Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 87
Текст из файла (страница 87)
УВ11 114 — 115, М078 -« См. также 6,6223., 8.842. 8.826 Тригонометрические ряды: 1 о+1 1. Р (соя«р)= — . янд(и+1)«р+ — ядп(и+3)«р+ 2. (~„(соя «р) = 2"'д 2 1 с( [соя(и+1)«р+ —, соя(и+3) «р+ 1 5 (««+1) (/«+2) + 1 2 (2п+5)(2 +5) сов(и+5)Ф+... ~ [О<- «р( дд] М079 Другие представления функций Лен«андре в виде рцда дают нам их выражения через гипергеометрическую фундсцию, см. 8820.
8.827 1 сов[ т ' — ) «р 8.823 Р (соя В) = — 1 — — «д«р. 1/2 (во⠫Р— сов 0) о 88248 «! — 2~! ~ . [,' „„=2" [!!, !!„„8!! 8 1 / Частпые случаи и частные значения 0е(х) = 2 1п 1+* — — Аг(ддх. 2. ~д(х)= — 1п — * — 1. 2 1 — з 3. Дз (х) — — (Зхз — 1) 1п — — х. 4. «~з (х) 4 (5х — Зх) 1п 1 — 2 х + Е з 1+в 5 в 2 5. «',)з (х) = — (35х~ — 30хв + 3) 1и — + — — хв -(- — х. 6. ««)8(х)=1 (63х — 70х +15х)1 1 — 8 х + 8 х 15 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 1034 в — я спкпиАльнын а тпд(пии ( — г) = — е '"(фт (г) [1ш г < О]. ф, ( — г) = — е~"'(1„(г) [1ш г > О]. МО 77 МО 77 ~, (х ~ 10) =1,(,(х) (- —, Р,(х).
(г) = — Р„(г) 1п — — И'„д (г) 1, л+1 МО 77 (см. 8.831 3.). МО 77 2. 8.835 1. 2. МО 77 МО 77 ~ (г) — ((7 „( дг)=дтсс8т(лР~(г) [яшил Ф О]. О ~ ((соя(р)=О~(соя(р,— нсвт(лР,(соя(р) [я1пмл Ф О]. 1,(,( — соя(р) = — соятлЯ (соя(р)+ — я1птдтР,(соя(р), МО 77 (г) = —. — [ (я' — 1)" 1п — ~ — — Ри (а) 1п— И" ( в и я+11 1 л+1 и 2(((д((х(( [ л 1! 2 в в — 1 ~„(х) — —, „~ (х(( — 1) 1п — ] — — Р„(х) 1п— МО 79 МО 79 МО 78 8.84 Функции конуса 8.840 Если в дифференциальном уравнении 8.700 1,, определяющем шаро вые функции, положить 8.837 (.
Р,(*(-Р,(а* ф=Р( — г, -(.(; 1; ~а' ~) (ср 8.820 Б.(, ЫО 76 дд~л Г(м+1) ~ ~,/' т, т+1 3 1 2 ( Г 2' д ' 2~~ ('1 — т м 1 1~ Г т+— д('я Г(~(+1) д 2 ' 2 ' 2 ' ю~,Р ' МО 78 См. также 8.820. Интегралы от функций Лежандра см. 7.1 — 7.2. 8.838 Неравенства: Г1 1. [Р 1соя(р'( — Р (я(соя(р)~~2С [à —. 2 ~9ч(соя(р) — ф,(а(соя(р) ~ < С(( ~/ — . МО 78 [0<(р<л, т(> 1, С вЂ” число, не зависящее от аначений ~ и (р]. О пулях функций Лежандра 2 го рода см 8.784, 8.785, 8.786 Разложение функций Лежандра по шаровылд функциям см.
8.794, 8.795, 8.796 8.839 Дифференциальное уравнение, приводящее к функции И'„ д(х) (см. 8.831 3.): (1 — х') — „", ' — 2х "-'+(и+-1) пИ'„д= 2 " . МО 76 1Р (") 1035 8 7 — 8 8 ШАРОВЫЕ «СсОЕРИЧЕСКИЕ) саЭ НЕННИ имеют некоторые особенности, заставляющие выделить их в особый класс— функция конуса. Важнейшая иэ этих особенностеи следующая: 8.841 Фу Р «(сов«р) =1+ в[пс ~ + вш' ~ + — — +з» 22 2 2«4«« 2 при «р действительном действительны, причем Р «(х) = — Р, (х). 2+" 2 МО 95 8.842 Интегральные представления «р 1. Р «(соя «р) 2 (' сЬЛи«1и 2 сЬ Л72 — — -)42 к ) Р'2[сови — сов«р) о ОЗ сос Ли с«у Г'2 [СО8 Ср-с-СЬ и) о МО 95 СО сО сов Ли ди с" еЬ Ли ди (соя«р)= ~ «вЬЛп ~ — -- + 1 и У2 [сЬ и+сов «р) Р' 2(еЬ и — сов «р) о с МО 95 Функциональные со от ноше«[сия (см.
также 8.73) ( -совср) = — [Я « (сов«р) +(1 « [соя«р)]. сЬ Л«с МО 95 8.843 Р 2 8.844 1 Р «(сов «р сов 6+ вш «р вш тс соя «р) = — -+«» 2 =Р «(сов«[«)Р «(совб)+ 2 ~Ю 2 [ — 1)" 2»» Р» «[сов «р) Р" «[соа О) сов с««р — -+«» 2 --+«» 2 + Х [4Л«+ 12) [4Л»-[-3') [4Л~+ [2/с 1) ч) »=« < ~, [) < ф < и, О < «Р+ «7 < 721 (сРавни 8.794 1.). МО 95 ( — соя«рсовд — в[в фяшд сов«р) = 2. Р— — +«ь 2 = Р «(сов«р) Р ( — соя 1р)+ 2 2 ( — 1)» 2»»Р «(соа 'ф) Р" «« — сои «7) соз с««р — -'+«2 — — +«А с~ (4Л»+ 1) [4Л8+82) ..
[4Лс+(2/с — 1)~[ »=« (0<$« —.«7, «[«+«7<и~ (сравни 8.796). МО95 где Л вЂ” действительный параметр, то получится дифференциальное уравнение так называемых функций конуса. Функции конуса являются частным случаем шаровых функции. Однако шаровые функции ,„(*), е „„() -2+а 2 1037 з ь ОРтогопАльп1>пс попипомы 11 2. Р 1(сЬт))= (1 — е зч) е ~ 2) Х вЂ” Г( +1) ху(т»- —, х»- »- —; 2т»->: à — >-' ). М096 1 1 8.853 Асимптотическое представление Р 1(сЬ т)) при больших аыачеииях и. 2 Г(и) е~-2) Р 1(сЬ т)) = х > Гхг (.».— ) >Г ( / ~г1 1 кг>! Г )п) )о (4г»1) е 2>>чРI —, и+ —; и+ 1; е — 2е ~) + А+ 8 2 ' ' / где 1 1-(2л — 1) 1 1 3.
(2п — 1) (2в — 3) А=1+ — ~аз+ е "+ .. здесь 2 г — 1 ~~ 2е — 1 2 х 1 (г — натуральное число). МО 97 в=1 8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНО пЫ 8.90 Введение 8.901 Пусть 1е(х) †неотрицательн действительная функпия действительво~ о перемепно1о х, и пусть (о, о) — фиксированный проме>вуток на оси Х. 11олоахым далее, что при и=О, 1, 2, ...
инте1рал ь х"и~ (х) с(х существует и, кроме того, что интеграл ь ~ ы(х)Ых а положителен В таком случае существует последовательность мпогочлепов ре(х), р1(х),..., р„(х),, однозначно определяемых следующими условиями: х[ г (».—,) т 1 — ~ е — 2< -Пч 1 Г (2и — 1)П Л»- (, ( — 1)) г (㻠— ') г (»-г».— ) Г (и+Й+1) Г (/с+1) Х(и„.„+иЬ вЂ” О 1 — О 1)Е 2<"+ь)"; т+ь — — ь —— 2 2 1038 8 — 9 апвциАльныв Функции 1. р„(х) есть многочлен степени и, н. ичем коэффициент при х" в этом мнагачлане пало>витален 2.
Мне гочлзны ре (х), р (х), ... о р т о г о н а л ь н ы и н о р и и р о в а н ы, >0 при и ~т, р. (х) р~(х) в(*) (х а Говорят, что мнагочлены р (х) образуют сисуаелу ортегональных е интереале (а, д) иолинолаов с весом н>(х). 8.902 Если д„— коэффициент при х" в мяогочлене р„(х), то л () ) > — е 1 (формула КристоФфеля — Дарбу) ВТФ П 159 (10) ВТФ П 159 (11) 8.903 Между любыми тремя последовательными ортогопальиыми полино- мами су>цествует зависимость р„(х)=(А„х+В„) р„(х) — С т~„и(х) [и=2, 3, 4, ...]. тя-1 %ю-г МО 102 8.904 Примеры нормированных систем ортогональных палинамов, Обоаиачеиие и иааеаиие Проиежутои Вес (л+ — ) Р„(х), ем.
8.91 1 8 ( — 1, +1) ( — 1, +1) ( — 1, +1) ( — оэ, со) (1 — х)" (1+- )В ( — 1, +1) — — — Х~(х), см. 8.97 — — * Г(я+1) > и Г(а+я+1) 1 " ' ' * (О, оэ> я 2. ~~ [рь(х)]е = ~" [р„(х) р„'+, (х) — р„'(х) р (х)]. 8=О В этой формуле Аи, Вя, ф— постоянные, причем (и+л) и~ 2 Г (Х) [ ) ] С„(*), см. 8.99 ° ° — "Тя(х), ее=1,8„=2 при и=1,2, 3, ..., см. 8.94 я $ ! 2 зя (и>) з Н~ (х), см. 8.95 $ с Г(л+1) Г(о+)>+1+и)( +0+1+2л) 18 .9> Г(а+1+и) Г (Р+ 1+и) ло ~ а ~ > ~ Р.В> () см. 8.96 Сравни 7.221 1., 7.313, 7.343, 7.374 1., 7.391 1., 7.414 3.
> Л 2 (1 — ха) (1 — ха) 1040 8 — 9. Спвдпдлльныи Функции 8.912 Частные случаи: 1. Р (х)=1. 2. Р,(х) =х=соя«р. 1 д 1 3. Р (х) = — (Зхд — 1) = — (3 соя 2«р+ 1). «« 3 4. Ра(х)= 2 (5х — Зх)= 8 (5соя3«р+Зсоя«р). ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 5. Рк (х) = — (35х4 — 30ха+ 3) = — (35 соя 4«р + 20 соя 2«р -+ 9). ЯЭ 206 1 $ 6, Р,х) = — (63хд — 70х*+ 15х) = — (63соя 5«р-)- 35 соя 3«р+30 соя «р). и з 8 128 ЯЭ 206 8.913 Интегральное представление: 1 1 язв к«+ — К Р„(соя «р) = — д — Ж. $' 2 (ссь «р — соя к) См.
также 3.6113., 3.661 3., 4. УВ 11 108 Функциональные соотновдения 8.914 Рекуррентные 4юрмулы; 1. (и+ 1) Р„,д (г) — (2п + 1'«гР„(г) + пР„, (г) = 0 См 490 (37~„УВ 11 98 2. (г~ — 1) — = и (гР„,г) — Ра д Щ = — [Р„~,г) — Р (г)], УВ1199 8.915 (2й+ 1) Р ( ) Р ° ) ( + 1) ~~ (~) ~~ ~ (й') Р««(й') ~~ «(~) Д вЂ” и и о 2. ~ «'2п — 4й — 1) Р„д„д (г) = Р' (г) (теорема сложения) ь е МО 70 МО 72 (суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом). а ьаьа и Г 2««+ив — 4а+1 и„+и«к«д Ьз-~-2и — 2К«+$,/ а=с (27« — %) «! ~аь= ~, я«<п~ .
А (9036) 3.,"~" (2п-4й — 3) Р„,(г) =Н'„'(г)-пР„(г) См111491(42), УВ11128 ю-с 1 (суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом). (2) 4. ,'>„'(2п — 4й+ 1) ~й (2п — 2й+ 1) — 2) Р„(г) = а=к = г~Р„(г) — и (и — 1) Р„(г). УВ11 129 1042 8 — 9. СПГИИЫЛЬНЫИ аьЪ~НКЦИИ х М (27с — 1)11 (21(+1)() с —, ~,~~ (4~+ ~) яь«сьд! (4+1)! ~зйе1 (Х) Ц х] < 1, ( — 1 И ж 11. Ла %5 (171 [[х[ ~ 1, ( — 1)Т! — 11. Да 385 (1Я 8.9!3 юсв~* —,2' [ „„,') (Р „( ( — Р,,( !! «=О Цх[<1, ( — 1)1! ж1].
УВ 11 132 е)— 1+ сов а!8 2 !ав — 1> 1-(-савла у !44+5) лв(пв — 28) ... Гав — (2Ц«] ~4 (п — 18) (а — 3') ... (и'-(2 +3)ь] Р (соя О'— «-0 — Р соя О)- ь яь) 1( 1 — совал ~р (4!(+3) (п~ — 1 ) .. ]л* — (2(с' — 1)*1 Р О) = я пО. й (и« вЂ” 2«) (п« вЂ” 4*) . (,ль — (М+2Я А (9062. 1) 2 ' — 1( в!лап ч~р !4/г+ 5) пв(ૠ— 28) ... [лв — (2И«] ь'-! (ль — 18) [пь — 3') ... [лв — 1М-(-3)' ( +— в пан тъ (4)с+3) (и« вЂ” 18)(лв — 38) ... (л« вЂ” (27с — 1)ь] Р— ("-')(а — ') ...]л — ( Ч- )] Р сояО)=я]ипО. «=! А (9060.2 А;9061. 1! (2п — 1)11 Р~, [сов О) Лл ' (а — 1)! л ч-~ (2а+2й — 1)11(21 — 1)11 (2л+4%-]-3) 4 в)а аО ь!л ь«с-ь Г~ ( + с ~ 1 с(ь ] Ц! Р„,„, (сая О) = «=О А (9061.2) 2"' сл! 3. — — Р (сояО'+ (2в — 1)1! +и ~ ,'2л-4й+1) . Р, (соя О)=соялО.
2п в«с (л — Х' — 1)! (2(!с — 3)11 в,в ортогональнын полиномы 8.925 ° 1 41+1 Г (24 — 1)й ! ~ 1 2 я!в() ь'-) 2~~'ь (24 — 1) (/с+ 1) ( й ] ~" ( ) 2 я А (9062.4) А (9063. 2) А (9063.1. 8.927 у (1 ь- -) ~Р„~с [0<р < 1р < зф )/ 2 (сев () — сов ф) 0 [0(~р~ р ( я].' М0 72 г А (9064.1) и=ь и ряды произведений функции Бесселя и полиномов Лежандра см. 8.5114., 8.5313., 8.5331., 8.5432., 8.534. 8.930 !) и р е д е л е н и е. Ыногочлены С„" (1 степени и являются ноеффициеытамв ирн а" в равложенив в степенной ряд функции (1 — 2га+а'Г'= ',)" С,",(1) а". УВ!! 127 .л Таины Образом, многочленм С„(1/ служат об обще.ыиеы нолиномов Лежандра. 66~ 4й — 1 ! (24 — 1)!! ! 2 20 1- У, „,„,, [ „, ~ Р„т(со~0)=1 —— Ь ! /с (4Й вЂ” 1) (2Ф вЂ” 1))! ~ 2 с1д Е Х , ,2Л 1) Г И й=1 я — е 2:~ — Р„ (сов О) = !в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
