Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 84
Текст из файла (страница 84)
ВТФПЗЗ(10), ВЗ01(2) 3. (и — 1)0, (я)+(и+1)О,(я) — 2я '(пя — 1)0 (я)= =2 ( — ) 1и>11. ВТФПЗЗ(11), В301(1) 4. пяОа д(я) — (и2 — 1) О„(я) =(и — 1) яОтт(я)+п (ндни 2 Од "~2 ВТФ П 33 (12), В 303 (4) 'т 2 5. пяО„., (я) — (и' — 1) 0„(я) = — (и+ 1) яО„' (я) + и (яш и — ) ВТФ П 33(13), ВЗОЗ(5)и 8.592 Производящая функция: =.дОЯ)я д+2 ~~~ .Т„К) 0„(я) тт=д 01!<! и- ВТФП32(1), В298(1) 8.593 Интегральное представление: 0 (я)= т езди (я)— 2хтт д О См также 3.547 6., 8., 3.549 1., 2. 8,594 Неравенство. ВТФ П 32 (3), В 305 (1) ВТФП34(18), В312(2) (и>11, ВТФИЗ4(19), ВЗ12(3) (2) (и ттд 1р,т' Я 12юа-и ттт~ д Г.г ттт= 0 3.
У „(я)=( — 1)"'Б„~я). Еп:-11 ВТФ П 34 (18) В 313 (6) ~О„(я)(~2" 'п1 ~я~ "деО (и> 11 ВТФ ПЗЗ(8), ВЗОО(8) 8.595 Полинам Неймана О„(я) удовлетворяет дифференциальному уравнению я — + Зя — +(я + 1 — и ) ц = я ~соя и — ) +и рядн и — ) 2 Еттд тДтт тдя Н2 2 т' 'д, 2 ) ВТФПЗЗ(14), ВЗОЗ(1) 8.596 Полиномы Шлефли Б„(я), Так называются функции, определяемые формулами 1. БО (я) = О. 2.
Ба',я) = — [2яО„(я) — 2 (соя пЯ ~ 1005 В.е едъ'ннцни МАтьк 8.597 Функциональные соотношения: 1. Яе д (х) + Я„, (х) = 40„(з). В313(7) Другие функциональные соотношения можно получить из 8.591, подставляя вместо 0„(е) его выражение через Я (з) нз 8.596 2. 8.6 ФУНКЦИИ МЛТЬЕ 8.60 Уравнение Матье — ", +(а — 2й'сов 2з) у= О, М 18(1) 8.61 Периодические функции Матье 8.610 Уравнение Матье 8.60, вообще говоря, не имеет периодических решений. Если й — дойстзительнае число, то существует бесконечное множество собетпвенных значений а, которым соответствуют периодические решения у(з) = у(2л+з). отличные от тождественного нуля.
Если Й отлично от нуля, то не существует никаких других липейно независимых периодических решений. 11ериоднческне решопия уразддения Матье называются периодическими функциями матье, нли вбункиияехи Матье первого рода, иля просто функниялди Матье, 8.611 Уравнение Матье имеет четыре ряда различных периодических решений: 1. сез„(з, д) = .~ ЯА~~,"~сов 2гз. М 30 (1) т=е 5. Коэффициенты А и В зависят от <1; собственные значения а, принадлежащие функциям се „се „ве „, ве,„,д, обозначаютс,я так: а,, а„, д, Ьэ„, Ь МО 65 8.613 МО 65 с 2. сез„+д (3, д) = ~ А~~+д сов(2г+ 1) з. с=в 3. вез„+ д (з, д) = ~ ВЯ~+д д вш (2г+ 1) х. 4. вез 1 з 1з, [у) = ~~ В~,.~ г вддд (2г+ 2) з. с=э 8.612 Решения уравнения Матье нормирукпся так, чтобы ~ у*е(х= я.
э 1. 1дшсе,(х)= 1 ее $'2 2. 1дшсе (х)=сових (гд Ф01, ч Е 3. 11ш ве„(х) = в1в нх. а О М 30 (2) М 30 (3) М 30 (4) 1006 з — 9 спициАльные Фътнкпии 8.62 Реиуррентные соотнопгсния для коэффициентов ° (г~~ маг®+1) гяг~~г~ ю (гя+эг Аз;, Аз„+1, Вь+~, Вг в з 8.621 1. аАо — ЧА2 =О- 3. (а — 4г')Азз,"~ — д~,АЯ+'э+А7,"'2)=0 [г>2]. 8.622 2. [а — (2г+ 1)~]А(г +~ ~ — Ч(Азг+з +Аз — г ) = ) [г > 1]. 8.623 2. [ (2 ).1)*]В",,~" — ~(В2~зц+ВЯ1")-О [г>1].
8.624 ~а 4) В(з"+зг В<2"+2) 0 М 37 (4) 2, (а — 4г')Вз~,~ ~ — д'В~~,+и~ ~ — Вз~ -Зг ~) О [г>2]. М 37 (4) 8.625 Из равенств 8.612, 8.613 и 8.621 — 8.624 можно определить коэффициенты А и В, если только а известно Пусть, например, требуется определить коэффициенты Л'„„1дляфувкции се,(з, г(). Из рекуррентных формул получают как следствие соотношение М37 (1) М 37 (1) М 37 (1) М 37 ~2) М 37 (2) М 37 (3) М37(3) 0 0 О а — 7 0 — 2д а — 4 — а 0 — а а — 16 О О 0 0 ΠΠ— Ч а — 64 8.63 Функции Матье с чисто мнимым аргументом 8.630 Заменив в уравнении 8.60 з через гз, мы придем а дифференциальному уравнению 1.
„—,+( — а+2дсЬ2х)у=О. д~у При данном д из уравнения 8.625 1. можно определить собственные числа 2. а = а„а„а„... Ц а, ~ < ! а, ) < ! а ~ < Положив, далее, а=а~„, из рекуррентных формул 8.621 можно определить коэффициенты Аз, с точностью до коэффициента пропорциональности. (2я) Этот последний определяется из формулы 3.
2 [А~эо"г]з-~- ~~, '[Аз~,"~]з= 1, М 34(2) вытекающей из условий нормирования. 1007 6.6 Фъ~нкции МАтъе Решения етого уравнения можно найти, заменив в функциях се„(г, д) и зе„(г, д) аргумент г через ю. Получающиеся таким образом функции пазыва1отся присоединенными функциями Матье первого рода и обозначаютсп так: Наряду с каждым периодическим решением уравнения 8.60 существует линейно независимое с ним второе, непериодическое решение.
Пеперподпческие решения обозначаются соответственно через 1е,„(г, Д), 1ех„,г(г, Д), дез„„(х, Д), Яе,„. (г, Д). Аналогично вторые решения уравнении 8.630 1 обозначаются через г'е (г, д), Рег„, (г, д), бе , (г, д), Се „ (х, д). 8.651 Замена аргумента г в уравнении 8.60 на + ~ — ~- г) приводит ~„2 к уравнению е . + (а+ 2д соз 2г) у = О. М30(1) 2. Се„(х, д), Се „(г, д), Яе 1 г, дн Яе„,х, д 8.631 1. Се (гз д1= Х Аг',"'сЬ2гг.
— о 2. Се „1(г, д)=~~ А~хф'~сЬ(2г+1)г. — о 3. Яег, (г, д) ~~ В~г,+~ ~зЬ(2г+1) г. г=О 4. Яеь,+х(г1 д) = Х Вз +з зп(2г+ 2) г. — о 8.64 Непериодические решения уравнения Матье 8.65 Функции Матье для отрицательного д Зто уравнение имеет следующие решения: 8.652 1. сег„(г, — д) = ( — 1)" сох„( —, л — г, д) . 2. сег„„(г, — д)= — ( — 1) зегв„~ 2 л — г д) ° 4.
ге „(г — д)=( — 1) зег х~ 2л — г д~ ° 5. 1ег„(г, — д)=( — 1)"'~1ег„~~ л — г, д ) . 6. 1е,„.,(г, -д)=( — 1)" Кег 1(2 —, д) . 7, 8е (х, — д) ( — 1)" Ь 1( — „л — г, д). М 35 (2) М 35(3) М36(4) М 36(5) М 30(2) М 31(3) М31(4) М 31 (5) М 187 (1) ~М 187 (3) М 187 (5) а а Фъ нвции мАтье ее ав+1 3. аег 2 г, д) = — , — ,) гд г х 2В) Х ~ ( — 1')'(2)'+ 1) Вгг+) ~Х „, (2й соа г); М 199 (51 1=Е „~~ ( — 1)'В~гф~)1 „,(2йз2аг). М 199(6) г=о 2в+2 ') 2 ИВ<2~+2) е Х х Я ( — 1~",2г+ 2) Вгг+2 Угг,.в (2й сов г); М 199 (7) 4 чегв, (г, д) = ойдо г ~~~~ ( — 1) ' (2г+ 2) В~~г+2~~ 1 „,2 (2й а(в г).
М 199 (8) — о зегв+2 (0 ч> 1 аВ) 2п+2) 2 пЬ~в<0 д 1,„,*, д)= — '" ' ' ~ ( — 1) а' '|шу,)а,"))т,)й,-")). г сееи М 310(6) ЕНег„+) (О, ~) 2. (ее„„(г, д)= ", ' ., Х 2сег„+) ~ —, д~ х ,'~~~ ( — 1)'А~~~++)~)1ш ~У, (йе'*) Х, (йе '*)+ Х„„,(йе") Ф, (йе ~')1. М 311(1) и/аале „е(0, д) Й ав+2(, Ч вЂ” — /-2; Х 2аег„).2 ~ 2 К* Ч ) СО ( — 1)г Р,е (у (йе' ) л) (йе '*) —.У, (йс")Л,(йе )) М 311 6) Разложения фуыкций Ге„и Се„ вот„твенно через Геу„и Сеу„, а цчям Кт — соответственно через 04 таблипы интегРалов по функциям Л' обозначач)тся соотразлои.ения ать функции на функ- Рейв и СеЫ .
иана +1(2 *Ч) Х ~ ( — 1)'Вь~"-Д' Ке ~.7г(йе )а'...(йе '*) — Хг 2 (йа'*)Лгг(йа ")1. М311 3) О.О ь) нкпии млтьв 2««+2 ~г 2 «Ф) СЬгх ь~В(г««+2) г Х ~ ( — 1)'(2г+ 2) Вф+г)Лг„.,(2й сЬ г) [[сЬ 2[ > Ц; М 196(12) г О -г.+2(О Ч)-'.+ (2 ° т) Х ) г [д12««+г)1г Х ~ ( — 1)' Вгг+г~' [У„(йе ') йГ„., (йе') — г'г.г (йе ', Фг (йе*)]. М ЙИ (9) г=О д) Оег««( «Ф ~ ( 1)г $12О) К ( 2,'й е~ ~) « — О йг = о ИаЫг ( > 1, Нег > О] М$97(Щ 1. РеЫ „(г, д) = '" г„', „сСЬ г ',«~ ( — 1)" (2г+1) Агг+1 "Кгг+ь( — 2гй ОЬ в), гг212««1-1) г =-О й' = д [~ аЬ г ~ > 1, Ве г > О].
2. ГеЫ,„„(г, М 198 (9), л СФ д)= < „+, ~Ьг ~~ (2г+1)Вгг+1 )Кг 1( — 21йсЬв).. мв(г««+1) 1 г О М 198(Щ 3. СОЬ2„,1(г, гг я 4. Сев + (г, д)= „+2) юг ~(2г+2)В~гг+г ~КОг.г( — 2ИОЬв). г О М 198,'14), 8.67 0бшая теории 8.671 1. у=Ае)1',~~ сгге* 1+ВΠ— аг ~ ~е,е г '. мвд Коэффициенты с. определяютсн из однородпок сиетемы линейньтл алге бра ических уравнений 2. сг,+~2„1,с „„+сг, г)=О, г=..., — 2, — 1, О, 1,, ..., М82(1) где Д (2г — 1)1)г — е Общее решение уравнения 8.60 может быть найдено (если цг не есть.
целое число) в виде 1012 з — 9 снепиАльные Фмнкпии Условие совместности этой системы дает уравнение, которому должно удовлетворять р,. .О Ь,1 ~,ООО. .О О % 1 В~О О. .О О О Ц,1~0. М 83,3) 3. Ь(г)х) = Это уравнение молгет быть записано также в виде 4. сЬ ип = 1 — 2А (О?яп ~ ~ ), где А (О) — значение, которое прин 3/ а '~ иимает детерминант предыдущей таблицы, если в выуажениях для положить )х = О. М85 (2), ВТФ111101г15) и 5 Если ~ара а, су) такова, что 'с?~ р.л ~ < 1, то )х= ф, 1ш у=О и решение 8.671 1 ограничено на ценствнтсльпой оси. 6.
Если ~сЬ1хл~ > 1, то р,— действительное или комплексное и решение 8.671 1 не ограничено на действительной оси 7. При с?г)хп= -з- 1 ~р,— целое число Одно из регпений имеет в аФом случае период и или 2п (в зависимости от того, четно а или не четко); второе решение непериодично см 8.61 и 8.64). 8.7 — 8.8 ШАРОВЫГЬ (СФЕРИг?ГьСКИЕ) ФУ11КЦИИ 8.70 Введение 3.700 Шаровые фунлг?ии являются решением дифференциального уравнения 1. ?1 — хх) — — 2х — + [ т (т + 1) — —, ~ и = О, сРи, ыи г е ах~ 1 — Ф в котором т и )х являются произвольными комплексными постоянными Это уравнение язлястгя частным случаем гипергеометричесного (риманова) уравнения,см.
9.151) Точки +1, — 1, оэ являются, вообще говоря. его о с о б ы м и т о ч н з м и, а именно обыкновонными точками ветвления Пптерег представляют, с одной стороны, решения уравнения, соответствующие действительным значениям незавигимои пере нчшои г и лежащие на отрезке [ — 1(х~ -'- Ц, с другой стороны, решьния, соогвегетвующие любому ноыплексвому значению х, для котоуого 11ег ) 1 Эти последние в плоскости х многозначны, для выделения однозначных ветвей этих функций проводится разрез вдеть действительной оси от — оэ до + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
