Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 80
Текст из файла (страница 80)
° 8.332 1. ! Г(1у) ! 2. Г ( —.)- ~2) ( = — „, [у действителен]. МО3 3. 1' (1+ Гх) Г (1 — Гх) = — „* [х действителен]. 4. Г (1 -1- х -+ 1У) Г (1 — х+ 1У) Г (1 + х — 1У) Г (1 — х — 1У) = 2)22 (кр+у2) [х и у действительны]. ЛоУ 8)) Нун — со8 Нхрг 8.333 [Г (и+ 1)]" = 6(п+ 1) Ц й)2, где и †натуральн число и а) 81)2=1(2)Р *р[ — ')Г ) — Н '] И((р-р — ') р( — -',.— )). оо=1 УВ 1143 Ф 11 782 и, УВ П 12 Д ',, = — "П [) — ( —;)"] ) =2,8, ..).
МО2 1 Г ( — гЕХР а 2. Г( -)-*)Г( —,— *)=— 3. Г (1 — х) Г (х) = . Ф11 430 1-и 1 н-1 8828 Г)н*) =):м) ' Ц Г( -)- — „) )моором роном ннн). )р=е 952 8 — 8 СПЕПН ЛЛЬНЫЕ <РАНК 11ИИ Частные случаи [формула удвоения]. УВ П12 СО 8336 Г( —" )Г(((-~)=(2сГ' гг(((-~ (~ ' ы($(()и 2у 2(( (Ве (у1) > О, Ве(х — уз1) > О]. НГ 133(10) Связь с пси-функцией см. 8.361 1. Связь с бз(а-функц11ей см 8.384 1.
Интегралы от гамма-функции см. 8.412 4., 8.414, 9.223, 9.242 3., 9.24~ 4 8.337 1. 2. М01 ЯЭ 107 Частные значения М01и УВП36 В 221 1 2 3 8.338 1 2 3 4 5 8.339 1 2 3 4 Г (2х) = — Г (х) Г «х + 2 ) 1 зх-— (х) 2 () С +3) ~ +3)' в — 1 П г( — ")г(( — — ')- — ""'" 1Г'(х)] < Г(х)Г (х) гх > О].
При х > О п11н Г(1+х)=0,88560 .. достигаетса, когда х=0,46163 ... Г (1) = Г (2) = 1. гЯ)-у . Г( — — )= — 2]~ я. [ С 4 ) 1 И ((4А.— 1)1 — Ц (4Ус+1)1 ( 1 П г®-~( ".)'. При и натуральном Г (я) = (я — 1)! ГСД+ 2 ) (2я 1)П гЯ вЂ” ) =( — (г,'"~"„,. ( ) 11 Г р+-и+ — ) 2 г (4р8 — 18) (4р' — Р) ... (4р8 — (2п — 1)8) Г (р — п+ — ) 954  — «, спкциАльные Функции 8.343 СО 1. 1н Г(х) = 1н)/2п+ ') ~ — „сов 2ппх+ — (С+1п 2пи) в1п 2ппх~ юь= 1 [О< х< Ц. Ф1П558 2. 1н Г (з) = г 1н г — з -- —.
1п г+ 1п'$~ 2и+ где [д ( )[< ! еаза 2«12в 1) ) «Ра-з се«с«-х ~ «г~» « Интегралы от 1п Г(х) см. 6.44. 8.35 Неполная гамма-функция 8.350 Определение: л 1. у(а, х) = ~ е 'г" Нг [Веа > О). о Г (а, х) = ~ е '8" ' с1~. ВТФП 133(1), НИ1(1) ВТФП'133(2), НИ2(2), Ле339 8.351 -а 1. у~(а, х)= — у(а, х) — ан«литическая функция по а и по х. Г (а) ВТФ П 133(5) 2. Другое определение у(а, х), пригодное и для случая Веа<0: у(а, х) = — е Ф(1, 1+а; х) = — Ф(а, 1+а; — х) ВТФ11133(3) Г(а, х) — целая функция от а. При нецелом а Г(а, х) является многозначной функцией от х с точкой ветвления при х=О. Другое определение Г(а, х): Г(а, х)= — х е "%" (1, 1+а; х)=-е Ч'(1 — а, 1 — а; х).
В'1Ф11 133(4) 8.352 Частные случаи: а ус.~-и,*)=п! [[ — г (~ *")) юз — 0 [и = О, 1, ...). ВТФ П 136 (17), (16), НИ 6 (11) 1 ~и 9 + — ~ ~~~~ ~~, ~~ „., [[агяз[ < п1. МО тл=1 я ! 8.344 Асимптотическое разложение для больших значений [ з ~: тв-4 'нГ(з)=«1аз — з — 2 1нз+1пф 2и+ ~ 2), 2й — 1 ~' '+~~ (х)' «-$ (а Г(1+и, х)=я! е '~~ —, [я=О, 1, ...].
ВТФ11136(18), (10) »а — $ ( 1)»4 Г Г( — и,, х)= (:) ~Г(0, х) — е" ~ ( — 1)е( —;,~ Р3 М [в=1, 2, ...]. ВТФ11137(20), ПИ4(4) Интегральные представления: У(а, Х) = Х~ СОЗЕСЯа Е" ~®е О СОВ (а6-]-Ха(НО) (40 [х Ф О, Ве и > О, а Ф 1, 2... ). »(а*(=*» ]»-'»1» (1(»»)а» (А.а) о(. Ат»а(((4»(4( аа о [Веа(1. х >О]. ВТФН 137(3). НИ 19(12) 1 1 г(а, »1- ~, ' ] .-'(»'А.]1У*»]е о 8.353 [Не а ( 1]. ВТФ 11 138 (5) аа ь. Г(а, а(-~»- ] -' (»4. (' '4» о [Веу>0, х> О, Веа > 1]. (См. тик2ие 3.936 5., З.М4 1.— 4.) НИ 19 (10) Интегралы от неполной гамма-функции см.
6.45. 8.354 Представления с помощью рядов. ( — 1)"*'*+" у(а, х) ~, + — о ВТФ 11 135 (4) 1)(4 СС+44 Г(а, х) =Г(а) — Я »»==О [а Ф О, — 1, — 2,...]. ВТФ П 135(5), Ле340(2) Г (а, х) — Г (а, х+ у) = у (а, х+ у) — у (а, х) = »»» А = е--х" — ' А-1 ( — 1)" (1 — е ((еА(у)) Г(1 — а+Й) ~ч х™ хА Г(1 — а) , е (х)=,~; 24»и] А~) и»=о ВТ()) П 139 (2) []у~ ]х]], 1 ' ( »» 4. ]((а, х) =Г(а) е- х2 «т х2 1„+ (2]Р х),»'„— »»=О т=о [х~О, атьО, — 1, — 2,...]. ВТФ 11 139 (3) а 2 ди»1».РОВы интеГРАлЗ»1 1-га и 2-г(( РОДА и РО»и.тв1'нные им ФРикции ()55 3 — 3 спвцилльнын Функции ВТФ П 140 (5) Г(а.
)~(а. У)= "-'(ху)" Х 1,' 1 ~"-(х) ~" Ь) [д > О, х > у, а ~ О, — 1,... ). ВТФ П 139 (4) 8.355 4. ВТФ П 135 (8) НИ 4(3) в=а Г (а) Г (а+ и, х) — Г (а+ и) Г (а, х) =— = Г (а+ и) т (а, х) -~- Г (а) Г (а+ и, х), Асимптотическое представление при больших значениях (х[: и — 1 Г(а,х)=ха — 'е — х~ ~ ( 1) Г(1 — а+и) +О(1х~-м)1 хх'Г (1 — а) а~=О НИ 5 — ° Зи Зя — — <агах< — „,, АХ=1,2, ...~. ВТФ П 135 (6), НИ 37(7), Ле 340(3). Представление в виде непрерывной дроби: 8.358 е хх Г(а, х)=— 1 а 2 — и 2 1+ 3 — а х+— 1+ ВТФ П 136 (13), НИ 42 (9) Г(а,х)=е- х" ~, " ') [х)0), х=е 8.356 Функциональные соотношения: 1. у (а+ 1, х) = ау (а, х) — хае — ", Г (а+1, х) = аГ(а, х)+х"е- . Г (а, х)+ т (а, х) = Г (а).
ат(ах)ИГ(ох)хе х Ых Ых и — 1 Г (а )-а, х) 1' (а, х) ~д х'"+ г(а+ ) = г(а) +' ~ Г(а+ +ц 8 359 Связь с другими функциями: 1. Г (О, х) = — К1 ( — х). 2. Г(0,1и — ) = — 1~(х). 1 '~ 3. Г ( —., ~') г'л — ~' яФ х~. уЯ, я') г хх). ВТФ П 134(2) ВТФ П 134(3) ВТФ П 134 (1) ВТФ П 143 (1) ВТФ П 143 (2) ВТФ П 147 (2) ВТФ П 147 (1) 958 8 — о, еппцяАлъпыж Фъ'нкцин ее 2 1 3. 2(5 (х) = — С+ — (х — 1) — (х — 1) ~~~~ 6 а+1 х+У,~ х+ее Н=! О-О НГ 54 (12) 8.363 1. 2(2(х+ 1) = — С+ ~ ( — 1)" ~ (й) х"-'.
НГ 37 (5) хе 2. 5( (х+- 1) ОΠ—, — — сй9 ях — — — С+ ~ [1 — е" (2й+ 1)] хо". й=е НГ 38 (10) ЕО 3. 2(5 (х) — 2(5 (у) = ~ ( — — 1 (см. танжЕ 3.219, 3.231 5, 3.311 7., у+х х+ ее е 2=О 3.68820., 4.2531., 4.29537.). 2ус 4. 2(2 (х + еу) — 2(5 (х — еу) = «',— у'+(х+це НГ 99 (3) Представление в виде бесконечного произведения ОО 1 1. е» е=еЦ (1-5 ) . е'". х -(- ее,/ ее=о ОО У ОО(-) Р(х+У) и ~1+ У 1, -+ . Г (х) П ~. х+ ее,/ О=О НГ 65 (12) НГ65(11) См также 8.37 Связь с дзета-функцией Римана см. 9.533 2.
Связь с гамма-функцией см. 4.325 12., 4.352 1. Связь с бэта-функцией см. 4.253 1. ЕО 5. Е(е)= — С-Гт ( — — ) 1е .* 52512). НГ2211) г у У Ге+ 1 р+ йО -(ЯУ)- 6. 2(2 ~ — ~) — С вЂ” 1п 27 — — с(,д — + 2 ,'«~ ~ соз — )и з(и — ~~ е' р~ Я РЯ . Г 2!2РЯ . 1сл 1 у Ч 15= — 1 (у=2, 3, ..., р=1, 2, ..., д — Ц. М04, ВТФ119(29) 2(-;)-2( —,')=12 ~ „,.511 — 1 НГ 59 (3) О=2 А=О О=О Ряды псе-функций см 8.4032., 8.446, 8г447 3.
(цилиндрнческио функции), 8.761 (производные от шаровых функций по индексу), 9.153, 9.154 (гипоргеометрическая функция), 9.238 (вь2роя.денная гипергеометрическая функция). Интегралы от пси-функций см. 6.46 — 6.47, 8.365 Функциональные соотношения: 1. 2р (х+ 1) =- ф (х) + — . $ 2. 0( 31) 2®-23<*> <,2 3220>. 23 — 1 3. ф (х + в) — ф (х) + ~~Я >2-О 4. 2(>(и+1) = — С+ ~~ — „.
>2=> 5. Ит 1>р (з+ 22) — 1вя] = О. 23 — 2 6. 2~>(вз) — ~ >~> ~г-~- — )+1ви [и=2, 3,4, й е 7. 2(>(х — и) =2~(х) —.5', —. >3=1 8. 2)>(1 — г) =ф(з)+нс16лх. 9. 2(> —, + = 2(> — — -1- н16 аа. Гз 10. Ч> ( — — я ' =2>> ( — +>3)+н 123 — натуральное число~. 8.366 Частные значения: 1.
$(1) = — С (сравни 8Л67 1.). 2. ~р —. — С вЂ” 2 1в 2 = — 1,963 510 026 ... л 3. 3( — 4 )= — С-1-2 ( 2 — 1п2 ~. а=2 4. 2р ~ — ) = — С вЂ” —,— 31в2. /1~ я '4, 4 ) 5. 2)> ~ — ) = — С+ — -31в2. 3'3 2 23 4,4) 2 -/4 3 ~З) 2 1' 3 2 /2~ я ~4 3 7, $~3) = — С+ — $г — — — 1вЗ. 2 3< 3 2 8. ф'(1) ="— = 1,644934067 ... 3, >' (1) = — ", =4334302201 . ЯЭ 109 и Га 154 (64) и МО4 МО3 МО3 Га 155(68)и НЭ 109 и Га 155 и ЯЭ 109 и Га 157 и Га 157 и Га 157 и Га 157 и ЯЭ 109 и ЯЭ 109 и в.з эилквовы инткггАлы >-2~ и 2-20 годл и водствкнныв им етнкции 959 960 Π— О.
СПЕПИепЛЬНЫЕ 42ПУННЦИИ 10. ~ ( — )= 222 -4 ! 1' '~'(") = а - 2 ж 12. 47'(24- )=е — 4~ епе еп 74=! [и †чис натуральное]. ЯЭ 109 и 71 13. !р' ( — — !2) = —, +4 ~~ о=! Ф11795, Ф11319 Ф11801 и Ф 11 804 Ф 11807 4Р 11807 Д (852.3) МО 10 МО 10 Ф11795, Ф11802 Д (852.4), МО 10 8.367 Эйлерева постоянная: 1. С= — ф(1)=0,57721566490... 74 — ! 2. С = 11ш ~ ~~~~ — — 1п я~ . еп=! 3.
С= 11ш ~ ~(ж)— ~-~!+о Интегральные представления: 4. С = — е '1п г 4М. о ! 2. С вЂ” ~1 (1п —,)41. о ! 2. с = ~ [ †„', 4. ', ] 41. о Оп 7. С вЂ” ~[е пей о о 9, С= — ~ [е' — — ],—, о 10. С= — ~ [е' —,,] —. о 11. с= 1 [ ' — ' ] 41 о ! ес 12. с ) 41 — е-'7 — ", — ~ ' 'Йе. Ф 11 802 о ! См. также 8.3615. — 8.3617., 3.3116., 3.4353. и 4., 3.4762., 3.4811. м 2., 3.95110., 4.2839., 4.3311., 4.4211., 4.4241., 4.553, 4.572, 6.234, 6.264 1., 6г168. 8.3 ЭЙЛЕРОВЫ ИНТНГРЛЛЫ 4-го И 2-го РОДА И РОДСТВКННЫЖ ИМ аУРНКНИИ 96,у [Не х ) О, УВ П 39 Кеу> О, 0>г> — 1, Ке(х+у)(1). Н$" 163(Щ ) См. также 3.1963., 3.198, 3.199, 3.2)5, 3.238 3., 3.251 1.— 3., 11., 3.253 3.3121., 3.512 1. и 2., 3.541 1., 3.542 1., 3.6215., 3.6231., 3.6311., 8, 9 3.6322., 3.6331., 4., 3.6341., 2., 3.637, 3.6421., 3.6678, 3.681 2.
$ 9. В(х, х)= —., ~ (1 — Р)" 'Ш==, ~ Ж. о о См. 8.384 4., 8.382 3., а также 3.621 1., 3.642 2., 3.665 1., 3.821 6., 3.8396 1. М~ 2к (а+Ь)У " ы (а+Щх(Ь вЂ” М)ы (х+у — 1) В (х, у) ы2 2 =0 (а — ут)х (Ь вЂ” у08 24ао~ ~~ 3. В (. + -у, — .у) = 2— ,> О)уох(~и — у) [у, а, у действительны, а > О; Кех > 0]. Ы08ыа Интегральное представление 1ИВ(х, у) см. 3.4287..
4. — " ~[ 8~-у18уув "'ЕЩ В(х, у) уы о НГ 158(5) ю уу соа [(х — у) Ц В)в"+ы *Е у18; о 2хгы У(х+ у — 1) НГ 159 (8) в. УЫ Оео ~(х — У) — [ 2 1 и В)н [(х — у) 11 В(в"' й Й$. о 2" ы-ы(х+у — 1) НГ 159(9)в, х ош [ (х — у)— 2 ) В(х,у)=хо(1+2)" )[ + „,„ о 2 о 10. В(~ уу, у — у)=4' * [ у ю о 11. В ~х, у у) = в ~ (1 — 1') 2 Р ' й о [Кех> [Кеу~, Кех> 0». МО9, ~ Ке г ) О, Ке —" > О, Кех > О~ . Ф11787и. [а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
