Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 79
Текст из файла (страница 79)
1 ( б (и+ — пт ) = д ее-'"О (и). 1 д (и + — пт) =д ее — "'д (и). Си 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) Сн 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 зл эллиптические интеРРАль1 и Функции 8.189 Нули тэта-функций: 1. б, (и) = О при и=2т — '+(2л — 1) —, 2. Ь1(ы)=0 при п=2т 2+2п 2 ю Си 201 Си 201 Си 201 Си 201 62(и)=0 при и=(2т — 1) — +2п— 02(и) =О пр и = (2 — 1) — + (2)т — 1)— [и и и — целые числа). Интегралы от тэта-функций см.
6.16. 8.191 Связь с эллиптическими функциями Якоби: . К' К' ~ При ъ= 1 —, т. е. при д=ехр ( — л — ), Н) 1. зпи= Си 206 (22). Си 209 (35) 4 д~ да ( —.) ~,,ж) 3. ((пи=~/й' =ф Р— ' — 2В., йд(и) Си 207 (24), Си 209 (35) 4 ~ 2Н 8.192 Представление функций Н, Н„(), 6, в виде рядов: 9(и) =О, (~~) =1+2~ ( — 1)" д"'соз —. Си207(25), Си 212(42) я=1 2. н(~) =(), ("")=2 т.
( 1) г)~ ))да ~-~)'! (2п 1)"" ))=1 Си 207 (25), Си 212 (43) Си 207 (23), Си 209 (35) 3. 9,( ) =(), ( — ) =(-(-22 ( — "", С 20)(25), си2(2(4ь) 4. В,( )=6, ( — )=22 (~д~ "-'" 5(2и — 1) —. 73 — 1 Си 207 (25), Си 212 (44) В формулах 8.192 д=ехр( — а — ) . 8.193 Связь с эллиптическими функциями Бейерштрасса: ~Н,(и~Л) Н'(0) ) 2 „( Е,(ау'Л) Н'(0)-(' ~ Н,СО)Н(и)/Л) 1 ' ~ 9,(0) Н(ау'Л) ) 2 Ю(0) Н (и )/ Л) =ее-~- ( 1 Х. Си235(77), Си 235(78) 8 — 9, спеяиАльные Фъ'нкции 2. ~ (и) = ')' + )/ Л а!! П (и $~ Л) Св 234 (73) Си 234 (72) 1 ' ~'т)!иа ~' Н (и)/Л) 3. !!(и)= —,, е Р(, ~ .~ ~.(о) <о Л !7 (о) Л = а — е; т), = ~ (ш!) = — — ' 3 е1'(д) Си 236 Си 228 (65) Си 232 (69) 8 195 - — ~1+2 '~~ ~""~ =-М = — О'(К) (сравни 8.1971,). Си 219 и=! 8.196 .
Х= И вЂ” К ) =Х е (о) Си 230 (67) К ( 1)а тв* а=1 8.197 (сравни 8.195). УВ П 319 со (8а-! )9 УВ11 319 Си 206 (17), Си 206 (18) Си 206 (19), Си 206 (20) ! !ГАВ П( — ) 2!'1' УВ 11 330 6. П (, '„,)' — 2)'Р— "„. 1 УВ 11 330 и 8.194 Свявь с эллилтическими интеграпаии: 1. Е (и,. Й) = и — и — — --+ е-(о) е (и) е(о) е() ' а 2. Д (и, — !!98яшаа, !!9) = ,) 1 — 1Р8)п- а ова!Р о а ~ Е'(,) 1 Е(и — а) овадии ( 'Е(а) 2 Е(и+а) 3 К' ~ д-р я д ы и и р о и в в е д е н и я ~ д = ехр ( - л — ~ ~ к,~ ь е интвгрлльнлн поклзлткльнля Фтньция и водстввн.
ии Функции 939 8.198 й (2а+1) 1. Х вЂ” —, — ~при 0(й(1 имеем 0(Х( —, 1 ~ В +1~ — а УВ 11 327 Для определения д по данному модулю 1е служит рад 2. д = Х + 2Л' 1- 15Ло |- 150Лге+ $707М' +... УВ П 327 8.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 8.2$ Интегральная показательная функция Е$(м) 8 211 (х( 0]. (х > О]. Х 1.
Е$( — х) =С+1дх+ ], ' сй г о (х > 0]; НИ 11(1) =~+о-х)их+ ~ е-~)дУ,Р о (х > 0]. НИ 11(10) (х > 01 (сравни 8.2$1 1.). 4. Е$ ( ~- х) = ~ е+ * ~ о х~!ае е-хй Е1 ( ~- ху) = ~ е~"" 1 — ' Ж [Йе у > О, х > О]. ,) у+~ о НИ 19 (11) е-ае б.
Е$( + х)= — е~" 1 ' си 8~ А о (х > О]. НИ 23(2), НИ23(3) СО е с е ~ с е' 1. Е$(х)= — ~ — Ф ~ — Ж=$$(е) е е ' г -! 2. Е$(х)= — йш Г ~ '--,— й+ '] '-,— й ] е +6 ~- 8.2$2 2. Е$ (х) = е" ~ — + ~ ~,0, ] о 3. Е$( — х)=е-* ~ — — + ~ о (х > О] (сравни 8.2$1 1.). Ла 281 (28) (х > О] (сравни 8.2111.).
й 2 интнРРАльнАЙ НОКАЗАтнльнАИ ФУИНЦия и РОДОтпин Би ФУНИПии 941 8.214 х*А Е1(х) — Е1( — х) =2х У— А=О [х ) О]. НИ 39 (13) Е1( — х) =е " ~~Я ( — 1) о +В„, (Ус — 1)1 8.215 Ф!< 2 х=~х~е"Р, ЧР < но. НИ 37 (9) где НИ 39 (15) 8.217 Функциональные соотношения: 4 Г х' сонг 1пг<й — 2е — "' 1пх' л,) ге+ хо о [~' =хи яп Кех]. 4 Г ге1ог =2е —" 1пх' — — ' 1п1гй л ~г~+ . [х' = х а18п Ке х].
НИ 24(10), НИ 27(10) 1 ° г..., (- —.) 3, Е1( — х) — Е1 ~ — — ) = — ~ — агсон М и) — л~ 1+гх о [Кех ) О]. НИ 25(14) Е1 (х) = С+ 1п ( — х) + ,"~~ — *, [х < О]. А=1 хо Е1 (х) = С+ 1п х+ ~ —, [х > 01. й=! ~п 8.216 Е1 (нх) — Е1( — пх) —. е""' [ — + „и + зз ) х' =хефпйе(х), Й„=О(по), а п велико. Ф ех' Е1 ( х') е — х' Е1 (х') 2 ~ р о 2 е ' Е1 ( — х') + е "' Е1 (х') = — 2 ~,, (й = о НИ 24 (11), НИ 27 (91 8 — 9 СНЕЦИА««ЬНЫЕ ФЪ'НКЦИИ НИ 89 НИ 89 8.22 Интегральный гиперболический синус 8)11х и интегральный гиперболический косинус с)11х 8.221 х 1. ~Ых= ~ 8 А= — 1 ~ — "", +а)((х)~ (с81. 8.230 1.). о ВТФ 11 146 (17) ВТФ П 146 (18) х 2. сЫх= С+1пх+ 1Ю.
с)11 — ) 8.23 Интегральный синус и интегральный косинус: а1(х) и с1(х) 8.230 1. ()= — 1 а — ~+1, а. 8 НИ 11(З) а<~>= — ~ ~'Х=С<-~ ° «~- ~ 1 Ж. х е 8.231 НИ 11 (2) 1. 81 (ху) = — (, о2. (' 81В1У НИ 18 (7) СО е1 (ау) = — ~ У о2. х НИ 18 (6) 2 ,1(Х) = ~ Е-хаов ~ Сев(Х81В ~) Д~ НИ 13 (26) Л, ( — 1)х'1Х®8 1 1. 81 (х) = — — +,~, 2 ~~~ (2й — )) (2й — 1)! 8=1 НИ7(4) 4. Е1( — ах) Е1( — рх) — 1в(ар) Е11 — (а+ р) х) = =е — а+в]х Г ' )в((а+~)(Р+ю)) 11~ НИ32(9) с+ а+Р См. также 3.723 1. и 5., 3.742 2.
и 4., 3.824 4., 4.573 2.. (;вя.1ь с вырожденной гипергеометрической функцией см. 9.237. Ип1 егралы от интегральной показательной функции см. 5.21, 5.22, 5.23, 6.22, 6 23. 8.218 Некоторые числовые значения: 1. Е1( — 1) = — 0,219 383 934 395 520 273 665... 2. Е1(1) = 1,895 117 816 355 936 755 478 ОЪ 2 с1(х)=С вЂ” 1н(х)+ ~ ( — 1)" ~1 НИ 7(З) 8.233 1.
с1 (х) ~ 1 м' (х) = Ей (~ 1х). 2. с1 (х) — с1 (хе~~') = ~ нх. в1 (х) + в( ( — х) = — н. 8.234 НИ 6 и НИ7(5) НИ7(7) НИ 13 (27) 2 [Вех > 0] (см. также 4.366). НИ 32(11) См. также 3.341, 3.351 1. и 2., 3.354 1 и 2., 3.721 2. и 3., 3.722 1., 3., 5. и 7., 3.723 8. и 11., 4.338 1„ 4.366 1..
8.235 1, Ыш(хав1(х))=0, Йш(хес1(х))=0 [9< 1]. х-!.+о:! Х->+ОЙ 2. Мшв((х) = — я, Ишс](х)= +- лК. Х-Ф вЂ” СО Х-~ — О» Интегралы ат интегрального синуса н интегрального косинуса см. 6.24 — 6.26, 6 781, 6.782, 6.783 Неопределенные интегралы от интегрального синуса и интеко ральноги косинуса см. 5.3. НИ 38 (6) 8.24 Интегральный логарифм И(ж) 8.240 1. 11(~) = ~ „=Е1(1пх) [х< 1]. Ф о ЯЭ 97 2 !!!*! = !! [ ~ ! .!- ] †, ] = !!! !!» *! ! ) !!.
ЯЭ 97 3. 11 (ехр ( — хе~"')) = Е1 ( — хе~!") = Е( (х + 10) = Е1 (х) ~- йг = =11(е') ~ йт, [х) О]. ЯЭ97, НИ 2(6) Интегральные представления 8.241 !и л СО !! ~! 1. И(х)= ] — сй=х1п1п — — ] е '1нЕсИ [х > 1]. Ла281(ЗЗ) -!В Д 8.2 интнгРАльнАЯ нонАЗАтильнАИ ФУнкнин и Ронствнн ни ФУнкцин 943 944 о — о снещ$Альные Функции Ла 280 (22) 1ах+1а г (В „11л х+1й Ю)~ ' о Ла 280 (29) 1 ~й — (х < 1]. ! Ла 280 (30) Л з. в~ ~= ' ~ ~ ~*>о~. Интегралы от интегрального логарифма см. 6.21 8.25 Интеграл вероятности и интегралы Френеля. Ф(ж), Я(х) я С(х) 8.250 О н р е д е л е н и я: 1.
Ф (х) = = ~ е —" й. 2 о х 2. Я(х) = = я(п РВ. 2 Р 2я 3. С(х)== ~ соеРА. 2 1~~~ „ 8.251 1. Ф(х)= ~ ' сЫ о (см. также 3.361 1.). 8.252 х 1 Ф(ху)=- ~ е "~'В. 2у о 2. Я(ху) = ~ ) а1п(гоуо)сй. Р2я' 3. С(ху) = ~ ~ сов(Ру') Ю. о 1 2. 11(х) =х ~ о Интегральные представления З.З ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ Фхниции 94T 8.26 Функция Лобачевского Х (х) 8.260 О п р е д е л е н и е: х Ь (х) = — ~ 1в сов Ф гй. Ло 1П 184 (10) о Интегральное представление функции Х (х) см.
также 3.531 8., 3.532 2„ 3.533, 4.224 8.262 Функциональные соотношения: 1. Л( — х)= -Ь(х) ~ — —:-х < — 1 . 2 21 2. Ь (я — х) = ц 1в 2 — Ь (х). 3. А.(я+х)= с)п2+Ь(х). ~<~1 — ь( —," — *) — (* — — ",) ьх — —,'г( —," — ъ) [О< х < 4 ~ . Ло П1 186 (14) Ло П! 185 (13) Ло П1 286 Ло Ш 286 8.3 ВЙЛЕРОВЫ ИПТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДА И РОДСГВЕИИЫЕ ИМ ФУНКЦИИ 8.31 Гамма-функция (эйиеров интеграл 2-го рода): Г(л) 8310 определение.' Г(г) = е '1* 1Ш $Иез> О]. (Зйлер). ' Обобгцение: Ф П 777(6) 2. Г(г)= —, ~ ( — ~)* ге ~сИ с при х, не равном целому числу.
Контур С указан на чертеже. УВП18 Г(г) является дробной аналитической функциейг с простыми полю сами ь точках г = — 1 (1=0, 1, 2, .'..), цоторым соответствуюг вычеты,; Г(г) удовлетворяет соотношению Г(1) =1. УВ П 18, ЫО 1 ( — 1Р 8.261 Представление в виде ряда: со Ь(х) =х1н2 — — ')~~ ( — 1)" ' — ~ —. ЛоП1185(11) Г (х) соя ах = Х" ~ 1'г 'е-"" '~ соя (Х 1 я( и а) Н(; г О~о „=л*] ~ —.-и л( ~л~.ъ ~е~ 1 12. УВ1136 ,А е ' — ~~» ( — 1)"— й( 8=0 г 'г~ Ю [и =.Е(Ве г)]. М02 е.( 1 со е'8+1 л —,, С Г ( — ( =пи ' ] ехр( — и1")1*еЮ 8.313 о [Ве и > О, Вео ) О, Вег) — 1].
Г (г) = ~ е '1' ' г((+ ~~ 8=8 ЯЭ110и, М07и 8.314 М02 8.315 — = — ~ ( — 1) е г(1 1 л (» -е — г 1' (2) лк с при г, не равном целому числу. Контур указан на чертеже к формуле 8.310 2. УВ1113 ЕоЬА1-г ( Еяи ,„й= — ри Ь) 0; =0 пи Ь 0 р ( '[а >О, Вег > О, — — "< агд(а+11) < — ] . НГ155(8)МОР 2 1гео Г 3 — ='а — ' ~ соя(а1а6 — гО)соя' 20116 [Вег > 1]. НГ 157(14) г (.) См, 'также 3.324 2., 3.326, 3.328, 3.381 4., 3.382 2., 3.389 2., 3.433, 3 434, 3.478 1, 3.551 1,, 2., :( 827 1., 4.267 7,, 4.272, 4.353 1., 4.369 1., 6.214, 6.223, 6.246, 6.''1.
8.32 Представление гамма-г]»уикцнй о виде рядов и произведений 8.321 Представление в виде ряда. 1. Г (г + 1) = ~ сяг 8=О 81=С, я„=~(л) при н>2, Нег>0 НГ 40(1), 1-1Г 40(3) ( — 1)~~1е8 ~е а=а со 1г со+1 8 3 зйлеРОВы интеРРАлы 1-го и 2-го РОДА и Родственные им ФУнкции 949 а — е. спещйлльные Функдии ОЭ 1 г(з+,) — — Х~ 1,Р' а=О ° о ( — х)~ Бъ Фп ъ о1е=1, с(„, =~~ 1; х = С, з„= о",(и) при п>2 НГ41(4), НГ41(6) 1" К Гж= -'* — Ц— х З ь=~ х+— й См П1 269 / 8.322 [х(е з > О); 1+ 1 о [х1ез > 0]; УВ11 8 = Нш — Ц вЂ” [Нег > О). х+й й=$ См 1И 267 (130) Ш г(,>=оы" П ~/в(о"-'*,— „') Г (1+ х) = 4* Ц вЂ” г НГ 98 (12) МОЗ 8.324 8.325 ОЭ „;"',~~о' „=и (('+А) ('-о — +" )1 НГ 62 (2) О:Ъ х ''го~-н =П [(г ~), ) ~в.*>о,не<,-*»о1, .
-П (1-.—,',)(1+в) 'И 2,/ 2 2 М02 8.326 Г(-) ~ Г(-) ~х И Г1+ " В (х+(у, х — (у) [ Г (х-~- гу) ~ ~-Х ~ (х+Й) ) а=а [х, у действителъны, х > О), Ло У, НГ 63 (4) ( (у ехр ( — ) Г(х+'у" х' П ' " . [х, у действителъны, х > О[. М02 х+л Представление в виде бесконечного ироизведення 8.2 эйлеРОВы интнгРАлы 1-го и 2-го Родл и Родствнннын им ФУнкции 951 8.327 Асимптотическое представление для больших значений ] г[: 1 159 571 "2»1) Рю." рон. моро*' ооооооо, Ро)о )) [[ агн 2] ( л]. УВ П 28 Для 2 действительных и положительных остаток ряда меньше последнего удержанного слагаемого. 8.328 11ва ] Г (х+1у) [е2 ] у]2 =]/'2и ) ))! 11Ш ~ +~~ — а)вг 1 )р) о» О [х и у действительны]. МО 6 1 2 МО6 8.33 Функциональные соотношения для гаг1ма-функций Г (х+ 1) = хГ (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
