Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 77
Текст из файла (страница 77)
2 а а рвй = Р)1 р*тахвв ПЗ ! р' — м+й О~.А = ~Не~)>!Не[1~ — — „., т=1, 2, ...~. ИПП416(10~ ррв<2) + ), )в» )<(т+»- — р — — в)а, Я Я 2 Я з) п1ах — —, Не —. ) + Н1ах В в а, ( Ве 9 ~ шщ Ве Ь; + — Вв )) + — ) . 1<)~т Я~Я~~рв 2) ИП 11 421 (12) 8.— 9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ Ф.т НКЦ$$И 8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 8.11 Эллиптические интегралы )» 1 /2ув ах ах, Н* 3'(1- в)(1 — а *)' в которые называются соответственно зллиптическими интегралами первого, второго и третпьего рада в лезв аидравои нормалыгай форме.
Результаты такого приведения для часто встречающихся нате~ ранов даны в формулах 3.13 — 3. 17 Число ь называется модулам з гнх иптсч разов, число й' = ')» 1 — йо— их дополнительным модулем, а число и — парамепв ром интеграла третьего рода. Ф П 97 — 106 2. Эллиптичссьие интегралы подстановкой х=в1нгр приводятся к нормальной тригонаме~прической форме р»1 — йв з1пв <р ~~<р Нр (1 — ~-а в~ив ~р) )» 1 — йв в)ав <р ФП106 ~йр г 1 — /с~ ыи~ <р Результаты приведения интегралов от тригонометрических функций ь нормальной форме см 2.58 в 2.62 л 3 Эллипгические интегралы, взятые в пределах ог 0 до —,, называются полными эллиппгичгскими иниггралами. 8,111 Обозначения: 1. Ьгр = )/ 1 — Ьв знР <р; /с' = )/ à —,тв, ал < 1. 2.
Эллиптический интеграл первого рода. ма <р Р(~р, й) = — ° о о $» 1 — Ивш'а 1» ~1 — хв) 11 — Усвоив) 8,110 1. Всякий интеграл ~ Л(х, 1» Р1х) ) дх, где Р(х) — многочлен третьей или четвертой степени, могкст быть приведен ь лннеинон комбинации интегралов, приводяп1их к злементарным функциям, и следуя щих трех интегралов.
В 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 919 3. Эллиптический интеграл второго рода: Ф мо х Е(ср, й)= ~ 'у'1 — йошпоаИа= ~ 0х. Ф11135 1~ 1 — х~ о о 4. Эллиптический интеграл третьего рода: о мп а П(Ф, а, й)= . Си13 (1-~," ч'"' о) У 1 — О'ол1' е, (1+ахо) у (1 хг) ~1 йЪ~1 ' о о о) 1о ч 5 Л й = Ых $/ 1 — А'-' я э ~/(1 — '-я (1 — 1охъ) о о 8.112 Полные эллиптические интегралы: 1. Л(й)=/г~~~, /) =Х (й). х.
Е(й)=Е ~ 2, й /=~'(й'). 3. К(й)= ( — ",, )= (Л'). 4. Ж'(й) = Е ( —, й') =Ж(й'). 5. И=В ( —, й) =,„ При записи полных эллиптических интегралов модуль й, служащий независимои переменной, часто опускмот и пишут так. МГ(=Л (й)), И" (= Л'(й)), Ж(= Ю(й)), Л' (= Е'(й)). Представление в виде ряда 8.113 1..К= — 11 Я й+( ) й'+...+[ ' ' 1 й'"+...1= 2 Л;= „, (1.~- ( — ) ( .) -~-( —.) (1 /135 '2~' 4 2 2 2 ',ь +~-. — 1 ~Ь вЂ”,— —.— — — — ~)й' + ...
Д(773.3) 2.4.0 > ~ х' 1-2 5 4 Э о,/ См. также 8.197 1., 8.197 2. 8.114 = — "У( — — ' — ' 1 йх~ Ц~Ц487 920 з а. сякциАльнык ръ нкцни 3. Х=1+ —.( 1в — — —,)й'+ (1н —,— — — — ~й' + 2 (, а' 1 2 ) 2 -4 ( 4' 1 2 3-4 1~3~5 ' 4 2 2 ! ~,в ( " ~" ] й~(т~ — ~ + ~ Н(43(158) 2а — 1 [ 2"п! 2 асссов †, $5й'~ ( 37 21 1 256 ( 144 43д'~ 4 + ( «--,') — ',. Я „'„- — '„~ — ",.) ~+ .... р= 1я —,, й' = 4е ", й' = 1 — 1Р, и" = 1 — п~. Ж 44 (163') где 2, Г (2 — 1)!! 1 и 2 а = — МГ-1 а =а — ~ " ~ й'". е — и в и-1 ~ 2ва~ 2. К(ф, й) = — Хф — з1н<рсоз~р~Ь,+ — Ь,61н ~р+ — 'Ь,з(н ~р+ ...
), 2 Г 2 . з 2 4 . 4 ж 10 (19) где 2 (2а 1) и а )съп — Ьв — в-~ 8.118 При й, близком к 1, можно нользоваться рядами: 1. Р(~р, й) = — Ю' 1лйд ( — „-~- — ~— 2, Гф я~ я ( — ~ а' — — а'1д ф+ — а'1а ф — ... 16фГ 2, з 24 совф~, ~ 3 3.5 где а,'= — „Я' — 1; а' =а,', ~ — ~ ., „,) ~ й' . Ж10(23) Тригонометрические ряды 8.117 При малых значениях й и ~р можно пользоваться рядами 1.
У(у, Й)= — ~р — Ы у~ву (а «-- а,Ы ~«- — '„а, О~ щ«. ), 2 Г 2 . з 2 4 922 8 — 9 СПИЦИАЛЬНЫН ФУНКЦИИ Формулы преобразования ! М(р — Ф) =)с'МФ). МО 131 МО 130 (1+й) 8Ш Ф~ МО 131 ~(Фй йй) йй Ъ с)п Фй сов Фй с , 81)) Ф сйФ вЂ” '1аФ сое Ф Л~~ вес Ф с [Е( 1 й ймв Ф 1 й' —, [Е ( — ~Е (Ф, (см. 8.111 1 ° ). МО 131 8Л28 В частности, МО 130 МО 130 МО 130 Интегралы от эллиптических интегралов см.
6.11 — 6Л5; неопределенные инсегралы от полных эллиптических интегралов см. 5Л1. 8.125 1. р'Сс, Ф„-й,) =)1.йй')Р)с,!) 2. Е( й[) 1+,~ =, ~И(ср. Ч+йГ(ср И1— 1 — й — 1+ й, в[п й[) 3 с[с,,т)-)).йй)й(% а). 4. Я[й, „)= — [28)й,й) — й"Р)й,й)). 8.126 В частности, / 1 — й' 1+й' [1 й,)= ., Х(й). 2 '~1 й, 1 — 1 '(И ' й)3 4. е( „)=- — )2й))й) — й'х)й)). 8.127 й Е (Ф, й) — )Р(Ф, й] йЕ(Ф, й) — йй'Р(ср, й) — сй~(Ф, й) 1.
Х ~с — „, ) =Ь'Х()с). 2. К' (1, ) = й' [Х (й') — сХ()с)]. ь. )сД) =й)с)й)-йас')й). МО 130 МО 130 МО 130 МО 130 923 зл эллиптические интегРАГгы и ч2~'нкции 8.129 Частные значения: 1 ь (мгг )=.к(~, )=к'(~, )= 1/2 ~ 'г" 1 — гг ~'(~)1' МО 130 МО 130 МО 130 МО 130 4Ул 2. К' ()/2 — 1) = 1/2 К (ф'2 — 1). 3. Х (егп — ) — )/3хх (гпп — ) . Ж' ($2' — ) =-Ж' ( -") .—,.2Ж (фг' — ) 8.13 Эллиптические функции Ж Пг, а — — лггпа г, ж ага 27 жглг . ж г 1- (-"- " '" (-"-")5 гп2 ~,ь 5,ь 3. П р о и з в о д н а я эллиптической функггин есть также функция зллнггт22ческая (с темп же периодами). См Ш 308 4.
Вл.пгптическзя функция, отличная от постояггпого, имеет в параллелограьгие периодов к о н е ч н о е ч и с л о и о л н2 с о в: ые менее двух простых или одного полюса вгорого порядка. Пусгь этп по'носы находятся в гонках а1, аз,..., а„п имеют соотвегственыо ноРЯДкп а„аг,..., а„. ПУсть н~лп эллиптической функции, лежащие в одном 12араллелогрзмме ггериодов, суть 6„6„..., 6 „, и пусть порядок этих нулей соответственно равен р1, 'рз, Тогда У вЂ” аг+аз+ - .. +а =р1+рг+ ° . +р Число у, равное этой сумме, называется орлдлолг зл;12тта 2жтой функции. См 111 М9, Ж 118, Си 300 — 301 5.
С у м и а в ы ч е т о в эллиптической функции относительно всех полюсов. принадлежащих параллелограмму периодоз, равна нулю. Ж 118 б. Разность между сулгмой всех нулеи и суммой всех полюсов эллиптической функцин, расположенных в параллелограмме периодов, равна ! некоторому ее периоду. 7. Меькду каждыми двумя эллинтическимн функциями с одинаковымп периодами существует алгебраическое соотношение. 1" у 112 131 8. Однозыичыая функция не может Иметь более двух периодов.
Гу П 147 8.130 Определение и общие свойства, 1. Д р о б и а я функция 7" (х) комплексыого переменного называется эллиптической, если она допускает д в а и е р и о д а (является двоякопериодической) 2гег и 2сог, т. е. если у (з+ 2иге1+ 2псзг) = 7'(х) [и, и — целые числа]. Отношение периодов эллиптической функции н е м о гк ет быть де йст в ительным ч иолом. Для зллипзическойг фуги'ции г'(х) плоскость з можно нредстзвигь себе разбитой на параллелогрзъггггг — иа72аллажозргьг ям периодоо, вершинами которых служат точки зп ',— 2тезг — 2ппзг. В соответствующих точках этих параллелограммов функция 7" (з) имеет одинаковые значения.
Ж 117, Си 200 2. Пусть а — угол между сторонами а и 6 параллелограмма периодов. Тогда 8 — 9. опкциАльные )въ~нкции 9 Эллиптическая функция порядка у принимает любо е 8 н в ч ение е параллелограмме периодов у р а а. См Ш601, Си301 8.14 Эллиптические функции Якоби 8.141 Рассматривая верхний предел <р интеграла Иа и= р' 1- — Й~ юов а о как функцию от и, пользуются обозначением )р=агни и = агд гр. 8.142 Амплитуда является бесконечнозначнон функцией и, обладающеи периодом, разным 4Кг Т о ч к и р а з в е г в л е н и я амплитуды соответствуют значениям аргумента и = 2тлх + (2п + 1) лх '1, Ж 67 — 69 где т и и-произвольные целые числа (см.
также 8.151). 8.143 Функции яни=яшгр=яшаши, сни=соягр=сояаюи, с(ни = Лгр =)г 1 — йв81нв<р =- в ° в )г)р )гв называются соответственно синусом амплипгудгл или эллиптическим синусолв, косинусом акплигпггды нли эллиггти)геским косиггусол и делыпой алгп.гитудм. Все зти зллинтические функции были введены Якоби и носят его имя. Си 16 Эллиптические функции Якоои являются двоякопериодическим и функциями, имеющими в параллелограмме периодов д в а и р о с т ы х и о л ю с а.
Ж69 8.144 вв ),) 1. =1 о сав 2. и=~ г р' г1 — в~) 11 — Игвг Си 21 (23) в. =1 )))) — ')))'-Й *-) 8.145 Представление в виде степенного ряда: 1. яп и =и — — и*+ ив— 1+ ггв 1+ 14И+гвв 1+ 135~св+ 135И+ вв 31 5) 7) и'+ 1+1228йв+5178ггв+ 1228йв+ Ьв )К 81 (97) и называют зтот верхний продел амгиитудой. Величину и называют аргу- лвентолв и зависимость ее от ~р записывают так: Ла 369 (5) 11.— Ла 369 (5) ййи 1 1+ Зв — 1 я1п (2и — 1) 12 ы ьп и Ла 369 (6) Ни 91П— 2К 00 М вЂ” — 4 2„( — 1)" 11и 1 спя —, и=1 , 1И-1 ди —,„-= —, соя (2л — 1)— 13.
14 ьп и 15 5пиппи спи Ла 369 (7) 1ди ~-~ 99в-1 ви Х1,12 -пя1Н(2 — 1) Ки=1 +4 ')' ( — 1)" 9 „в1п — "~ . Ла 369(8) и=1 япи спи пп и Ла 369 (7) 17 ип и Йп и спи и Г ~~ 4 '~~1 Ла 369 (8) Ь1П— К и=1 '1 9. 8п испи К Ла 369 (8) Ла 369 (2) Ла 369 (2) Ла 369 (2) и=1 Ж 86 (145) Ж 86 (146) 8 — 9 СПГЯИАЛЬНЪ1Е ЮЪ'НКПЯИ д Г ли в-1 99И . пии1 — ~ с$д — „— 4 ~~ я1п — ] 2К ~ 2К и —.1 сб и —— 2 — — Я, ( — 1)и ~,„, соя(2и — 1)— П Г Яи ф 'и1 Д . ийи — [с1К вЂ” — 4 2 — я1п — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
