Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 93
Текст из файла (страница 93)
и — 1 В .1(п)=В .,+(т+1) 'Ц~ й [и и т — натуральные числа1 (см также 0.121) Ге 51 (65) ЬВ„(х1= В„(х+11 — В„(х) =пх" х. Ге 65 (90) В„'(х) = иВ„, (х). Ге 6Ь В„(1 — х) = ( — 1)"В„(х). Ге 66 в.~ *~= "- 2 8.(*+ — ') ! .р-. у-. -.1. гебня о ' .624 9.625 Разности В„(х) — В„ при и нечетном на отрезке [О, 1] обращаются в нуль чолько з точках ! 1' О, —, 1, причем в точке х=- — они меняют знак При в четном эти разности обращаются в нуль на концах отрезка [0„11, а внутри этого отрезка сохраняют знак, принимая наибольшее по абсолютной ьеличине значение 1 в точке х=— 2 9.626 В промежутке (О, 11 полиномы В,„(х1 — В,„и В,„,з (х) — В,„„ Ге 87 противоположные знаки.
Частные случаи: 1 В, (х)=х — —. 2 име1от 9.627 Вз(х) = х — х+ —. й 3 1 В (х)=х' — — х'+ —.х. 3 В (х)=ха — 2хз+хз — —. 1 5 4 5 1 В (х) = х'--2х'-[--. х~ Частные значения: Ге 70 9.628 1. 2 В„(О' = В„. В„1)=( — 1)"В . Ге 76 9.63 Числа Эйлера рй 9.630 Числа Л„, являющиеся коэффициентами при —, в разложении функции 1а называются числамн Эйлера. Таким образом, функция — — является производящей функцией для чисел Эйлера.
Ч 330 аз постояпныв 9.631 Рекуррентная формула (символическая запись): (Е+1)" +(Š— 1)"=О, Е,=1. Ч 329 Свойства чисел Эйлера 9.632 Числа Эйлера суть целые числа. 9.633 Числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю. знаки же двух соседних чисел с четными ипдексами противоположны, т. е. Е 0 Е > 0 Е4 < 0 Ч 329 9.64 Функции т (х), т (ж, а), р, (зс, р), р, (ж, )1, а), )ь (х, у) 9.640 ОЭ х~Ш 1 (х)= г0+1)- ОР и+~,п ~(хе а) ~ 1(о ~ ~ 1) ВТФ 1И 217 (1) ВТФ 111 217 (1) 3 ) (х,Р)= 1 в х таит ВТФ 111 217 (2) г 13+1) Г 0„-1) хи+~гд дС 4. Р(х, 1, а)= ~ г~р+.1)г(о+ +1) > ВТФ 111 217 (2) 5. 3~(х, у) = ~ о г (и+1) ии 9.7 ПОСТОЯ11ИЫЕ 9.71 Числа Бернулли Еф 1з 1 9;634 Если а, р, у, ...
являются делителями числа п- т, то разность Е „— Е делится на те из чисел 2а+1, 2))+1, 2у+1, ..., которые являютсяпростыми числами. 9.635 Связь с числами Бернулли (символическая запись); 14 — 1)" — (4 — 3)" Ч 330 и-1 аи и(В+1)и 1 2. В„= 2„(2„1) Ч 330 Ч 341 Таблицу значений чисел Эйлера см. 9.72. 1094 8 — в сееееЕиАлъееыГ Фу нкции 5 В ео — 66 э 236 364 091 гв 2730 691 В 2730 ' 8 553 103 Ь 23 749 4Ь1 029 Егв = 7 Ю ь Евв = 870 8 615 841 27Ь 00 е В в 7 709 321 041 217 7~ее = 510 2 577 867 658 367 854 513 138 Е8= 1, Ев — — — 1. Е =5 Е,= — Ы, Егв = 370 371 188 237 525 Е„= 1385, Числа Бернулли и Эйлера с нечетными индексами (исключая Ве) равны нулю 9.73 Постоянные Эйлера и Каталан Постоянная Эйлера С; = 0,577 215 664 901 532 5...
Постоянная Каталаиа С =0,915965594 .. 3617 510 43 867 798 174 611 330 9.72 Числа Эйлера Е,г — — 2 702 765, Еев = — 199 ЗЬО'е81, Е в= 19391512145. Е„= — 2 404 879 675441, Наименование функции и номер формул, где дается ее определеяие Обоапачение 8. 141 9,61, 9.71 9.620 8.38 8.39 8.37 8.56 9.73, 8.367 8.25 8.93 8.932 1 Авшсситуда эллиптическая Числа Бернулли Полиномы 11с.рнулли Бэта фупкция Пеполпая бэта-функция вся~и, сс) В„(х) в("*, у) В (Р.
ю) р (х) Ьщ (е), Ъэг (е) С С (х) Сь (с) С~ (х) сеч (е. с7), сети+с(э с() Функции Томсона Постояпная Эйлера ссосинус-интеграл Френеля Многочлены Гегепбауэра Функция Гегепбауэра Периодические фупманя Матье (фупкции Матье 1-го рода) 8.61 Присоединенные (модифицированные) фуякции Матье 1-го рода 8.63 Гиперболический интегральный косикус 8.22 Мптэгральный косипус 8.23 Эллиптический косинус 8. 14 8.
Н2 8.Ш Функции параболического цилиндра 9.24 — 9.25 Дельта амплитуды 8.14 8.162 Числа Эйлера 9.63, 9,72 Эллиптический иптеграл 2-го рода 8.11 — 8.12 Поляый эллиптический интеграл 2 го рода 8.11 — 8.12 Функция Мак-Роберта 9,4 Функция Вебера 858 Пятегральнаи показательная функция 8.21 См интеграл вероятности 8.25 Дзота фупссция Веисрштрасса 8.
17 Д.сета-функции Римана 9.51 — 9.54 Эллиптический интеграл 1-го рода 8.11 — 8. 12 Обобщенный гипергеомэ три ч эски и ряд 9.14 Гипергеометрическаи функции Гаусс,а 9.10 — 9. 13 Вырожденная гипергеометрическая функция 9.21 Се«, (э, л), Сети с (э, с1) сЫ (х) с)(х) сп (и) Х1(/с) = Е> В(ф. 4) Ои( ), Вэ( ) с(п и ед, еэ еа Ви Е(ср, й) л (Р аса сс' йс: ° ) Е„(э) Е1 (э) Ег1с (х) = 1 — Ф (х) ~ (и) ь (г) ~ (г, а) )и (ср, сс) «~ч(и " " Р".-' «ч ') с«с(а 1с У' э)=с (о Р Г э) сРь(а, 2, з) =Ф (а, 'у, е) ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЕ 1096 пгждмжтнын уклзлтжль снждилльных ехнкцин и нх бит)знлчжннж Продолжение Наименование функции и помор формул, где дается ее определение Обозначение 9.
18 8.64 8.663 9.73 8 161 1.49 8.64 8.663 8.31 — 8.33 8.35 Функция Мейера Функции Токсова 9.3 8.56 8.473, 8.531 8.473 8.405, 8.42 8.192 Функции Гаккеля 1-го н 2-го рода 8Л92 8.55 8.405, 8 43 8.402, 8 41 8.58 8.И вЂ” 8.12 )Г„(г) Фувтспня Лобэчовского Функция Струве Полиноиы Лагерра Интегральный логарифм Функции Ъ'иттекера Фувищии Неймана Полиномы Неймана Эллиптическая функция Вейерштрасса Шаровыо функции 1-го рода Функции и полиномы Лежандра 8.16 8.7, 8.8 8.82, 8.83, 8.91 Рсс(г), Рв(х) Р„(г).
Ро Рх) Р арах дифференциальное уравнение Римана (схема) 9.160 1е, (г, ч), уев (г, ч)... усу„(г, д), ре)с (г, д)... ) И 6з~ лз бс) х ( т) Сеа (г. ~) Сеу„(г, 7), Се)с, (г, 7) ) Г (г) 7 (а, х), Г (а, х) ( ас, ..., ар)) Ыест (г) Ыегт (г) Ж1м (г) Ж" (г) Нсс' (г), Й'з' (г) Н(и)=0с *С 2сь ) Нв( ) и (г) 1„(г) )се1 (г), )сег (г) $ (з) Ь (х) 1. (г) Ьа (г) )с (х) ) (х, 9) М „() р(х, р) ~' (г) т (х) 'р(х, а) О„(х) Р(и) Гипергеометрическая функцин нескольких перомекпых Гиперггомотрическио функции двух переменных Вторые непериодические решения уравнения Матье Постоянссая Каталана Инварианты (э(и)-функции Гудерманиан Вторые ноперводические респения уравнения Матье Гамма-фупкпня Неполная гамма-функция Полиномы Эриита Функции Струве Функции Бесселя от мнимого аргумента Неполная бэта-функция Фупкпия Бессели Функция Лнгера Полный эллиптический интеграл 1-го рода Цилиндрпчосссио функции мнимого аргумента Функции Томсона 8.407, 8А3 8.56 9.56 8.26 8.55 8.97 8.24 9.640 9.22,9.23 9.640 8.403, 8.41 9.640 9.640 8.59 ЦРЖДыетныИ УНАВАтжль ОЕЕЦНАльных ФункЦиИ и их ОВОзнлчжниж ')097 Продолжеяне Наименование фупнпни и помер формул, где дается ее определение Обоэначение р(а,б)( ) П (х) Полииомы Якоби Угол параллельности Лобачевского Эллиптический интегралЗ-города Интеграл вероятности 1.48 ЭЛ1 8.25 9.55 9.21 П(ф, и, Й) Ф (х) Ф(з, ю, о) Ф (а, у, х) —,Р, (а, т; х) Фь (а, (э, у, х, у), Фэ (р, р', 7, х, у), Фа(р, у, х, у) 'ф (х) 'р (а, е; х) 9.26 8.36 9.21 8.7, 8.8 ~и(х), (,~и(х) е,().
(),() 8.82, 8.83 8.25 8.59 8.57 8.61 ~() ~и (и) ю (а), о" (а) зет т (~, д), эе ,~ (~, е) Эееи 1(х1 е), Эеж~э (а~ ч) аЫ (х) 8.22 8.23 8Л4 8.17 8 94 8.191 — 8. 196 8.192 8Л92 8.18, 8Л9 Эллиптические тета-функции Полиномы Чебышева 2-го рода Функции Ломмеля двух переменных Функция Уиттекера Цилиндрические функции 8.94 8 57 9.22, 9.1й 8 401 Иг„(а) г,'(.) з((х) ао и о (и) Ти (х) Н(и). 01 (и) 6,(.)=6з ( — 2) Е(и) =6, 6,(о~ т) — Ю, (о! т), (),(о ~ т), ().,(опт), (),(о ~ т) Пи (х) П„(си, з), У„(ш, а) Вырожденные гнпергеометрические ряды двух переменных Пси-функция Эйлера Вырожденная гипергеометрическая функция Шаровые функции второго рода Присоединенные функции Лежандра 2-го рода Синус-интеграл Френеле Полиномы Шлефли Функции Ломмелн Периодические функции Матье Функции Матье от мнимого аргумента Гиперболический интегральный саыус Интегральный синус Эллиптический синус Сигма-функции Вейернгтрасса Полняомы т!ебышсва 1-го рода Тэта-функция Якоби СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Я (х) Ке з —.: х, )п1 з ==- у з =х — Ву агапа Е' (х) <ы ь †> а а С в~ (2в+ 1) ы (2а)~~ © ил Х', Г О и (*)) Буква й (когда она не служит индексом сум мировзния) означает число лежащее на отрезк~ ~0 Ц Этим обозначением пользуются в интегралах сводящихся к эллиптическим При етом число у 1 — )гз обозначают через й' Рапионапьная функция Действительная н мнимая части комплексного числа з=х+юу Комп чековое чяс ~о сопряженное с з = х+ су Аргумент комплексного числа а=к+~у Знак действительного числа х, а(кп х= +1 при х,ь0, згпнх= — 1 при х(0 Целая часть действительного числа х Контурные интегралы, путь интегрирования исходя из точки а, приближается к точке Ь (по прямой, если нет противоположных указаний) обходит по поболь|ному кругу в положительном (отрнцатехьном) направлении точку Ь к возврз щается в точку а, пройди первоначальный путь в противоположном направлении Криволинейный интеграл, взятый вдоль крн вой С.
=1 23...в, О! =1. =1.3... (2л-(г1). =2 4 . (2н). ')=1. р(р-1) ... (р — в+1) Г р' 12...н ' ( Оа) =а(а+1)... (а+в — 1)= Г (а+в) Г (а) = ага+ммух+ ° ° ° +ма Если вС'шэ тэ полагают н ,г', ил= — 0. л=зв Суммы, распространенные на все цьлочислен ные значеяия к или, соответственно, ал и н, нсклю чан к=0 или, соответственно, ж=л=9. Порядок функции г' (з). Пусть точка з при ближзется к з Коли с) ществует М > О, такое что в некоторой достаточно малой окрестности точно зо нмго~ место неравенство) у (з) ) (М ~~(з) ~, то пишут г (=) — О (~ (з)). УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ, НА КОТОРУ10 ИЫЕЮТСЯ ССЫЛКИ*) А — Ай аш в К, 8ин!воп!аа ша!Ьеша!!са! $огшп!ае, зуав!Воб!оа, 1922.
АК вЂ” А р ре! Р., К а ш р е 1. йе и от ! е $, ровс!1оав Ьурегдеошо!гн$аев е1 Ьурегв$егщпев, Ро!!пошев 6'Негш1!е, Раг!в, !926 Б — В е г ! г а в й 1., Тга!$о йе са$сп! 611!о~во!!е1 еь йе са$сн1 !пм48та1, т. 2, Са!сп! 1пгедга1. 1а1бдга!ев йе$1п1ез о$1а64$1а$ев Рапз, Саа1Ь1ег-У!1!агв, $870 Брав — В г о ш и ~ с !ь Т. !., Т'а, Аа !а!гойпсшоа 1о СЬе СЬеогу о1 шВайве ' зепев. $.оайоп, Мас М~Иаа 4, Со, $908. Брви — То же, иэд. 2-е, 1926. Бу — В н с Ь Ь о ! х, Н е г Ь е г 1, ГЛе сопВаеа$е Ьурегбеошв!г!всЬе упа$г11оа ш11 Ьевопйегег Вегас$гв1сЬ!!дпц, !Ьгег Апмеайапяеа, ВегПа — СбвМайеа — Не16ЕЬегб, 1953. БФ вЂ” Вугй Р. К апй рг го йшап М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
