Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 78
Текст из файла (страница 78)
2К ~ -2К "с'1 1+~ув К! и=1 — + 4 ~~ „„вш К ~~ . в=1 .д., 1 ди 20. 1няди=)н — +1юв1д —,— 4 ~' — — „в1н9 —. М 2К 2~ и1+Чи 2К . 21. 1ы со и = Ы соя — — 4,~ — „, в я1И9, ю. 1 2див спв " +91в 2ф'у . ли тт к 23. ЯНиии ~ Я1И вЂ”.— Ц 24. сии= сов — Ц 2 й' у ви .П у'й 2К ы 1 2 ии-1 М'4 ив-1 Ла 369 (6) Ла 369 (7) 927 5.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И Ф~'НКЦИИ 1+2Д*" 1 005 — +Яв" ли 25. Йп и = ],У й' П 11 — 2дои 'С05 — +Ой™ В К' Ж 86 (147) 1 2 Еи (2и+1)в П~ -ЕО 5Ш (2и+1) 2К 26. Эп'и= У [ о=о —.," ~ с ~ т] . МО 147 или ид~~ 005— 1 ев хи К вЂ”.О 2кв ~1 К 27.
— = — соеесв —,-]- — — — У -— вави 4К* 2К К Кв ~ 1 1 — д'~ [(1 + ~ с —,1~~] . МО 148 8.147 еп и = 2ЬК Е 1 О~ 510 — (и — (Ьй 1) ~К ] МО 149 2. ( — 1)" , вш — (и — (25 — 1) сК'] МО 150 ЮИ1 ~5~~~ ( 1) 2е (и — 125 — 1) вК'] МО 150 8.148 Рааложении Вейерштрасса для функций епи, спи, спи; Л с „в 5пи= — спи= — гни= А ' А' А" где Ь, = 1+ йвв+ 36 (йв-]- й") — 5781 (й'-]- й') — 12184й", я=-О с1=1, с,=1+2йв, со= 1+6Усв+Зйв, с =1+12й2+60йв+32йв, с, = 1+ 20й'+ 348й'+ 448йв+ 128й', св = 1+ Зойв+ 2372йв + 4600йв+ 2880йв+ 512й15, ив~~в А=1 — Х ( — 1)""..„, и — 1 (а2=2йв, ав=8(йв+й4) ав=32(йв+йв)+68йв, а =128 (йв ]-йв) ] +480(йв+йв) ав — — 512(йв ] й15) ] 3008(йв ] йа) ]-5400й", иви+1 В=~ ( — 1)" Ь„„, ц, ['о=1, Ь1 — 1+йв, Ь =1+йв+4йв Ьз=1+йв ] 9(йв ] йв) Ь4 = 1 + йв+- 16 (йз + йв) 6йв, Ьв — 1 + й25.+ 25 (йв+ йв) 494 (йо -]- йо), з — э.
спкцилльныж егнкции г =Х < — ~г~.-„"-„*"„ =о ~Ыв= 1 Ы =1Р Ив=2йв+йв, в1з=8йв+бйв-~-йв с1 =32йв+60йв+12йв ~-йв с~ = 128йв + 448йв+ 348йе + 20йв ~ Ив Ив = 512йв+ 2880йв+ 4600й'+- 2372й'+- 30й~в + й~в, Ж82 — 83(105, 106, 107) 8.15 Свойства эллиптических функций Якоби н функциональные соотношения мвэкду ними 8.151 Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби. См111 630, Ж69 — 72 См 111630 Си19, Си18(13), УВ11344, УВ11352, УВ11352, УВ11348 и З с + с л З с с о с о ! 1 с о + и с в с Л и ОЭ илицы интеграчов Х с О Я сч 1с а Ю с с И Ж с1 1О 00 59 Га 8 1 ЭЛЛИПТИЯИСКИЕ ИНТИГРАЛЫ И ~ЭРНКПИИ с -М + З с + и 980 е-в.
спнциАльныж эь нкцин 8.153 . сп(и, В') яп(1ию й) 1 ( ) ю) сп((и, й)= 1 да (и, й') с(п(1и, й) = й)= !с ~ап(йи, (с 1). й)=с(п()си, й ~). й)=оп(йи, й ~). 7. нп (и, (й)— ) 1+ Йс йв(и)'1+ йР, Ь(1+(г~) ~з) 1 1 св(и(1+и~)2, и (1-(-(~с) ~) 'й) [и(1+,) . „(1+„*)-,) . 8. сп (и, 9. й~(и, сй)— Йв (и (1+йс)'~с, й (1+йс) '~с) Функционацьные соотношения 1 —.са 2и 1 Р 1+Д 2 ° сп 2и.+4в2и 1+оп 2и с(а 2и+й' са 2и+й'~ 1+ив 2и Си 16 (9) Сн 16 (9) 4. яР и+ спс и = 1 5. 6пс и -(- йс анси = 1. 8 155 1 — дв 2и спс и спс и 1+Йв 2и йР и Мо 146 Мо 146 1 — сп 2и сас иди~и 1+си 2и чР и 8(156 1 са и сп с да и +- ип и сп и йп и Бп(и 4- и)— 1 — Й~спси ив'и св и сп с ~ св и сп Ма и 4а а сп (и -~- о)— 1 — й~ са~ и па~ с дпидас~Иип исассписас с(п(и -~- и) 1 — и' ьв' и ыР а Си 46 (58) 4.
ап (и, 5. св (и, 6. с(а (и, (и )' 1 + И, !~ (1+ йс) 1) Си 50 (64) Си 50 (65) Сн 50 (65) Мо 146 Мо 146 Мо 146 Си 46 (56) / Си 46 (57) 931 8.! эллиптичкскив нытвгРАлы и ЖРнкции 8.157 /1 — 1в и /1— вв — =, + — ~у 2 ' й ~ 1+си и Р 1+йви Си 47 (6Ц„~Ъ 67 (шоу 3 6 — "= $/ "~ "=- 1с' )/„. Си48~63), С 67(17~ 8 158 Й вЂ” яп и = сп и 6п и. ! Ыи д ии — сп и = — яп и Йн и а йи — Йпи= — Й яписпи. Си 21 (21~ 1. — яп и = ~ (1 — внви) (1 — И япв и) .
йи 2. — сп и = — ~(1 — спв и) (й'8+ йв спв и), 3. „— Йн и = — )/(1 — йРи) (йРи — й'8) . Си 21 (22~ Интегралы (неопределенные) от зллиптических функций Якоби см. 5 13 8.16 Функция Вейерштрасса я>(и). 8.160 Эллиппшческая функция Вейерштрассая" (и) определяется равенствовв= и 1 '1 1 1 1. ф(и) * + -~~ ~(и — 2т — 2 )8 (2 +2 )8~1 СИ307Щ вв и где знак х, указывает на то, что суммирование распростраяяотея на всю комбинации целых значений т и и, за исключением комб11пацин па=-и=0 а 2ю, и 2вх суть периоды функции ф(и) Очевидно, 2, 8< +~,+лщ>-8< > в ( — )~о, а 3.
~ — Я (и)= — 2 ~У~ < 2 2„)8 1 где суммирование распространяется на все целые значения л8 н в. Ряды 8.160 1. и 8.160 3. сходятся повсюду, за исключением пеаюсев, т. е. точек 2лиа1+2пв (т и п — целые числа). Ь98' 8.159 Эллиптические функции Якоби являются решениями следующих диф- ференциальных уравнений: 932 3 — 9 СИЕЦИАЛЪНЫЬ ФУНКЦИИ 4. Функция (е(и) является периодической функцией 2-го порядка, имеющеи в параллелограмме периодов один полюс второй Кратности Си 306 8.161 Функция (У(и) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1. ~ — (р(и) ~ 45 в(и) — дз~(и) — дз Си142, Си 310, УВ П 267 где 2.
уз= 60 ~~ (та,+нева) а Яз= НО )~~ (та,-) пвз) ' т и ез, и УВП268, Си 310 Числа г и г называются и>свариантами функции 5з(и). 8.162 и = дз е(з Р 4зз — 9зз — ез 1 'Г' 4 (з — ез)(з — ез) ( — ез) Р (а) Р (а) где ем ез, е, суть корни уравнения 4зз — дзг — де=О, т е. е +аз+ее= О, е1в + еез+е е = — ~, егезез= '4' Си142, СИ 143, Си '144 8.163 ~>(ез ) =ем )е(а + ц,)=в, ~9(вз) =е, пРи этом ЦРедиолагаеъсЯ, что ЕСЛИ ТОЧКИ Г,, Е„Е ЛЕЛзат В КОМИЛЕКСвсй ПЛОСКОСтн На ОДНОИ ПРЯМОЙ, тО ез лежит между е, и е 8.164 Число Л = дз' — 27д,' называется дискри.иинантом Функции 5'(и). Если Л > О, то все корни е„е,, ез уравнения 4гз — д г — ге= 0 ( „и дев действительньге числа) д е игс т в и т е л ьн ы В этом случае нумерацию чисел е„е„ез производят так, чтобы е, > ез > ез 1 й;слп Л>0, то 'з е'з е )'из+К вЂ” 4 ' 7з Г'4 ' — а — А 'з где гв, — действительное, а го — чисто мнимое число; прв этом значения корня под знаком интеграла выбираются так, чтобы а1 и — ' были полозкительны Си150(15), СИ150(16), УВ П276и 2, Если Л < О, то корень ез уравнения 4гз-- д г — д =0 дойствитсл ен, а оста чьные два (е, и ез) к о м п л е к с н ы е с о п р я ж е н н ы е Пусть 91=а-~- ф, ее=а — зр.
В таком случае в качестве основных полупериодов удобно выбрать дз и ю'= ~/4зз у з е ез е(з ю'=— ) 4" — а" — аз е Интегрирование в первом интеграле производится по пути, целиком лечащему в верхней полуплоскости, а во втором — по пути. целиком лежащему в нижиеи иолуплоскости. Си 1о1(2')., Си151(21) 3 8.165 Представление в виде ряда: че ( ) = — з т 4 5+ 4 7 + 2е 3 5' + 2з 5 7 И + УВ П 268 8 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И Ч>УННЦИИ 8.166 Функциональные соотношения: 1.
1зэ(и) = ф( — и), 9з'(и) = — у'( — и). ~' ( + ) = — У (и) — У (и) + — ~ 1 г(з'(и) — )ЭЧР)п з 4 ! $Э (и) — 8'(и) 1 8.167 ~у(и; ез, д ) = )ьзф ( рл; — "",, зз, ' (формула однородности), Си 149 (13) Частный случай: )з 1. 1. У (и;,7„кз) — — ь (зи: зУз — 1',з), 8.168 Любая эллиптическая функция может быть выражена через эллиптическую функцшо ф(и), имшсщую те же периоды, что и данная функция, и ее производпувз Ц~'(и); выражение это рационально относительио ф (и) и лииепно относительно 'ф'(и), 8.169 Связь с эллиптическими функциями Якоби.
11ри Ь > О (см. 8.164 1.) / и '~, свз (и; lз) 1. 8 ~, ) =е,— (81 — ез) заз(и;Й) ' «~'(к1) . = ез+(е~ — ез),„з(„~) ' 1 ( 1 з) авз(и Й) ' Си 145(5), Ж 120(197 — 199) и Си 154 (29) з'К' Ю З з )/ ез — ез 2, а,= И где з. з-и' —",, з'=Р'," 11ри Л < 0 (см. 8.1642.) и ~ —," '9 "", з 1 гсв(2и,й).
у~ /рр з',) ' ~ ' з 1 — з;ъ)' Хз — ~Ю' з зз+зК' 2 1~ эа'+ рз ~' эаз+ р' Си 145 (7) Си 147 (42) Си 153 (28) где 6. /с= —,— ' )е' = / — + Г' Ваз — р' ~~ 2 ~~ паз+аз е Си 147 Если е, 4. е, = е„то Ззз Эзз 1 Если ~из=аз=О, то е,=е,—— е,=О и 1 9. )у (и) = —, Си 148 Си 149 Си 149 При Л=О все корпи е„ез, ез действительны и дна из них (если уздзчь 0) равны между собой. Если е, =- е, чь е„то 4 ! эллиптические интегРАлы и 6>Рнкции 8.178 1. Ь (и; ю„з! ) = 2~ (2и; 24в1, 24в2).
МО 154 2. п(и; а„в,)=Х 1о(2и; Хвд, Юа!2). МО 156 Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Вейерштрасса см. 5 14. 8.18 — 8.19 Тэта-функции 8.180 Тата-д!ункции определяются как суммы (при ~ д ~ ( 1) следующих рядов: 1. д4 (и) = 42; ( — 1) д"~е2""! =1+2 ~~ ( — 1) д" соя 2пи. УВ И 300 ОР 1 г (И) — ~~1 ( 1)" д( 2) Е!2в-!-1! и!— 1 М=-02 СО 1 2 = 2 ~~~~ ( — 1)" д яьп (2п — 1) и.
44+1 ( 2) Т4'. ! о~ 112 д (и) = ~~~ д( 2~ е!244+1!'!44 = 2 ~„д( 2~ соя (2п — 1) и. !! — СО 11 ! УВ 11 300 УВ П 300 4 д (и)= ~~~, 'д"'ез'"'=1+2 ~~ д"'соя 2пи. Употребительны также обозначения д(и, д), д(и ~т), где т связано с д соотношением д = е 8.181 Ьесконечные произведения для тэта-функции: 1. д (и)= Ц (1 — 2дз" — 'соя2и+дз!2" — '!)(1 — д2"). Си200(9), Ж90(9) 4=! УВ П 300 2. д (и) = Ц (1+2д24! ! соя 2и+ д242!! !!)(1 — дз"'). СИ 200(9), Ж90(9) йо 3. д (и) = 2 у~д я1п и Ц (1 — 2д2" соя 2и + д"") (1 — д2"). Си 200(9), Ж90(9) 4. д, (и) = 2 ~' д соя и Ц (1+ 2дз" соя 2и + д'") (1 — д2 ).
Си200(9), Ж90(9) Функциональные соотношения и свойства 8.182 Кв а зиперио дичи ость Пусть д=в"ч!(1шт > О); тогда тэтзфункции, являющиеся периодическими функциями от и, оказываются квазипзриодическилчи функ!!изми ъ и и. Это их свовство вытекает из следующих равенств. 1.
д, (и+ я) = д, (и). 2. д4(и+тя) = — — е-""64(4). 1 д з — 9 снвцихльнныа Фъ'нкции 8 183 -'2. 7. 8.184 Четность и нечетность: 0 (-и) — — 01(и) д ( — и) = О 2 (и) () 2 ( — и) = д (и) (1 ( — и) =0~(и). УВ П 301 УВ П 301 УВ (1 301 УВ П 301 2. 3. 4 8.185 д,' (и) + Ю; (и) = д', (и) + д~ (и). УВ 11 306 8.186 Рассматривая тата-функции как функции двух независимых переменных и и т, будем иметь: лŠ— ',, +4 " =0 [В=1 2 3 4]. УВ П 308 8.187 Частные производные от тата-функций по и будем отмечать 1птрихом и будем рассматривать их как функции одного только аргумента и; тогда д1 (0) = О,(0) д,(0) Юе(О).
УВ П 308 01" (о) ю" (о) 0;(о) ю (о) УВ П 332 0' (0) бе (0) ое (0) Ое (О) О (и)О (и)() (и)Ое(и)= ( В (2и)д (О)6 (0) 6 (0). УВ П 332 8.188 д (и+ и) = — 01 (и). (и + тд) — е — 2~и 0 (и) 1 1 Ф,(и+и)= — Ф (и). Ф, (и+ тп) = — е — "" О, (и). 1 т Ов (и + и) = О (и). О (и-)-тп) =- — е 2'" Ов(и). 1 Д е, ( ~. —,' ~) = е, <,1 и+ — и =д,(и). $ (и --Г- М 2 е,( + 'п1=е,(,~. е,(„- — ' )-, --е ( >. ( х ()'1( и+ — ж) =1д ее — 'аде(и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
