Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 92
Текст из файла (страница 92)
а=о 2~ 1г(2р — ь)г ь — р — )).+ — ) А=О 9,2 ВыРОЖденнАя ГипеРГеометРическАя Функция 1081 (.:Вязь с другими функциями 9.253 Р (г)=2 2е гй гг гг у- МО 123 и 9.254 МО 123 МО 123 9.255 Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям параболического цилиндра: г(ги г 1 гг '~ 1 — +~ р+ — — — )и=О, а.и (, ~ ~ ) и=-Л (2), Л„( — 2), Л Рг(гг), Л „г( — Е21 (вежду этими четырьмя регпениями существуют линейные зависимости, см 9.248). 2 —, + (гг+ Х) и = О, и = Р 1» 12 [~ (1+11 2].
ВТФП 118(12), (13)и, МО123 гг 3. — „и+г — +(р+1)и=О, и=е 'Р (г) МО 123 9.26 Вырожденные гипергеометричеекие ряды двух переменных 1. Ф,(а, р, у, х, у) = ~~ ( )'" "®" хту" (т)т+ю гв(~ т, в=а [] х] < 1]. ВТФ1 225(20) 2 Фг(]), ]г', 1г, х, у)= ~,, х у". (у)т в гггог! .. — о ВТФ 1 225 (21) и, ИП 1 385 ВТФ1 225 (22) 3 Ф.(В. у)= Х „,',"„'=..."у"- т, а=О 1 ° 2 — Фг (а1 ~~ 1'1 хг у) агг агг дг дг х (1 — х) ~, + у (1 — х) д — д + 1у — (а+ р+ 1) х] а — ]1у д — ар2 = О, у — + х — + (у — у) — — х — — ах = О. д~з агг аг а айаг а*ау ду дх ВТФ 1 235 (23) Функции Ф„Ф„Фг удовлетворяют следующим системам дифференциальных уравнений с частными производными: 9.262 1082 (( — 9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ Фр'НКЦИ11 2 х = Фя(Р, Р', У, х, У'1 дяя дя дхду — +(у — х) — — (Ь =О, дх дря дя д*д„ +(у у) 3' =() др дря т — +у дяя и — -+х дия ЬТФ 1 235 (24) 3 з=Ф,(~, у, х, у) д.
дь дя , + у + (у — х) — — 1)х = О, дих дря дя 1р — +х — -(-у — — а =О. дуи дх д рр дрр ВТФ 1235 (25) 9.3 Я-ФЪ'11НЦИЯ МЕЙЕРА 9.30 Определение ри и Ц Г (Ьр — я) П Г (1 и +я) ( 3=1 1=1 2~и,) ч г. Г (1 — Ь +г) 11 Г (а — я) 1=и(+1 1=и-(-1 [0<т~д, О~п<р, полюсы Г(6,— г) не должны совпадать с полюсами Г(1 — а„+а) ни при каких 1 и й () =1, ..., т, й=1, ..., р()).
Броме 9.301 приняты еще следуинпие обозначения. ВТФ! 207 (1) 9.302 Можно указать три различных типа путей интегрирования Ь в правой части 9.301 1) Путь Л идет от — оо к + со так, что полюсы функций Г(1 — аь+г) лежат слева, а полюсы функций Г(Ь,— 8 справа от 1.; )=1, 2, ..., т, й=1, 2,, р( Условия сходимости интеграла 9.301 имеют в этом случае зид: р > 1 и либо р > д, либо р = д и ~х) > 1 ВТФ1 207 (4) ррр<я(т-~-р1 (прях(((~-р — — р — — р ) Втр(207(2 1 2) Е, представляет собой петлю, начинающуюся и кончающуюся в + о:р и охва(ывающую один раэ в отрицатечьном направлении по аюсы функций Г(Ь, — а), ) = 1, 2,, т, все полюсы функции Г(1 — а„+а) должны оставаться вне этои петли.
Тогда условия сходимости интеграла 9.301. д>1 и либо р< д, либо р=д и )х~(1. ВТФ1207(3) 3) Ь представляет собой петлю, начинающуюся и конча(ощук ся в — о:р и охватыва(ощун~ один раз в положительном направлении полюсы функций Г(1 — а„-) я), й = 1, 2, ..., и, все полюсы фушщии 1'(6 — г), 7 = 1, 2,, т, должны оставаться вие этой петли Условия сходимости интеграла 9.301 9 3 Н-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА Функция 6„"» (х~л,") — апалитическая по х; она симметрична по парамет, ам а„..., а„, а также ио а, ..., а„; Ь„..., Ь; Ь,, ..., Ь.
ВТФ 1 208 ).303 Если никакая пара Ь„ у = 1, 2, ..., п, не отличается на целое число, то при условиях либо р < д, либо р= д и )х~ < 1 П Г (Ь,— Ьл) П Г(1+Ьл — а9) ат»(Х!аР~= Х 1=! ' 9=9 — Д Г(1+Ьл — Ь,) П Г <а,— Ьл) ~=та+ 1 1=я+! х „Р' т (1+ ܄— а,, 1+ Ьл — а„; 1 + Ьл — Ьм ... ..., *, ..., 1+܄— Ь; ( — 1)Р "х~"'). х~л Х ВТФ 1 208 (5) Ч.304 Если никакая пара а, ! = 1, 2, ..., и, не отличается на целое число, о при условиях д < р либо д= р и ~х~ > 1 Г (ал — а~) П Г(Ь9 ал+1) у=! ВТФ 1 208 (6) 9.31 Функциональные соотношения Если один из параметров а, О = 1, 2, , и) совпадает с одним из параметров Ь, (у =не+1, пг+2, ..., д), то порядок 6-функции уменьшается Например„ Аналогичное соотношение возникает в случае, когда один из параметров Ь, (у =1, 2, ..., Ьч) совпадает с одним из а, (~ =и+1„..., р) В ятом случае на единицу уменьп~яется не а, а т ВТФ1209 (7) С-функция с р > д может быть преобразована в С-функцию с р< д с помощью соотношения: ВТФ 1 209 (9) ВТФ 1 210 (13) *) Штрих у янека проиеведения оепачает пропуск сомно,нителл дли у =Ь.
.)веядочка под знаком функции рР» т оеяачяет пропуск Л го параметра. Е1' С"" (х):,") = ~, — П ~=а+1 Х Р'„т ~1+Ь, — а„, ...,*, ...,1+а„— Г (и, — »А+1) Ц Г (аЛ вЂ” Ь9) у=аз+ 1 1+Ь вЂ” а„; 1+а,— ал, 1)»-та-я -91э) 1г!85 й 4 Ь ФУННН/НЯ МАН-РОНРРт/Л 4. Л;(*]=..*)/хе) (лв~ ь )и, — и ВТФ 1 219 (49) 1 -+ — т+ — » 2 2 2 1 1 1 + тв+»в 2 2 2 5. Нт (х) хлл =- 2'"С ', е — х* 4 1 1 1 — — тв, — »-) — — т 2 и 2 2 В ГФ 1 220 (51) 1 1 — + — » 2 Л 1 1 1 1 — + — », — вь, — — тв 2 2 ' 2 ' 2 Х Слз Зл 1 4 ВТФ 1 220 (55) ВТФ1 222 (74) и ар; Ь„..., Ь,, х)= Р~ л 1~1« - в Д г <ь,) 1=1 и [~ Г(а) у=1 и Г (ь,) /=1 Г (а,) «'(*//, « /„..., / — ь,) ' ВТФ1215(1) з ~в 4 2 ' 4 2 1 1 1 1 1 — + — лгл» вЂ” — гн «лв в — — лгл 2 2 '2 2 '2 ' 2 1 2В )ь"хе2 4р ив 9.
гв«й, и/ (Х) = = — 624 ргьл 4 ВТФ 1 221 (70) 9.4 Ж-ФУНКЦИЯ )ИАК-РОБЕРТА 9.41 Представление с помощью кратных интегралов Г 1а,.л) ~(Рв Нг ~7/ 6а'Х) влв( )в/( ) влв( )Х а ов Р-ь)-1 ео хП «) лвв " '~л+л„/ вв н„П «)ь /в«"/2' «' в «х л — 1 Е з о ва Таолииы интегралов х~в 'л, (л-'; "'„",~'" л' ) "+ ел, о 0агдх! < лл, р>д+ 1, аг и ))а ограничены условием сходимости интегралов в правой части). ВТФ12()4(Э) 9 в Дзетл-Фчнкпии РимАКА ~ (" д) ~ (т1 ФУнкйии Ф О, и ю) и с (л) 1087 (»» 5 ~(х)= — — + ~ ~ — +»х~ я1п(хагс»я2») ~~-1 х — 1 2~ — 1,') ~, А .3 е»» — 1 О УВ1162 См также 3.411 1, 3.523 1., 3.527 1, 3, 4.271 8 9.52 Представление в виде рида или бесконечно»о произведении 9.521 УВ 11 44 УВ11 49 1 $ 3.
((х,д)= «„(+ р«(х)~ «=А' (1 — З) (м+ 7) 1 «+1 1»' 1 1 '1 1 (' (» — ) ю»» 1 — х ~, («+1+ Ч) 1 (и+у)~ ' / (в+1+в)- ] (»+«)~+1 [Ве х > 1, Л~ — натуральное число]. УВ И 55 9.522 ( (х)=- Х вЂ”, [1(ех) 11- УВ11 44 «=1 2 ~(х)=1 ~1 ~~ ( — 1) ' — [Вех- 0]. «=1 УВ11 46 9.523 Умножение и суммирование производятся по всем про- стым числам р. « «=1 9 524 ~Р ~(х) > И А=1 1де Ь (й) = О, когда й ие есть степень простого числа, и Л (й) = 1в р, когда й — степень простого числа р [Вез > 1] УВ 11 63 9. 53 Функциональные еоотно»венин В„+х (М * 9.531 ~( — п, д) = — ( ~п — натуральное число или нуль).
УВ11 47 1 1 (х, д)=,) [Вех > Ц. =с ОЪ 2Г(1 — х) (»Я ч-1 со,2кд« «=1 хя ~~ з1п 2ят«1 +с~в ~,~, «=1 [Вез > О] УВ 11 53 УВ 11 63 1088 з — з спвцилльныв пункции ЮФ й=з (+ч) ч И 1<ч1 УВП59 1 (з — 11 Г1 — +1) 9.537 Пусть з= — +й; тогда Я(1) = ~(х) =Е( — г) 2 рЫ есть четная относительно 8 функции, имеющая действигельные коэффициенты в разложении по степеням гз. НЭ 368 9.54 Особые точки и нули 9.541 1 г= 1 явпяется единственной особой точкой функции Г(з, д) УВ П 4Ь 2. Функция ~ х) имеет простые пули в точках — 2в, где и — натуральное число Все остальные нули функции ~(х) лев ат в полосе 0~.Пех(1 3.
Гипотеза Римана и,е нули функция ~(з), лежатпие в полосе 1 0<Вех~1, лежат на прямой Кех= — Доказано, что на зтои прямоп 2 лежит бесчисленное множество вулси дзега функции УВП 53 9.542 Частные значения. 31Й 1 ЛП3 УВ 11 49 2 а(1 2 ) — ва 3. ~( — 2гя) = 0 4 Г(0)= — 1 1и2 . (ги — натуральное число]. УВ 1147 УВ 11 47 УВП52 1. цш — — — !.
ь(г д) ~ Г(1 — з~ 1 1 2. 11ш ~,~ (х, д) — - — 1 = - ч~ (~у). з — 1 1 ГИ Ъ ! 3. ~ — ~(х, о)) = 1п Г(д1 — — 1в 2л ~аз к=в 2 9.534 ~(х, 11 = ~(х). 9.535 1. ~(х) - — ~(х, — ~ (Вех >11. 2. 2 Г(1 — х) ~(1 — х) 0лп 2 = и ~(х). 3. 2з Г(х) ~(х) сов — и'Ц1 — х). 1 з — 1 4. Г(-)й ~(и'=Г( — ) г к1 — з. зггз ~т(~<,~- ',)=с.
УВП4Ь УВИ51 УВ 11 52 УВ 11 46 УВ 11 57 УВ 1149 УВИ49 З З давтА-Функций РИМЛНА г (г, д) г (х), ФуНКцИИ Ф (ю, 8, э) И $ (э) 1089 9.55 Функция Ф (л, н, з)) Функциональные соотношения ().551 Ф(г, з, о) = г'вФ (г, з, т+а)+,~, '(о+и) 'г" н о [т=1,2,3,, ()ФО, — 1, — 2, . ] ВТФ127(2) 9.552 Ф(г, з, и) = гг (2л)* г Г(1 — з)[е 2Ф(е-2н(', 1 — з, — )— ( 2 )Ф (зъ~п> 1 з ею ./ ВТФ 1 29 (7) Представление в виде ряда 9.553 Ф(г, з, ())= г 'Г(1 — з),)~ ( — 1пг+2яи))' г езн [ОС()<1, Вез(0, )аг8( — )пг+2жи()~ <л] ВТФ128(6) 9.554 Ф(г, т, ())=г "ф ~(т — и, и) —,+ (1п х)" з~:о + (1йг)„1[1( ), Ф 1 С1,Ч1Г [т=-2 3 4,, [1пг[(2я, ()чь О, — 1, — 2, . ° .].
ВТФ130(9) т=е [[)пг[(2л] 9 555 БТФ 1 30 (11) Интегральные представления 1 Р (в те"' 1 г Рте'~)ясй Ф (2, з, о) = — ~ — оМ = — ~ Г(в) „1 — юе ( Г(а) з е( — а О (1 5гб [йе() ) О, либо )2~<1, гФ 1, Вез) О, либо г= 1 Нее) Ц. ВТ(() 1 ~7 (3', ") Штрих у анака ~~ означает, что член для л=щ — 1 опущен 9.550 О и р е д е л е н и е. Ф(г, з, о) = ~~~ ~(о+и) 'г" — о [! г ~ ( 1, о-й О, 1, ]. ВТФ127(1) 8 — о, спкциальнык а>ункции Предельные соотношения 9.557 11ш(1 — з)' 'Ф(з, е, о) = Г(1 — е) [Нее < 1]. ВТФ130(12) е-~1 Ф!е,, о) ,', — ! (1 —.)= .
ВТФ 1 ЗГ (13) Связь с гипергеометрической функцией 9559 Ф(з, 1, п)=о ' Р,(1, о; 1+о; г) (~г~ < 11. ВТФ 1 30 (10) 9.56 Функция ф(в) 9.562 Б (1 — г) = В (е). 9.6 ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ, ЧИСЛА ЗЙЛЕРА, ФУНКЦИИ )) (х), т (х, а), )! (х, Р), 1! (х, ~3, а), Х (х, у) 9.61 Числа Бернулли !)) 9.610 Числа В, являющиеся козффициентами при —, в разложении функции е ез п=о называются числами Бернулли.
Таким образом, функция, является ! ее — 1 производя)цей функцией для чисел Бернулли. Ге 48(57), Ф11520 9.611 Интегральные представления СО ). е =! — 1)" 4и ~ )* )~р ипй 34)1 2.,4.). ФП)21 о См. также 3.523 2,, 4.271 3, Свойства и функпиональные соотпоптения 9.612 Рекурреятиая формула (символическая запись): В" = (В + 1)"; Во —  — 1. Ге 49 (60) Для вычисления следует все степени после развертывания бинома в пра))ои г. в,. = < — ))"- . ~ ~ е*. о 3. В „=( — 1)" 1 ( ) ~ хз" з1в(1 — е — з ')е(х 2)) 1 — 2л о ВТФ 1П 190 (10) ВТФ Н1 190(11) 3 — 9 спепиАльные Фъ'нкпин 9.623 Функциональные соотношения и свойства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
