Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 91
Текст из файла (страница 91)
зЪО) [Вер >О, Вер' >О, Ве(у — р — р') >О]. ВТФ1230(3), АК28(3) 4 Р4[а, Р, у, у', (1 — у) у(1 — )]= 11 г (у) г (у ) ~ ~ иа — 1еа — 1(1 а)т — а — 1(ф О)т' — а — 1 )~ Г (а) Г ® 1 (у — а) Г (у'- р), оо М (1 — их)а т у'+1(1 — оу)а т-т'+1(1 — их — оу)у+у' " О 144и44о [Неа > О, Ве)4 > О, Ве(у — а) > О, Ве(у' — р) > 0]. ВТФ1230(4) 3. Р4(а, р, у, у", х, у) = Г (у') 1' ф — а) Г(у' — а) Г ф) г(у') г( -Р) Г(у' — )1) Г(а) ( У) 4 [ ~+ 9.184 Интегральные представления: , ", ); ВТФ1240(6) ); ВТФ 1 240 (7) х у х+и — 1 ' х-~-у 1) ВТФ 1 240 (8'„А К 32 (6) в,а выРождкннхя ГипкРгкомктРичкская Фтнкция 1071 Интегралы типа Меллина — Бэрнс» 9.185 Функции Р„Р, Рз и Рд представляются с помощью двойных интегралов гледугощей формы: Г~,, г)=г згЦ-'-~ ~ ~ Ч'~~, йГ~ — ~~Г( — г~( — ~Г( — г)' йа.
Ч~(в, 1) Р(х, у) Г-(к+г-~. г) Г (р-г л) Г (р'+г) Р1(а, р, р', у; х, у) Р (а, Р, р, у, у'; х, у) Р (а, а', Р, р' у; х, у) Р.(а. р* у. у" х. у) Г()) ) Г<У-г, -(-г) г (а+ — г) г ())+ ) г (()'+ г) г (у') г(()') г(у+') г(т +г) Г(а+г) Г(а'+г) Г(Р+ ) ГФ'+г) Г (а') Г (р') Г (у+ы+г) Г(а+ ~+г) Г(Р г-г+г) Г(у') г(у )- )г(у+г) (а, а', р, ))' не должны быть целыми отрицательными(. ВТФ 1 232 (9) — (13), АК 41 (ЗЗ~ 9.19 Гипергеомстрическая фу пипия нескольких переменных Рл(а; р„..., р„; у„..., у„; в„..., в„) = Ю ОР ОР (а)т,+...+щ,(рг)т, - (р~)-„ (у ) ° ° .(гп) г,' ъ) ..
™ =Х ,=о ,=о аад=о ИП 1 385 9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИг)ЕСКЛ11 ФУ11КЦИЯ 9.20 Введение 9.201 Вырожденнал еипергеольетрическал функиил получается в результате предельного переход» по с к + со в решеыни дифференцв»льне~о уравнения 1'амана Г 0 со с 1 1 р> — +р, — сс — Х е л 2 УВ11 139 — — 0 Л ! 1 1 9.202 Уравнение, которое получается в результате этого предельного перехода, имеет вид. УВ П 139 Уравнение 9.202 1.
имеет следующие два линейно независимых решения: 1072 8 — 9. спики ъльнык Фъ'нкннн 1+в, г 1 2, хз е — *Ф~ 2+)х — Л, 2)х+1„.х~, 1 — з '1 3. хз е 'Ф~ —,— р,— Л, — 2)х+1; х 9.31 Функции Ф(а, у; л) и чг(а, у; е) 9.2$0 Ряд а (а-)-1) ха а (а+1) (а+2) ее у(». 1) 2(+ у(у+1)(уФ2) т) гппергеонотрической функцией. у, г) =,Г, (а, у; г). 1. Ф(а, у; х) = 1+ — —,+ также называется вырожденной Другое обозначепае Ф (а, г (1 — у) 2. Т( ° у' ) = г(,) г(у О Г (а) Ф,а, у; х)+ г1»Ф(а — у+1, 2 — у; 2).
ВТФ! 257 (7) 9.2$1 Интегральное представление: 1 2Й 1 ! 21»е -и 1, Ф~а, у; х)= ~ (1 — 8)™-1(1+Ю)а-'е гй У -1 [О ( Вв а < Вв у]. Ф а у' Х)= Х)» ~ ЕЦЯ 4(Х 1)» а МаХ В(а, у — а) о МО 114 [О ( Ве а ( Ве у]. МО 114 а со а 3. Ф( — », а+1; х)=. е*х ~ е — Ч ~Ха(2]/хе) ~И [Ве(а+»+1) >О, ]агах~ < — ~ . МО((5 4. Чг(а, у; х) = — ~ е-"1 -1(1+1)~ "-'аг [Вва) 0]. ВТФ!255(2) 1 о Функциональныв соотношения 9.312 1.
Ф'а, у; х)=е'Ф(у — а, у; — х). 2. — Ф(а+1, у+1; х)=Ф(а+1, у; х) — Ф(а, у; х). 3. аФ(а+1, у+1; х)=(а — у)Ф(а, у+$; х)+уФ(а, у; х)„ 4. аФ(а+1, у; х) = =(х+2а — у)Ф(а, у; х)+(у — а)Ф(а — 1, у; х). 9.2$3 — „= — Ф(а+1, у+1; х). НФ а МО 112 МО 112 МО 112 МО 1$2 1 2 3 которые определены для всех значений )х ~ ~ —.
МО 11$ р 2 ВИРОжденнАЯ гипеРгеометРи тескАЯ 'Рз'нкция 10'!3 9.214 !!и „Ф а, т; з)=ал 1~ ")Ф(а+а.!-1, и+2; з) т~ — л (и = О, 1, 2....1. МО 112 9.215 МО 15 1 Ф(а, а; х)=е*. ! 2. Ф(а, 2а; 2з)=' йехр~ — (1 — 2а)пг ~ Г~ а+ — г"з .р' ! зе ). (4 г МО 112 з. е(рр', зр+!. а!*)-г!р+!!(-,*) "*р,!.! МО 15 ) Представление специальных функций через вырожденную гипет!геометрическую Функцию Ф,'а, у; х) см.: для иптс!рала вероятности 9.236; для интегралов от цилиндрических функций 6.631 1.; для палияомов Эрмита 8 953, 8.959, для полипомов Лагерра 8.972 1.; для функции параболического цилиндра 9.240; дяя функции Мх „(г) 9.220 2., 9.2203.; для фупкпии !р'Р, (з) 9.239. 9.216 Функция Ф(а, у; з) является решением дифференциального уравнения 1. г -„~, + (у — с' — „- — аг" = О. <(рР, ИР МО 111 Это уравнение имеет два линейно независимых решения: 2 Фа,у;з) 3.
з! тФ(а — у+1, 2 — ) з) МО 112 9.22 — 9.23 Функции Унт'Гекери 3~ ('3) и ХГл (з) МО 115 Уравнение 9.220 1. имеет следующие два лииейно независимых решения. ! я+-— 1 2. Мх, !!(з) = г Ре РФ~ )р — Л+ Р, 2р,+ 1; г р) . З„Мх (з) =з зе 2Ф( — и — Л+ —, — 2(А+1; з) . МО 115 Для получения решений„пригодных также и при 2)ь= ~- 1, ~ 2, вводится функция Уишскера.
! и'~, ! )= рк. ! )-!- р лк, — „(~), уВ!! !52 ! 2 Г ( — ( р--Л)) л8 Тлбллцы лвтеграллл 9.220 Сделав в уравнении 9.202 1. замену переменных и = е Чт', мы придем к уравнению 1074 е — е спвциАльныв Фъ'нкции Интегральные представления 9.221 Мр„„(а) = 1 в+- 1 1 1 ~ (1+1) 2(1 — е) 2е2 Ж, УВ11159 22я ( +Л+ —, — Л+ — ) е ' 2/ если интеграл сходится См также 6.631 1., 7.623 3.
9.222 1 и+- —— г 2 е 2 1. %Уь, „(я) = 1 г гье 2 2. И~а, в(я) = г (~. г~- ) ~Ке ()! МО 118 1 1 — Х- — Х-— 2е-!(1 ) ' '1"+ 2,1г о УВ11 143 г г 1~ г 1~ Г (и — Л) Г ~ — и — !г+ — ) Г ( — и+)г+ — ) г( — л+я+ —,) г ( — л — р+ —,) [путь интегрирования выбирается так, чтобы полюсы функции Г (и — Л) ! '~ оказались отделенными от полюсов функции Г ~ — и — в+ — ~ 2./ 1' и Г ( — и+)г 1- ~)~.
См также 7.$42. МО 1!8 гО 9 224 !'г' 1 (е) =я$г+1е 2 ~ (1+!)~е *~ И = и, -+и '2 о 1 Ег =я — ие ~ !2ие '19 1Вея>0]. УВ11160 1. И~ь, и(х)В х, „'х)= = — х ~ СЬ~~ — (Х2„(х яЬ г) я!в 'р — Л) я+Мя„(х яЬ е) соя(р, — Л) я) ей ~~Ке)1~ — КеЛ( —; х> 0~ МО119 которая при 2)г, стремя1цемся к целому числу, также служит решением уравнения 9.220 1. Для функпий ЛХ1, „(2) и И'х „(Ы 2 = 0 является точкой ветвления, а я =- со — существенно особои точкой Поэтому мы будем рассма|риеать эти функции только при )агд 2 ( я. Функции И~г,,„(2) и И' а, „( — я) являются линейно независимыми решеяиямя уравнения 9.220 1 9.2 ВыРОжденнАя ГинеРГеомвтРическАя Фъ нкция 1075 1 х+ъ Г 1 ( 1'1) - Р ~ — — ( +-")~ ТТ~„„,~,) й „„М 2 ОО 1 2+х з — д+А — и Е-1à — х — Х |г Р х Г' ( —, — х + )1, —, — Л + )1; 1 — х — Л; 8 ) йг, й = ,е 1 1 г(з,+л,+1) (,2 2 ) (~1+~) ( 1+~) (г1 ФО, г,Ф0, !агяг,[< л, [агяг [< л, Ке(х+Л) < Ц МО119 См также 3.334, 3.3816, 3.382 3., 3.383 4., 8., 3.384 3., 3.471 2.
9.226 Представления в виде ряда УВ ТТ 141 24хх) (р+1) (р+2] ... ((А+й) ! Асимптотические представления 9.227 Для болыпих значений [г[ 1г - ['-( -И1['-С -ГЦ"-С -"+Л) Т4'1, «(г) — е гх 1+ >' А=1 1 М1,, „(г) — Г(2~ь+ 1) Л " 'г1соз [ 2~%я — )1л — — л) . 9.229 МО 118 1 1 Ь'1, — — ( — ~)'е — 1"+х1" ьз(в(2~Лг — Лл — — ) . 1х~Л1 4/ 1 2.
И~, — ~ — ~1 е1-11А"-гг"~ МО 118 — А. Р 1 4Х.( [формулы 9.228 и 9.229 применимы при [Л [,2 1, [Л [ > [г[, [Л[ > [ )1[, г ФО, [ 8~ г! < 4 и [аг8Л[< —,~. МО 118 Функциональные соотношения 9.231 1 1 — — а -з е~ '"х „(г"+г11е — *) (2)1+ 1) (2р-(-2) ... (2р+и) Ы' ~п=О, 1, 2, ...; 2)1Ф вЂ” 1, — 2, — 3, ...). 1 1 2. г й М1„„Ф=( — г) ~ ~11 1,. (,— г) — — — 1$ — — -Я МО 117 12)1 Ф вЂ” 1, — 2, — 3, ...Т. УВ И 140 ива [[агйг[~<л — а < л). УВ11 147 9.228 Для больших значений индекса [Л[ 10 76 9 — 9 СПЕППА 1ЪНЫЯ ФЪ'ННЦИП 9.232 1 Й'», „(г) = Ирл, ~,<г). 2.
И вЂ” л, н~ — г)== — 1 'и — л, и( — г)+ — 1 М вЂ” л, — и ( — г1 ~~агя( — г)~ < — я~ . УВД152 4. ((р.р' ')вр в в — е и' в в1(р+ в~р)=- ((и-р —.)и~р,И~+ — вр» „+ <в) (рр — ~) ввиввв гз д 5. ~ — +Л +~л) ~ — +Л+)л~ гИрл „(г) =г(г+29+ 1) — рУл+1 +р (г)+ + д г + ~)л — Л вЂ” — ) г т 2)л + 2)л+ —, ~ И'р ~~, „+~ (г). МО 117 Г1, Г 11 Связь с другими функциями 9.235 1. Ме„,(г)=2 "Г(р,+1) 1/г1„( — ) 2 ив.в(И вЂ” ~к»( — ). МО 125 и МО 125 9.233 Мл, в(г) = ев"ЧУ и„в(е' г)+ .р е*р ( и (к — р — —,) ) рр» „р ) — —, я < ага" г < —; 2)л -ь — 1, — 2, ...
~ . МО 117 з и. 2 Мл, ° (г) = " е — ~лИ' л, „(е — '"г)+ г(зр ~-1) + в'ре ', р( — (~ — р — в!))и'..(1 р(р+л+ —.) я — — < агяг< — зя; 2)л4= — 1„— 2, ...~ . МО117 з 9.234 Рекуррептные формулы: 1. И'„, л(г1= 1р'гИ~ р р (г)+ ( — + Л вЂ” р,) И' 1, л(г). УВГ1 159 2' 2 р вр.в(И-р'*и', и'+( — ' — в — р)и'.. в~*~ иипвер в 2 2' 2 Ы г 3. г †, И'л. и (г) ( Л вЂ” — г ) И'л, 'г) — ~)л — ~ Л вЂ” — ) ~ И л 1, (г).
дг УВ 11 159 1О77 9 2 ВИРОжденнАя ГипеРГеометгическАя Функния е Г1 З 1. Ф (х) = 1 — = И' 1 1(хе) = =Ф ~ —,, —,; — хе) . ~2 ! 2 ! УВН144, МО126 П (2) =- — — )т 1 ( — 1Н 2). )/ 2' УВ 11 145 3. Г(а, х)=е "Ч'(1 — а, 1 — а; х). ВТФ 1 266 (21) ВТФ 1 266 (22) .а 4 у(а, х)= — Ф(а, а+ 1; — х). 9.237 Зя . [ ага 2 ] < —; 2)2+ 1 — натуральное число ] МО 116 1 2 Пусть Х вЂ” а — — = ~, где 1+1 — натуральное число. Тогда ! «+-' Л~, (2) ( 1))2 2 е )+«+-.
« *(2а+1)(21 +2)...(2В+К)Ф( — К, 2р+1;,) = 1 =( — 1)'2 2е 2 Ь~~«(я). М0 116 2 — )! ! / )*)= „! '*е! ! —.)-, !.! 2; 2! ) ВТФ 1 265 (9) 2. ~„(х)= „* е Ф~ — -[-1), 1+2; 2 В'1'Ф 1 265 (10) ВТФ 1 265 (13) е. к )~) фт *)2 ) %') —.)-м, !.)-2т; 2я). *) Пря 6=0 последняя сумма равна нулю. ! 1)2«е 2 е 2 1У') «(2)— Х г( — — р — л)г~ — +р — 1 ] х!~' „, '*'[)!) -)-!)-!.ф(2)!-)-Й-)-!) — )(е-)-Й вЂ” ! )--) — ! ].!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
