Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В 394(6) При Х„= Х„и целочисленном м ограничение о с, г оказывается излишним. МО 31 8.531 Частные случаи: 1 1«(тЛ)=)'о(тй)Х«(тг)+2 Х У«(т9)Х«'тг~соз Ьр В391(1) 2. Н~~'~)(тЛ)=1 (то)Н~«'~)(тг)+2 ,'~~~ Уь(т9)Н~«' '(тг)соз)«ф. М031 )-1 ~„' ) — ) -)-2 2 .)) ') — ) ) 1 — ) 2Й -)- — ) Х, )г) Р,„'мв а). МО 31 ) — о 2 8.532 «Теоремой сложения« называют также формулу Е ()))В) У, +«(тз) е )«(тг) 1.
=2"т — "Г(т) ~ (т+Й) + + С«(созф). ) — а 1тчь — 1, — 2, — 3, ...; условия для г, 9, Н, ф, т те же, что и в формуле 8.530; при Е„ =1„ и т целом формула 8.532 1 справедлива при любых г, д и ф. В 398 (4) 63 таелипдк иитгралав 994 $ — 9. специАльные Фтнкцки МО 31 л20 31 В 401 (1) В 401 (2) МО 32 ч.в (2л+2Д) 12о+й — 1)1 Хв (2л)1 У 2 ~2в 1. Х д) в+А(2)= ( ~)в [ 2 / ~о ДГ(и-~-Д) Хв (2п)1 Г з ~2о 2. 2 "«, „0 ХА(г)= —,, ~ —.~ [п>0].
д~а 3. Х, '(2) + 2-~„'Х~А (2) = 1. 8.537 ~~' е. А,1) Хд (2) =е ~ (2+1) [~2 ~ < ~2[]. [и> О], В47(1) В47(2 В 41 (3) В 158 (2) В частности: Хд (2) Х„д (2) = Х„(22). В 41 8.538 '1, ~ ( — 1) Х о+А(2)ХА(2)=Х о(2+1) [!2~ С!~ Ц. ео 2. Х г ~ д(2)Х„(2)=г„(2 2) [~2( ( ~1Ц. В 159 (5) 8.54 Корни цилиндрических функций 8.541 При любом действительном т функция Х„(2) множество действительных корней; при т > — 1 все ее имеет бесчисленное корни действительны. В526, В530 корней, за исключе- В 528 Цилиндрическан функции Х„(2) не имеет кратных кием, быть может, начала координат. 8,533 Частные случаи: ЮО '1. = «~ (2й+1)Х в(то) У~~~1(тз.) Р (соя<р).
д--о 2 2 е — 1тл яв 1 (2) 2. = — ~' (2й+1',Х 1(то) Н~ '~,тг,'Рд(сов~р). д=-о 2 2 8.534 Вырожденная теорема сложения (г~ аэ): СО о1тооов<Р= 1/ — ";«» (д(2й+1) Х в(то) Р (сов р). 1 2»во д+- А.=О 2 Г (т) ~~ (т+й) 1" (то) "Х„+д(то) Сд (соя <р) Ь 9 [тчьО, — 1, — 2,,]. 8.535 «Теоремой умножения» наеывают формулу вэ Х„(А2)=Х~~ — „Е,<А(2) [ 21 [~1 — А~в «" 1]. А=О При Е~=,Х, она справедлива длн любых аначений А и 2. 8А — 8,8 цилиндгические ФРнкции и Фхнкции, сВЯ3Анные с ними 995 8.542 Все корни функции Л' (г), действительная часть которых положительна, действительны.
В 531 8.544 Если при т О х, и х' суть соответственно наименьшие положительные корпи функций У (з) и У (г), то х~) т, х~) Р. Пусть, кроме того, у, — паимепьшив положительныи корень функции Л~„(г); тогда <у <х~. В534, В 536 Пусть г,,„(т = 1, 2, 3,...) — корни функции з — тУ (з), упорядоченные в соответствии с абсолютной величиной вх действительных частей; при этом предполагается, что в~ ~ — 1, — 2, — 3,...
В таком случае для любого х и( — )- Ш=1 В 550 8,545 Число корней функции а-тУ„(х), лежащих между мнимой осью н линией, на которой г 1 1 В-= +[„— 2В +4 (" В 548 равно в точности т. 8.546 При Р > О число корней функции К, (х), лежащих в области Ве а<О, 1 ~ агпз[< я, равно ближайшему к т — —, четному числу, В 562 8.547 Большие корни функций У (г) соз а — Л', (г) 8(п а, где Р и а — действительные числа, даются асимптотическим разложением 1 1 4ъ4 — 1 ч,т=(', + — '' — 4,) 8[( ~.
1 — ) Ку109(24), В558 ~(" — '.— ')"-.1 8 548 В частности, большие корни функции У (х) даются разложением Я 1 31 3779 С т 4 ( )+ 2я(4пз — 1) 6яв(4т — Цв + 15яв (4т — 1)в Ку 109 (25), В 556 Этот ряд пригоден для вычисления всех (за исключением наименьшего х,) корней функции У (з) с точностью но крайней мере в пять знаков. 8.549 Для вычисления наименьших по абсолютной величине корней х„,, функции У (х) можно пользоваться равенством ов Х вЂ”.„„— 1 4298 в+ 7640 в~в+ 53752ъ в+ 185430вР+311387м+ 202738 вв 2вв(в+1)в(т-(-2)в(ч+3)в (ч+4)в(в~+5)(в+6)(в+7)(в+8) Ку 112(27) и, В 554 638 8 543 Если — (28+ 2) < т < — (2г -+ 1), где 8 — натуральное число или пуль, то У, (х) имеет ровно 48+ 2 комплексных корней, из которых два чисто мнимых; если — (28+ 1) Р < — 28, где г — натуральное число, то функция У, (з) имеет Ровно 48 комплексных корней, среди которых нет пи одного чисто мпимого.
В 532 в — 9 специАльные Фуыкпии 8.55 Функции Струве 8.550 О и р е д е л е н и я: В 358(2) В 360 (11) [йем В 360,(11) 8.552 Частные случаи: '~,' (-'+)(+) ' ггг=ц Г и+ — — т 2 ~п=1, 2,...1. Е~ — ) 1 '~ 2 а — гг+2ггг+1 В„~) з ./ [п=1, 2,...~. ВТФ Н 40(67), В 367(2) 1 '~ — 2ггг+гг-- 2 / 1 т) ВТФН40(66), В367(1) 2, н, <.~=ю, *~++ 2 2 22 и =О (п = О, 1,... 1. 4. Н 1 (2)=( — 1)~У 2(2) (п=О 1,...). — (гг+-) гг+- Ь ~ 1)(2)=Х ~',а) ~п=О, 1,..
ВТФ П 39 (64) БТФ Н 39(65) ВТФ 11 39 (65) г' г ~ 2ггг+ч+2 1. Н, (г)= Я ( — 1) г( г-,')г( .г .г †) 2. 1.,(~)= — и 2Н,(ае 2) = ( )2 ~- -~- Х з з' , г ( <- —,) г ( г -г, ~ 3.551 Интегральные представления. 2( — ) и, (,) - т , 1 г - г) ',..., ю = Ггйг ( à —,' ) 2( — ) ~ 21п(2соау) (21п~р)2 Н~р ~ йет > — —.~ . В358(1) ггйг( г — ',, ) 2 ь„~а1= ) гГг( ф(~пг~Р' гг г' г ( г —,' ) в з — в з цилиндгичискии егнкции и ж нкции, свяэАнныи с ними 997 6.
Н> (з) = (1 — сов з). Н' 2 г' аз ВТФ 11 30, В 364 (31) 1 ! 7. Н )~)=( — 11(1-1- —,) — ( — )1(иш74- — ). 2 В 364(6) 8.553 Фупкцнопальные соотношения: 1 Н (гаван) Е)н<ю+'>тНН(З) [»>=112 3 2. — „[г'Н,(з)] = х~Н7 4 (в). И В 362(5) ~ [з-нН„(з)] = 2-.п з 1 1, 1 ч+ 2 ( ] — г- Н„+~ 'в). )4Н В 359 1 4. Н„ у 1~) 4- Н 7, ) ) =.
2ш 1Н )~) 4- и 1 ( †> [ Г ( 4- †, > ] В 359(5) 1 Б Н„ 4 ) — Н ))~) 2Н'„4~) — и ( †) [ Г ( -)- †) ] В 359 (6)) 4( — ) ззу' + зу' + (вз — тз) у— )~Й В 359 (10) г(,г ') 8.56 Функции Томсона и ил обобщения: Ьег,(л), Ье1,(л), Ьег„(в), Ье1„(в), Еег(л), не1(в) 8.561 з Ьег (в1+>Ье1~(з)=Хт~зез ). Ьег,(в) — з Ье> )з) =У„(зе ~ ). В96(6> 8.562 з„ 1. Ьег,(в)+1Ье1 (Ы= НГ(зе' ) з (см, так>ко 8.567). 2, Ьег,(з) — зЬе1„(г) =Н~'(ге " ) В 96(7Ъ 8.554 Асимптотнческие представления: 1 ~) Г $ 1-27Л+Ю-> — г( + —,) à — '[ Н(У У (Ц+ 1 ~) ~. 2) .2г +~)([ [[агк$ ~ (>т]. ВТФ1130 (63), В363(2~ Асимптотическое представление для Лгн'~) см.
8.451 2. 8.555 Дифференциальное уравнение для функций Струве: 998 8 — 9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФРИКЦИИ 8.563 1. Ьег (г) = — Ьег,2); Ье1 (2) = — Ье[(2). 2. Йег(2) = — — Ье1е(2); йе1(2) = —, Ьег (2). Интегральные представлении см. 6.251, 6.536, 6.537, 6.772 4., 6.777.
В 96 (81 8.564 ОР 1. Ьег(~) = ~~)', 2 [(2й)1]г В 96 (3' у [ — «"ггг г 2 Ье1(2)= у, Щ.,- ~~ 2~ г[[2й+1)1)е В 96;4) В 96 (9) и, Д (824.3) В 96 (10) и, Д (824 41 В 163(6) 8.566 е~~~ 1. 'Ьег (2) = соя р (л) 1г 2лг ~~нгцб~ ( — 1 . 1~ агн2 ~ с" — 1 . ее" ~~ 2. Ье[(2) = — е[п р (з) $/ 2лг где г 25 1З + 8 )г"2 88А г [г'2 128ге Я (2) г' 2 ~ (2)— 1 25 Ыгг 884~г )г г 8 8гр/г Представление в виде ряда 3. )1ег121 = ([н — — С 1 Ьег (з)+ — Ье1 [2) + 2 л г / 4 ОО гА А=1 Ог=1 4.
йе1 (2) = ([п — — Сг[ Ье[ (з) — — Ьег (я) + 2 '~ . л ОЭ 2й+1 у 1 +У ( — 1) ) „+ Ъ. 2О+4А 8565 'Ь (2)+Ье[О [ )=Х ИГ +В+1) Г( +2а+1) А=о Асимптотическое представление 3. Йег (2) = 1/ — е"<-*>совр' — 2) ~) агпг! О;, — л1 .
4- ~ ()=-~~ — „~-' ' [[( — ) ~~-6 ~~ 4 1, -г Г 5 В 227 (1) В 227 (1) Г В 227 (2) 0 227 (2) 8 5 — 8 5 цилиндвичесние ФУнкции и юУнкции, сВЯ3Анные с ними 1001 8.578 Функции Ломмеля двух переменных Г„(гв, г), Р,,(гв, г): Определение ОЪ 1 У (гв, г)= ~', ( — 1)~~ — ) Х, ~8„,(г). ВТФИ42(87), В591(5) пь —.в 2, У~(ИУ, г) сое ~ —.
(и'+ — +У5т)» +Р— т~-х(ге~ г). ВТФ П 42 (88), В 591 (6) Частныв значения: 3. ЕР8(г, г)= Ко(г, г) = — (Хо(г)+соег». '1 В 591 (9) В 591 (10) 1 4. П, (г, г) = — р (г, г) = — еш г. 1)в 5, 0 1х, г)=$~в,(г, г)=~ ) ~соег — ~~~ ( — 1) е У (г)~ =в (2, т>0, [я>1], е =~ В591(11) 6, 0„1(г, г)= — ~'8„„(г, г)=:~ ~ешг — ~ ( — 1) е,.У „д(г)), 2, юп>0, [п>0», е = ' В591(12) 7.
У„(ги, г, =( — 1)" Г„( —, г) В 593 (9) В 593 '10) В 593 (4) 8.579 Функциональные соотношения: д Гх'2 1. 2 — У,(и, г)=П„1(щ г)+~ — ) У,+,(гв, г). д ~х'~2 2. 2 —,„)'.,(гв, г)= У' ~1(гв, г)+ ~ — ) У 1(гв, г). 3. Функция Г„(гв, г) представляет собой частное решение дифференциального уравнения: д'% 1дУ 88У !в~т — г + ~ ) 7ч (г). В 592 (2) д.* ° дх а ~ — з ~ цилиндРичискии е~нкции н аункпии, связлнныв с ними 1003 8.583 Асимптотическнс разложения: '(+'=.') г( — ) Р Г в+1+ — т Г и+1 +О(~з~ ар)+ р ~( 1)п2пп з зп ю+.
п=о Г (1+2 т) Г (1 — ~ т) + тО ~~ г ~ ~' ') [~ агн з ~ < я]. ВТФ П 37 (47), В 344 1) 2. Е (в) — Л' (а)— р — 1 1 — ~ — соп (УЯ) [ ~~~~ ( 1)п2зп ( 2 ~ ( ~ ~ "Яп ~ О(~ а)-иэ) ~ и(1 — соз мн) Х Г и +1+ — т Г и+1 — т ~ ~~Я У 1)п2ап ~../ ~ .l -ап-1+ О ~~ ~-2Р— 1)~ Г(1+ — ) Г (1 — —, ) у +а 'у'+(1 — — ',) у 7(чг, з), где для Л (я) ~('ч, я) ="— ,з1п'чл, В 341 (9), ВТФ 11 37 (44), 1 а для Е„~з> 1(т, а)пп — —,(г+-т+(а — т)соетя]. ВТФ П 37 (45) „В 341 (10,' 8.59 Полнномы Неймана О„(я) и Шлефли Яп(л) 8.590 О п р е д е л е н и е и о л и н о м о в Н е й м а н а: аЬ) '-)=-'~ ': "(а)" ' В 299(2), ВТФ П 33(6) В 303(8) В 299 (3), ВТФ П 33 (7) 2, О „(г) = ( — 1)" О„~з) ~н > 1].
3. О,(.)= —. 1 4. О,'*)= —,. 1 ВТФ П33(7) В 344 (2), ВТФ 11 37 (48) Асимптотическое разложение для У~(з) и Х.„~г) см. 8.451, 8.584 Функции Ангера и Вебера удовлетворяют дифференциальному уравнению вида: 1004 З вЂ” О СПЕНН О.Л ЬНЫН ФЪ ННЦИИ 5 0,(я) = —,т —,, ВТФ П 33,7) Вообще, О„~я) представляет собой многочлен степени и+ 1 относительно я '. 8.591 Функциональные соотношения. 1. О;(я)= — 0,(я) ВТФ П 33 (9), В 301 (3) 2. 20' (я)=0„,(я)-0„„(я) (п>1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
