+ — в ] ( -"-.')'(-.') ~ ~ /ее< /< —. Ве< е-е — ) >О] .
Интегральные представления дня Л~о(г) см. 3,714 3., 3.753 4., также 3.865 3. В 197 (1) В 181(Б) и Š— 22 с<в О<<6 В 186 (8) 3.864. См. 8.42 Интегральные представлении фтикпий Н< <(г) н Н~< < (г) 8.421 СО Д'„(х) — ~ е<х сь <-2е< <1< Ж л< 2е е<х сь < с)< у< <1е л< о В 199 (10) 2. <<~О< е= — ~ е-' ' ' ' е— <и ( — 1 < Ке т< < 1, х ) О]. СЛ< 2е 2 — е — '"'" < сЬ ~<1 <11 Л< о В 199 (11) ол — в.ь цилиндричкскик Ф2 нкции и фхнкнии, связАнныв с ними 960 8 4 — 8.Ь ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 911 11. Н~ (х) — — 3 — — Ж [х>0[.
Г вар( Р'а'тР') 3~'8Р 8.422 МО 38 г( — ) [ — а < агдз < 2л~. В 183 (4) à — — м жГ( — ~ н~е ,— 1 — ] 1 х ~ «(в*-ц 'в — 1+оев [ — 2а< агдз< н), В183(5) Пути интегрирования показаны на чертеже. 8.423 — а+Оэв 1е1е 1(Л) ~ вв — и ма 6+1т6 119 [Вез ) Щ В 197 (2) и я — «хвв 2 Веввв~ ) [ — е вве вйб $Ве >01. 1 ЭЕ+ввве Пути интегрирования показаны да левом чертеже для формулы 1 и на нравом чертеже для формулы 2. В 197 (3) и 8.424 т-1 з т-т ж. вв1в<в,к;в1в- —,' [ р Ц(в- "~')) в.
( — *,') —", о [у >О, Вед > — 1, ~~( < (г~], УО45 072 8 — 9 ЕБЕЦИАа|Ъ|1Ъ|Е ФУНКЦИИ 8.43 ИнтегРальиые вРедегавленин фУнкций 1а,(Я) и .К|,1з) Функция 1„18) 8.431 ®" 1 1 — — ~ 11 — Р) ~е~" г|| (,+ — ') г ( —,) 1 (-' ' гг — Е~г с~ 8 а|П8"0 ЕЮ 2 (.+И" (-'1 ° ®" ассе 8 сне 1~6 116 8| ~~ е-ас|г 1-м1 Щ о а ~~аглая~< —, Кеч>0~ . 2., 3.387 1., 3.471 6, 3.714 5. 1. 1 (з)=— Г Л г )сг + Яй 2. 1„18)= Г В 94(Э) 3. 1 р)= Г 4.
1 (г) =- Г 5. 1 (8)=— В.201 (4| См, также 3.383 8.432 1. К„(е) = ~ е *с" 'с)| 'И Ю ~агдл~ <.— или Вез=О 2 Ке ч > — —, Кез >О; или Кез=0 и ч=О~ . М039 1 1 1 и — — (Ке|г <' — ~ . 2 21 В 190 ~5„УВ11 203 и ~ —.' ')'Г (Я! 1 Я гга( + — ~>0, [а~ )< —; Ва =0 ч=с1а.
В 190 (4) Инте| ральпое представление для 1818) и 1, (з) см. 3.366 1., 3.534, 3.856 Ь. Функция К„.(8) в.о — в.ь цилиндиичкскии е> нкции и оо~нкции, связлннык с ними 973 1 4 К„(х) = — ~ сов (х вЬ с) сЬ И Ш ма,1 — о" 2 (х > О, — 1 < йе ~ < 11. В 202 (13) Г ~>+ —. (2в) 1 1 ~ве( + —,')>о,*>о,~ о.~< —,"). Л сю — (— 6. Е„(г)= — ( —, ~ „~ ~ ~агдз~< —, Кег'>О] В 191(1) В 203 (15) 8 433 Ко ~2х~ >) — 3 1 сеа( + ) Ку 98 (31), В 211 (2) Интегральное представление дли Ко(г) см. 3.754 2., 3.864, 4.343, 4.356, 4.367. 8.44 Представление в виде ряда Ф у и к ц и я Уо (х) "" '*=®'2 "~,+'~ ЯТ и-и 8.441 Частные случаи: оо 1.
~~о(х)-.'~~ ( — 1)" „' в=о Царях~ < н1. 7. К,(хх)= —., ~ ехр ~ — — ( С+ —,>) ~ Е- — 'сКЕ й Ж ах~< 4 ~ ав1= —,, и пе <1~- оэ 1 1 8. К„(~)= ~/ ~ о (1-~ —.>) й 2 1'~ 2,/ ~,о.~«в. >- —, *>о). мозо 1 / 1 ~ о 2в./ ~ у р+во 2,) ~Веи > — —, Вез> О, йс~~~+хв >О, х >0~ . М039 См.
также 3.337 4., 3.383 3., 3.387 3., б., 3.388 2., 3.389 4., 3.391, 3.395 1,, 3.471 9., 3.483, 3.547 2., 3.856, 3.871 3.,4., 7.141 5. Функции 1 (и) и .К»(х) УВ П 187 а=о е-! и+21 +( — 1)"' ~~~~ ~„, -,, ] 1п —,— —,1р()с+1) — — !р',и+)с+1'], Г а 1 1 ~о В95(15! а и+2! ю+! () (~, ),- и 2 2 ' ц(+1Н ( Ь ь ь !=о «=! а=! и-! .Г '(и+ 1 — натуральное число]. 1»! ( — 1)!(а — 1 — 1)! /' а ~з!-а + 2 ~~ 1( ~,2.> !=о МО 29 8А47 Частные случаи: - (-')*' У (х!=~ а=о - Р)'"' '()="( =Х .,'„' „ !=о ~(а(х) = )п ~ ~а(х)+ )~~, ч]э(й+ 1). !.=о В 95 (14) 8.45 Асинптотическис разложении цнлиндрпческих функций 8.451 При больших значениях ]х(в) /2 !'" л л~ ./~» (х) = ~,' — .
соа ~х -(- —, » — — 1 х ла ~ 2 4 ! " '( 1)о Г +2"+ 2 !=о ( ) (2й)) Г~ » — 2й+ — ) 2) х[ Г»+2$+ 8 +Л, 2 4 ф с.и 2в аа+! (2!4+1)) Г ~» — 2Ь вЂ” — ) 1 2) [!агдх] < л] (см. 8.339 4.). В222(1), В222(3) а) Оценка остатков в формулах 8.451 Лана в 8.4Ы 7, и 8.451 8. 8.4 — о.о цилннпвические вункцим н вункпнн, связхннык с ннмн 975 8А — 8.8 цилиндеические ФУнкции и Фъ нкции, свяэАннык с ними 979 Г Абсолютная величина погрешности О ~ — ) при этом меньше ~] [) 24 ~/2~ — ! .
1 . 2(п ~) . [[2(и —,з)] ~ [и > х! '(см. также 8.433'1; В 276 (1) з 2 з г'* з Л (см. также 8.441 3., 8.441 4.). В 276(2~ )~2( — "1(у [Р(* — "Я ] у [Р( — "8 ]) 3 х з [х > и[, В 276,(3) Оценка погрешности в формулах 8А55 до сих пор не получена. 1) 8.456 ~'(х,-[-М(х) — —, ~ з 2 ~ й[Г( м — /с+— 2,/ [] ага г! < я],'см. также 8.479 1.).
В250(5) МО 34 8.457 У',(х)+У~8.+~ (х) ~ — [х > ] т] ]. В 223 8.46 Цилиндрические функции, индекс которых равен целому числу плзос одна вторая Функция /„(в) 8.461 2 Г . Г я ~ ( — 1)з(л+2й)( 1,,/ 1(з =" — в1в[г — —,и) з + +- яз 2 (2ЙК(п — ~Й)( (28)з г 8=8 ( — ",') я ( — 1)з (п+2й+1)1 +сов х — —, и ~2й-~п.~ — Ш вЂ” В; ГВ ) ~з [и+1 — натуральное число', (сравни 8А51 1.). ' Ку59(б), Вбб(2) 62е 8,455 Для х действительных и ~ натуральных (ъ = п) при а > 1 имеазт место следующие приближения: Π— О.
СПНЦИАЛЬНЫЖ 'ФМННЦИИ '(+) 2. х,~ )- )' — „(ао (*+ — ) 3 А=О ("=,') ( ж ~ у ( — 1)А(з+2й+1)! — е)п г+ — и ! г — ! (23+1)! (и — 2А — 1)! (2з)зА 1 А=О [а+1 — натуральное число] (сравпн 8.451 1.). Ку59(7), В67(5) 8А62 та+ 1 ф~ ~ ( ~ ф! (д — 3)! (2з)А ~ з 3! (з 3)! (2з)А / [и+- 1 — натуральное число1. Ку 59 (6), В 66 (1) ФЪ а 2 у .м ! У .. Х ""(.~-й)~ . ~ (-9 '2~Я~ -в — — ' ф'2зи ( й)(и — й))(2з)А ~! Й((л — й)! (2з)А) 2 А=О А=О )и+1 — натуральное число). Ку59(7), В67(4) 3.463 Ку 58 (4) Ку 58 (5) 8А64 2 У ~(г = ~~ — сов г.
Из 2 Ф у н к ц и я Л~,, 3) Я+в 2 ЯЭ 227 ЯЭ 227 ! "+ 2'Г '1 ! ( =. у- — ( — ) -а — — к (зс(з) ~, з / 2 Частнтзе случаи= с~ 2 У1(г)= ~ — „~ 31н 3. 3 2 Г з1о з зЗ(3)= ~~ — ( —,— СОЯ3) . 2 2 Г сов з ~ з г)= 1г — ~ — ешг — — ) . 2 ХО (г) = $/ — ~ ~ —, — 1 ) 31н г — — сов г 3 2 ° ~ О(г)= ~à — „, ~ — ', е)юг+~ — „— 1) соег~. Э.465 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
