Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 86
Текст из файла (страница 86)
®+8 (8)+2(р,+ 1) ' Я+'(г) = ()) — р) (Р+р,+ 1) ®(я) ~" 2 (г) — ®~.( (г) = — (2Р+ 1) 1/' 88 — 1 ф~ ' (Я) 2 е — (227ф„" (х ~ (О)=е 8 ~Я" (х) 2- к — Р~~(х)1 . МО 82 МО 82 МО 82 ЫО 82 и МО 83 8.733 ЮР" (з) (1 — х*) ~~ =(ч+ 1) хР,"(х) — (ъ — р+1) Р„"+( (х) (сравни 8.731 1 ), — Р."(х)+,' + )Р."- ( ); = — ')Г1 — х8 Р„+' (х) — рхР„" (х), = ()) — р, + 1) (Р+ р) ~ 1 — х2 Р~ (х)+рхР„" (х) МО 82 5 Р" „( (х) Р,"(х) (сравни 8.731 5 ) ('))+р,+1) гЯ(8)+3~87 — 1 Я+' (я) =(ъ — р,+ 1) Я+( (8). (М+р,)Я ((г)+~/88 — 10»Р (З)=(Ч вЂ” р)г(/»(Л).
Я ((з) — л(У",(л) = — (ч — и+1) ф/88:1Я '(8) 80$" (8) — аи, (е) = — ( + ) ) / 2 — 1 Ор 8 ( ) +р)( +р+1)Е„",( )+(2 +1))/ ' — ®+ ( )= =(~ — р)(2 -р+1)("/,"+ (х) МО 82 МО 82 МО 82 МО 82 4 5, МО 82 8.735 (2)+р,+1)хР(~(х)+ф/1 — х7Р"+ (х)=(в — р+1) Р» . (х), 2, ( — )8)хР" (х) — ( +р)Р„",(х) =)Г~ — х Р»+'(х). МО 83 МО 83 (2)/+ 1) хР" (х) = ( ч — р + 1) Р +( (х) + ()) + р) Р", ( (х) (сравни 8.731 2 ) Р„"+ (х)+2(р+1) Р);+'(х)+()/ — р)()/+у+1)Р',"(х) О У (сравни 8.731 3 ) МО82 Рх,( ) — )х',, ( ) (2ч+())/( — х Р( ) ( ) (сравни 8.731 4 ) МО82 1020 8 — В. СНЕПИАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ 3. Р", (х) — х Р~ ~(х) = ()) — р+ 1) ]/1 — хВ Р" 1 (х).
4. х Р," (х) — Р,"+) (х) = (~ + )В) 1/ 1х' Р", ' (х1. 5. ()) — )А)(1) — )А+1)Р,"+1(х)=-(ч+ф())+р,+1)Р'," !(х)+ +(2~) + 1',]/1 — хВ Р,"+' (х) МО 83 МО 83 МО 83 МО 82 8.737 Р,, (х) = — - ) соя рлР'(х) — — я(п((Ал) Я)х' ] . Г( и 1-1) Г 2 Г (~) -)- р. -) 1) л Р'( — х) = соя [(1) + и) л] Р~)р (х) — — я)п [()) + )А) и] ® (х). МО 84 К( — х) = — соя [())+р) и] (~7,'(х) — — "я(п [(~+ р) л] Рв(х). МО 83, ВТФ1 144 (15) Я~ ~ (х) = ~ 9,"(х) — . ~ Р,"(х). МО 84 )х — „„х —, х. 8.738 1. Ор)~рррр)=е*р [)и (р — +)] р'кр)р-)р.)-1)х 1 1 Х вЂ”,я1п~п)Р ) (соя <р) 2 ~О<(р< —,1 .
М083 1 Рр))сарр)=)l — „ехр[)р(~)- — )) „" р О ',)ровр — )О) 2 [ О < Ч) < — ~] . МО 83 1 е-))р)Ч;4(сЬ а)= 1 " ('+)"+ ) Р ) (с1Ьа) [Ве~сЬ а) > О]. М083 1/2 ь))а в 8.739 р ( ) ~~ ) р)р( ) ~ ( ) 2 )р)~.3.рр р) МО 83 8.736 1. Р )Р(г1= ( и+ ~Р'"(з) — — е )))Р'я1пр,ж®(г) ~ . Г(~)-гав+1) [ ~ и М083 2 2. Ри~ ( — я) = е™Р" (л) — — я(п [( )) + ф л] е- ~""'® (г) [1шю < О] )сравни 8.833 1.). М083 3. Р'„' ( — г) = е ')р'Р)~)(г) — — я(п [()) + и) ж] е ))"'® (е) 2 . [1шг> 0] (сравни 8.833 2.).
М083 5 ®( — г) = — е — р"'Щ(г) [1ш з < 0] (сравни 8.833 3.). МО 82 6. Я( — г) = — е"'~Ч~'„'(я) [1шг > О] (сравни 8.833 4.). МО 82 7. (р' (л) я(п [()) + ф л] — Д, ) (я) я1п [()) — р,) л] = же~" ' соя р.и Р" (л). МО 83 1021 8 7 — 8 8 шАРОВые (ссаВРичкскик) Фъ ннции дЯ с ) ))р)Н ) 2 Г( 1 )г), 2 +1) »)х ®( ) с~ 1 — х* ») — р-)-1 х — р Г ~, ) Г ~ — -)-1 ) МО8З Г(») — р+1) Г г1'+р+1) 1 рсР ( р) — — р Я.( Ф~= Н Н Я г (р+— 2 ) О (со⻠— сов)р)8 Г(х — р+1) Р н 2 ~Р,) м)) — — ) о»)ы~~~))= Г (х+р-)-1) ) и ) 2 совес" ( ~ ( + 2 ) ( ] ~Ке р -.
— —,.'1. ~,Р+ 2 ) о (сов)р — сов»)8 МО 88 Р'" (соя»о) соя рг + )») л — — 1)~ (соя»р) ип ( ч + р,) л = сов ~ ( ъ) + — ) (» — л) ] )1» " г)' —— 2 "» ~ 8) (соыр сов 8) ~Кер,< — ] . МО 88 2 4 соя рл Р)~' (сов»р) — — 81н рл (~ъ (сов Ч)) = Г 1))+ р+ 1) в»ан)р в)а Ню )и 2н р д Г (х — р+ 1) Г (, + 1 ~ 5 (сов ~р ~ » 81 а ср сов 8) -и [К р> — —, 0<»р<л]. 1 МО 38 Интегралы от шаровыт функций см 7.11 — 7.21. 8.75 Частные случаи и частные значения Частные случаи 8.751 Г)м+т+1) )-» — 1) 8 МО 84 1. Р~(х)=( — 1)™ -, — -, У~777 — »),л7+»)+1;т-+1;— т Г(х+т+1) 11 — х') ' Г 1 — х 1 МО 84 1О22 8 — Э СПГ)(ИВЛВНЫП 414УПТгЦИИ ВМ941 Г ((4+Т)+ — ) 9~ 8(2) = Х 2 а+- 2 2 (94+- Т)1 (г 3 8.752 УВИ 11988, МО85, ВТФ1148(5) га Фг ВО 5.
Д (г)=( — 1) ( — 1) ~ ... ~ 0„(г)(4~) . М085, ВТФ 1149(9) 8 8 Частные значения индексов 1 (Р р)84 (сов (р) Г (1 Р 1 (8РВ (008 (Р) 2. Р,'(соз (р) — — +— 3. Р™„(л) О, Р™(х) = — О при т > п. 8.754 МО 84 МО 84 МО 85 Р ((сЬ а)= — СЬ ~)а. 2 4) —— 558Ыа 2 МО 85 1 р2 ъ 2 (соз(р)= $т созФ(р / 2 МО 85 р 2 4) —— 2 1 д2 2 г ° р (соя (р) = МО 85 (с14 а) = 5 1„" 8 "". 8' Л ВЫа г(г+ ) г г ) МО 85 МО 85 1.
Р'"(х)=( — 1) (1 — х') 2 — Р (х). УВ11119и, МО84, ВТФ1148(6) 1В ! ( =(1 — г') ~ ... ~ Р,(~)(4г) . Х99г, М085, ВТФ1149(18) Ф гг ВЪ 8 г 9. Р; (г) (г' — 1) ~ ... ~ Р (~)(8*) . М085, ВТФ1149(8) г П) 4. Д~ (2) = (Д — 1) „— „,(~„(2) 1025 З 7 — В В ШАРОВЫМИ 1Сб)СРИЧКСКИН) гЬЪНКНИИ Г( — „1) Хе ~ М 2 ) Р~ 2+Р„2 — )а; ))+ 2, .а1п 2 ~+ (з' 1~ 1 »+, + ]Г е '~ с16 — ) Р) — +и, — — 22; — — р; а1п' — ) 2я Г(~ — )2+1) 1 2~ ) 2 ' 2 ' 2 ' 2 <2))~~1, ~3, ~5, ..., 0<)Р< — ~. М086 8.775 2" с))з — 1»+)2) яг ~ з) 1 2 2,1 Р" 1х)— Х р'я Г ~ — ~+1) )( (1 а)з р ~»+)1+1 Р— » 1 з) 2 з1а 2 (»+)2) 22г ~ 2 +1) 1 ~ +р МО 87 2)"+1 + — з1а — 1»+д) яг ~ 1 Г»+д+1~ Я» (т) г ~ — 12+1) г Рс(1 иа Р~ +~+ ) .
~б + 2 ' 2 ' 2 ' с2и —, (»+р,) яг ~, +1 ~ е .г2)г~ з ' з ' )1 )зг() з.).1 з 11. з. з) » — р.+-1 г МО87 8.776 При ~г~ > 1 ~2»Ф ~1, ~ 3, ~5, ..., ~ат8з~<н], МО 87 2. Я)~) )гй ' 1'' "')з '(1.1.0(1)) 2»+2 Г +~ 65 Таблицы ицтегралоа ~2» Ф вЂ” 3, — 5, — 7, ...; ~атбз~(н]. М087 8.777 Пусть ~ = з+ ]~ д — 1. Этим равенством переменная ~ определяется однозначно во всей плоскости з, в которой сделан разрез от — о2) до +1; 1029 8 7 — 8 8 ШАГОВЬ1Е (СФЕВИЧЕСКИЕ) ФУНКПИИ 8.812 Представление в виде ряда: Рт 1 ~™(и+ ) 1 — ») 1 1 (и т) (т! и+1) '1 — х 2тт~ (и — т)~ ( ) 1! (т+1) 2 + (и — т) (и — т — 1) (т.— ' )-1) (т+и+2) / 1 — х '~ 2! (т+ 1) (т+2) 2,/ '*',) (и — т)! ( — 1)~(2п — 1))! 8 ( т (и — т) (и — т — 1), т» ' (2и — 1) (и — т) (и — т — 1) (и — т — 2) (и — т 3) 2.
4 (2и — 1) (2и — 3) '' Г' ( — 1)т(2и — 1)!), »,2 и,и, Г т — и и — т+1 1 (1 — х) х г — — Б — '). МО 73 8.813 Частные случаи: — (1 — х») = — в1п 1р. Л вЂ” 3 (1 — х')' х = — — в)п 21р. 2 3 (1 — х») = —, (1 — сов 21р). 3 2 1 — — (1 — х ) (5х — 1) = — — (в1п (р + 5 в!п 31р). З 8 З 2 8 15 15(1 — х') х = — (сов 1р — сов 31р), 4 8 — 15(1 — х ) = — (ЗВ1пср — в1п31р). ,% 15 4 1.
Р,' (х) 2. Р,'(х) = 3. Р,'(х) = МО 73 МО 73 МО 73 4. Р1(х) = 5, Р,'(х) = МО73 МО 73 МО 73 6. Р",(х) = Функциональные соотношения Рекуррентные формулы см. 8.731. 8.814 Р„(сов 1р1 сов ~р, + а)п 1р, в(п 1р» сов 6) = п (и — т)! =Ри(сов1р1) Р„(сов~»)+2 'у) ",' Р"„"(совср1)Р„(сов1р,)спятся т=1 («теорема сложения»). МО 74 периоды их сооответствеппо равны н и 277. Опи однозначны и непрерывны повсюду на поверхности единичной сферы х, + х,'+ х', = 1 (хд — — втп 1р сов (), х = в)п 1р в»п д, х» = сов 1р) и являются решенном дифференйиального уравнения 1 д / . дУ ~ 1 д'У вЂ” ( в(п 1р д ~+ ., де» +7»(7»+1) У =О. 8.811 Интегральное представление: 2 ) Ф 1 Х ~ (сов| — север) сов ( и+ —, ) (АМ.
МО 75 о 1Озо  — 9 СПВЦНАЛЬНЬХК авЪсНКЦИИ 8.815 Если вв« У~,(р д)-аоР~,(соя«р)+ .~~~ (а соятд+Ь я1птд)Р„(соя«р), ввв= « в 2„(«р, д) = а,Р„(соя «р) + ')'„(а соя тд+ р я1п тд) Р"„" (соя «р), атее ~в[ еевт [е,е>е [е,о[=о, е о ЕЕ~вове««у„[е,е)Р [совосово«-в! ее~оса [Š— «[[- У„(«Р, О). МО 75 8.816 (соя «р+ 1я1п «р соя д)" = Р„(соя «р)-~- вв +2,~~[ ( — 1) соя тдР~(соя«р). МО75 в«в=« Интегралы от функций Р'„"(х) см. 7 1121., 7.1221.
8.82 — 8.83 Функцпи Лежандра 8.820 Дифференциальное уравнение т ~(1 - ") а 3 + (. + 1) = О (ср- 8-7ОО 1.), в котором параметр [[ может быть любым числом, имеет следую«цие два линейно независимых решения: '1. Рв«(х) =Р( — тв т+ 1в 1; 2 ) Г~~ 2/ См Ш 518 (137) Функции Р„(я) и ф,(г) называются функ«1илми Лежандра соответственно 1-го и 2-го рода. Если т но равно целому числу, то в точках х = — 1 и з = оэ функция Ре (г) имеет о с о б е и н о с т и; если п«е т = и = О, 1, 2, ..., то функция Р (г) обращается в полипом Лежандра Р„(з)(см. 8в91); при т= — л,= — 1, — 2, ...
имеем: Р „( )=Р (г). 3. Фупнцип ~„(я), если только т чь 0,1, 2, ..., имеет в точках я= -1-1 и я= оо особенности; эти точки служат для нее точками ветвления. Если же [«=п=О, 1, 2,, то функция «~„(г) при ~г~ > 1 однозначна и при з — со регулярна. 1031 8 7 — 8 8 шлРОВык 1с>эеРическив) с1>уикции Интегральные представления 8.821 )1+, ю+) 2л~ „и» 0 2)У+1 А — точка на вещественной оси справа от точки г= 1 'и справа от з, если 8 действито.гьно); в точке А положено: аги (г — 1) = агя (г+ 1) = 0 и [~ агя (г — 2) ~ ( 781.
УВ 11 97 (1-, 1+) 4) 81а ул ~ р ( 1)у)1 [У вЂ” нецелое число, причем точка А — конец большой оси эллипса справа от 1=1, построенного В плоскости 1 с фокусами з точке + '1, у которого вторая полуось пастолы<о мала, что точка а лежит вне его 11онтур начинается от точки А, описывает путь (1 —, — 1+ ) и возвращается в А; ~ агла я ~ С)т и ~ агд(з — Г) ~ агй'2, когда à — ~ О на контуре, агд(8+ 1) = = агп (1 — 11= О в точке А; г не ленгит на вещественной осв между — 1 и 1.) УВ 11 109 При 8)=п целом 1 з.
>)„>~) = .,„'„) )с — >).>.->)-"- ». — 1 См 111 517 (134), УВ П 109 8.822 Р~(з)= ~ +, — ) [х+~~~~ — 1соа)р) йр 1 )' 2 (2+ Г'л~ — 1 соз <~)) Вез > О и аги [а+ [' 22 — 1 сов)р) =агР з при 1р = ~з ~ УВ11105, УВП 106 4. В правой полуплоскости ,У Р,(г) =( ~ ~ Р( — т>, — 8>; 1;:) [Вез) О). 5. Равенсгвами 8.820 1. и 8.820 4. функция Р, з) однозначно определяется внутри круга радиуса 2 с центром в точке а = — 1 и в правой полуплоскости г.
Для з=х=соз1р решением уравнения 8.820 служит функция н. Р,~*)=р,~*)=г( — ~. ~с> с; ~> ' с )> и вообще имеют место равенства 7: РУ(в) = Р У 1(г) =РУ(2 =Р У 1(г). 8. Равенством 8.820 2. функция ® (з') при [г ~ ) 1 однозначно определена в плоскости 2, в которой сделан разрез от точки г= — оо до точки 2=1. С помощью гипергеометрического ряда функцию можно аналитически продолжить Внутрь единичного круга На отрезке ( — 1 <х< +1) действительной оси функция ~у(х1 определяется равенством 9.
Я (х) = —, [1,), (х+ 10)+ ~„(х — 10)]. Х 52(53), УВ11 113 1ОЙ2 в — в специАльные Фд/нкпии 2. (~)„(х)= 1 [Ке т > — 1; если т не является (в+1/" — 1СЬ ф)'+' целым числом, то агх ((х+ )/ хв — 1) с)д «р) при «р = 0 имеет главное вначенпе1. УВ 11 113 УВ 11 108 — ~~(" — 1)" ~ 1)" ~" Г и Г '1« 8 [Пе х 11. УВ11111 — 112, М078 « 8.825 (,/ (хд= 1 ~ р™ «й [(аг6(х — 1)~ < «д1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
