Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 88
Текст из файла (страница 88)
= — !в в!и †, — !л [ 1 + е1н за=1 е СО 1 1+ в)п —. 2. ~~) ', — Р (сов О~ = 1и — 1. 2 д(! В О м= 3 Яй 1. 2;- ). 1 ( — 1)в (4а+ 1) ((2в — 1)()]~ 4И 2ьи (в!)ь Р „(сов ) = —,— 1. и=1 8.93 Мыогочлеыы Сф ® 11'егенбаузра) А (9062,2/ А (9062. 3) а — Е. СПИНИАЛЬНЫЗ >1>л НКНИИ 8.931 Интегральное аредставление: г 2Э, +1 о См.
также 3.25211., 3.6632 „3.6644 МО 99 Функциональные соотношения 8.932 Выражения черен гинергеометрическую функцию: С„(1) = Г(2Х+л),а 1 1 — 1 ~ «т л Г!л+1]Г(2Л1 ~ ' ' Я ' в ) КСи+и, — и; Л+ — -, — ) ~1; Р'Г1Х+л) л >' л 1 — и 1 ъ г"Р~ — —, — 1 — Л вЂ” и; — ~, а! Г[Л1 ~, 2 ' Р.) %+.) В(Л, л+1) 8.933 Рекуррентпые формулы: 1. (и-+2) С» ~а(1»= 2(Л+ и+ 1)1С~„Ь1(1) — (2Л+и) С~(1).
2. иС"„(1) 2Л ( 1С~'1 (Ф) — С~ в Щ]. 3. (2Л+и) С"„<1 =2Л(С"„+' (1) — 1С~+1 ~(1)~. 4. иС~ (1) =,2Л+и — 1) 1С 1(1) — 2Л(1 — Ю') С~ а(Ю). 8.934 МО 97 МО 99 МО 99 МО 98 УВ 11 128 УВ 11128 УВ 11 128 Г 2Л Г ~ "+'~ 1 Г (2Л1 Г ~ + л) УВ П 127 ИД >Г(Л))» », >-е »+1=>а 3. С» 1сов тр сов тт+ в1н ~(> вш д сов >р) = 1 Х С +» (сов 1у) С~~» (сов б) С» ' (сов тр1 11 ф, о, <р действительны; Л ~ -~ )етеореиа сложения«) (см. такн1е 8.704 — 8.796) УВ 11136 и 4 11ш $ (Л) С>> (сов ч>а ~ ° МО 98 »-Н> Ортогональность см.
8.904, 7.313. «) Это равенство служит лле онределоаия обобщенных функций С)л (с)> у которы* нпдокс л монсет быть аообым «лалом. 1О45 В 9 ОРтогональнь1н нолиномы 8.935 Производные. 1 Ф СА(1) 2 г(л+1) С„+й(О г® 8 частности, 4$с„(11 „1 2 — ", = 2ЛС„~~ г). УВ11 128 Интегралы от мнет очленов С„"(х) см.
7.31 — 7.33. 8.936 Связь с друтими функциями. 1 А "+ 2 МО 98 С +-(1) ' ~ РиМ) (2т 1>Н Цт (1 — Р) 2 т$2т и1 ) г2т) ! ~т+ 1 — натуральное число). МО 98, УЫ И 127 3 С2 (1) = Р„(1). — А+в 4. ~ 1 (г згя 6 ип а)(т згн б Я1п Я) 2 6 — и'сю е ст а 2 1 Ь (Л+й) г(Л) в~2.+ 1')са("'о)с~(со г1 М099 -У'г(„,1)„" ',~сф,1) и М099и См. также 8.932. 8.937 Частные случаи и частные значения: 1. С' (соз <р) = яз ~р 2 С',(сезар) =1.
3 С.(1)са1 МО 99 МО 98 МО 98 4. Сз(1) =( „) . МО 98 8.938 Дифференциальное уравнение, приводящее к мнозочленам С~~(8): у" + (,+ у' — (, + "~ у=0 (сравни 9 174). УВ 11127 Ряды произведений бесселевых функций и многочленов С~ (х см. 8.532, 8.534. 8 — 9. сницнАльныя Фъ'нкции 8.94 Полиномы Чебышева Х„(ж) и 1У (ж) 2. Полиномы Чебьппева 2-го рода: юа [(В.+1) А$сс05 х) УВ У (х)— 81а х ((х [- ЕУ~--х1)"" (х 1)~'1 х2) .1~ 21 )~ 1 — х1 =( 1 ) -( з )х (1 — х~)+( )х" '11 — х~)~— Функ)(йснальные соотношения 8.941 Рекуррентные формулы: 1. 7„,'х) — 2хТ„(х +Т„(х) =О.
2. П „(х)-2хб' (х)+0„,(х1=0. 3. Т„(х) = 0„(х) — х0„, (х). 4. (1 — х~) 0„1(х) =хТ„(х) — Т„, (х). Ортогональность см. 7.343, 8.904. 8.942 Связь с другими функциямн: 1 1 — х~ 1, Т„~х)=Р(п, — и; 1 2. Т (х) =( — 1)" з „„,(1 ха) 2 На 358 ВТФ П 184(3) ВТФ П 184 (4) МО 104 МО 104 ВТФ П 185 (15) 1 и+— )/1 хв(2п [ 1)0 Их" См.
также 8.962 3. 8.943 Частные случаи: 1. Т (х)=1. . 2. Т,(х)=х. 3. Т, ',х) = 2х' — 1. 4. Та (х) = 4х' — Зх. 5. Т, (х) = 8х' — 8х'+ 1. б. Т~ (х) = 16ха — 20хс -[ 5х. 8.944 Частные значения; Т„(Ц =1. 7. Ус(х) = 1. 8. У,(х) =2х. 9. ЕУ, (х) = — 4х' — 1 10. У (х) = 8хх — 4х 11. У„(х) = 16х4 — 12х~+ 1.
2. Т„( — 1) =( 1) . 8.940 Определение 1 Полипомы Чебьнпева 1-го рода: Т (х) = сов (и агссоз х) = —, [(х + 1 )l 1 — х~) -[- (х — 1 ф~ 1 — х~) ~ = =х" — ( )х" '(1 — х )+( )х" '(1 — х')' — ~ )х" '(1-ха)а+... Нзбб, Ца71 1047 э.э овтогонАльчые полиномы 3. Т „(О) =( — 1)". 5 4. Т,(О)=0 6. 8.945 Производящая функция: ,, =Т (х)+2 ~ а=~ Тз (х) 1'. МО 164 8.947 Функции Т„(х) н )~~ — хх Н„, (х) являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнония (1 х ! — — х — +и у=О. л,Ы Ц й~ф сЬ* Нх 8.948 Из всех многочленов степени со старшим коэффициентом, равным 1, наименее уклоняется от нуля на отрезке ( — 1, +1) мпогочлея 2 "'Т„(х).
На 63 8.95 Лолипомы ')рмита .Н (ж) 8.950 О и р е д е л е н и е. 1. Н (х) = ( — 1)" е"' — (е-"') См 111 567 (14) или 2, Н (х)=2"х"-2" ' l "~х" '+2 з 1 ° 3 ~ )кл 4— ~. 4 ./ ! — 2"*1-3-5 ~ "~х '+... 6 / М0105и 8.951 Интегральное представление: Н (х) = = (х+ й)л е-" й.
л МО 106 и Функциональные соотношения 8.952 Рекуррентные формулы: 2. Н„., (х 2хН„(х) — 2иН„,(х) Ортогональность см. 7.374 1., 8.904. См 111 569 (22) См 111 570 (23) 8.953 Связь с другими функциями: 1. Н,(х) =( — 1) Ф вЂ” и, —,; х2 л (2л)! Г л! 2. Н,„, (х)=( — 1)" 2 хФ~ — л, —; х'). (2л+ 1)~ / 3 МО 106 и МО 106 и ОО 2 ',= ~ Е!~(х) й". МО 104 и, ВТФ11 186(31) а-о 8.946 Нули Полиномы Тл,х) и Н„~х) имеют только деиствятельные п р о с т ы е н у л и; все этв нули лежат в промежутке ( — 1, + 1 .
На73 1049 а.э огтогональныи полиномы 8.958 «Теорема слоя~енияк [ ~~ а ) ~ аааа ~1+'и«+ "( ~г МО 106 и 2. Частный случай: а в 22 и (* .~- р) = т, ( " ) и„ , (~ 7 2) /1, (р у 2 1 «-о мо 107 0 8.959 Полиномы Зрмита удовлетворятот дифференциальному уравнению: См И1 566 (9) вторым решением етого дифференциального уравнения служат функции: 2.
и,„=( — 1)" АхФ~ — — и; —; х 3. «а,=( — 1) ВФ ~ — —.-п; —,; х ~~ а / ~ 4, 3~ ы ' т Ф [А и  — нроиевольные постоянные]. МО 107 8.96 Болиномы Якоби ВТФ 11 169 (2) 8.961 Функциональные соотношения: Р„' '~~( — х)=( — 1)"Р® ~( ). 2. 2(п+ 1) (и+ а+ р+ 1) (2п+ а [-р) Р~„"+[(~(х) = =(2п+а+9+1)[(2п+а-(-6)(2п (-а+р-(-2)х+ૠ— 62] Р'„"'а'(х)- — 2(п+ а) (и+ [1((2п-(-а+ 6 + 2) Р'„"'7'(х). ВТФ П 169(11) 3. '2п -(- а+ [1) (1 — х') — Р„'" а'(х) = = и [(а — [1) — (2п+ а+ [1) х] Р~™(х) + +2(п+а'(и+ р' Р'„'~'(х). «х, а) ( 1 Г (а+ки+а+р+() р(Ф+~й, в+за)( ) 4 — ~~Р„' (х)~[ — а Г „+ р+1 [т=1, 2, ..., и]. ВТФ11170(17) ВТФ 11 170 ( 15) 8.960 Определение.
Р~ а (х) ( (~" (1 х) (1+х) (( [(1 х) + (1+ х)а-(- „. ВТФП169(10ь КГЗЗи 1050 Π— О СКБЦИАЛЬНЫИ ФЪ ЫКНИИ 5. ~и+ — и+ — Р+ 1)(1 — х)Ръ„~~' О1(х) = = (и+ а»- 1] Р„'"'в'(й) -(и+ 1) Рф',"' ~х). 6. ~и+ — а+ — ))+1~(1+х! Рч ~~ ~(х)= =(и+ р+ 1) Р'„"'"'(х)+(и+ 1) Р' '~>( ) (1 — х)Рса+1.З>(х)+,1+х Р~а'З+~'(х)=2Р(а.)и( ) ВТФ 11 173('2) ВТФ 11 173 (33) БТФ Ц 173 (34) 8.
(2и+ и-)- ()) Р'„"' ' "'(х) (и+ а+ ))) Р~ ' ")!х) — (и+ 6) Р',",'3" (х). ВТФ П 173(35) 9. (2п+а+ 6) Р~~' ~ ~(х~ =(и+и+ Д)Р~ '~~(х)+(и+и)Р' '1" (х). ЬТФ П 173(36) ВТЭ П 173 (37) Г (и+1+а) / п)Г11+а) ~ + +) Г (п+1+-а) 1+х Г( +1+Я), х — 1У и! Г [1)-))) 1 2 / Р ~ и' 2 Р„(х1 = Р1О.
О) (х) КГ83 а, ВТФ11 179(3) 1 $Ъ 2Оп (п))О ( 7 З/ 12п)1 г< -гг )г( -г —,) ( „1) 4. С„(х) — Р„(х). МО 108 и, ВТФ 11 174 (4) Г(2ч) Г и+ ч+ —,) 8.963 11роизводящая функция." КГ83 и, ВТФ11 184(5) и ~~"„Р'„"' "'(х) г" = 2~~~гг 1(1 — г+.п) ~'1+ з+г1) ~, -О В )/1 — 2хг+зз ~ ~в ~ ( 1). ВТФ11172(29) 8.964 Полиномы Якоби оредставлжот единственное целое рациональное решение дифференциального (гинергеометрического) уравнения.
(1 — х~) У + 1Р— и — (а+ $3+ 2) х] у' + п (и+ и+ ф+ 1) у = О. ВТФ 11 169 (14) Р1 В- ~( ) < 1 В)(х) Р1 З)(х) 8.962 Связь с другими функциями: г. Р~'г'(х)=' ~ ~ г(~.~- .г1 п) Г <1+))) +1, — и:1+р; +); КГ 83 и, ВТФ 11 170 (16) — п; 1+а; 1 — х~. ВТФ 11 170 (16 х — 1~ч, — и — р; а+1; -+ 1) ВТФП 170 (16) — и-а; р+1; — ) . . х+1'~ ' х — 1г)' ВТФ П 170 (16) )054 8 9 спкцилльнык Фътнкции 9.102 Исключая указанные значения параметров и, [1, у, гипергеометрический ряд сходится в единичном круге [х~~ 1 Прн этом имеют место следующие условия сходимости: 1 1 > Ве (а+ Д вЂ” у) > О Ряд сходится во всем единичном круге, исключая точку г= 1 2.
Ве(а+6 — у) < О. Ряд сходится (абсолютно~ во всем единичном круге, включая точку в=1. 3. Ке(и+[) — '))~1. Ряд сходится во всем однннчном круге, исключая точки г= 1 и г = — 1 Ф11410, УВ1134, УВ1176 9 11 Интегральные представления [Веу>йер>0] Р(р, и-)-р; л+1; гг)= 2 иВ(р, и) 9.112 [и=О, 1, 2, ...; Йер> О~. ВТФ181(10), М016 зн р ( [)' ' ) Г(у) ~ ) 1 ( +~)1 (е+~)~ ( О( ) (Д г(~) г(6) Ж Г (у-~-г) причем ~агн( — г)[ < я н путь интегрирования выбран так, чтобы полюсы функций Г (а+ г), Г (р+ Ф) лежали слева от пути, а полюсы функпин Г ~ — г— справа от него. УВ11 71 — 72 г' — т, — —; 1 — —; — '1) — ™ Р+™. Р+~й.. ~ ( — 2)"~(р+щ) г сов <р сов рф Йр 2 ' 5)ярк [т + 1 †натуральн число; р чь О, )- 1, ...).
ВТФ180(8), М016 См. также 3.194 1, 2., 5., 3 196 1., 3 197 б., 9., 3.259 3., 3.312 3., 3.5184.— 6., 3.6652, 3.6711., 2., 3.681 1., 3.9847. 9.12 Представление элементарных функций с помощью гипергеометряческой функции 9.121 1. г'( — л, р; Га 127 П1 и Га 127 1У г — 2 3 гг ~ (г ~--г) — (г — г)" э 2 2 ~ г / — 2 в — г 2. г" ~ — —. 3. ВшГ 4 р( — 1 — в) = ( 1+ г)" [р произвольно) ВТФ1101(4), Га 1271и л — Ъ 1 гг ~ (г+ г)в+ (г — г)г 2'2'гг~ 2гй Га 127 П 1055 5 6 7 8 Га 127 У Га 127 У1 Га 127 У11 =1+я+ — 11шР 1, й; зз 2 4йЫ 3; )=...=е. Га 127 У111 Га 127 1Х = С11 г. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
