Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 70
Текст из файла (страница 70)
40 З ~ *- Р$ (1+е) И„(*+,) З*- 1 =аз 22" ' соя()зз2)Г ()2+ У+ — ) Г (р,— У+ — ) зЙ( з (2а) 2 'У '((ееЗ (<е, П Е >)Ие .(. 1)). ИППЗТЗ(11) 00 ! ) 4 1 1 (е-)-е) ~*Р" ( — )А;(е-)- )З = о 2 1 = у' ~ а 2 Г()2, 2а) [а>О„ке)2< Ц. ипп374(12) СО 2 ~ (еьх)п+' (сЬх) Р,"(сЬ(2х)] 1 ( (а несших) Нх = о 2 )З вЂ”вЂ” ' 2 2 Г (р.— У) Г (р,+ч+1) + н ЗЗ2а 21Г ()а+1))З [Ке )з > Ке У, Ке )2 > — Ке У вЂ” 1]. ИП П 378 (44) 7Л9 )Паровые функции и функции, родствснныс цилиндрическим 7Л91 00 $ $ — — — — 0 Зе+— 1. ~ х (х — а ), Р„(222а — 1) 1НЗ((х) — з'„(х)] (Зх = 0 $ =З '-'ее ее~4(ге)еее(ее)1'()З,( —,' )) — ')4.(-,' )) ) ] — 1 < Не)з < О, Ке У < —,~.
ИП П 384(6) 00 1. ](е+*)" е- Р,~(14- — )Х„( )Зе 0 'о 1 1 1 — — < Ке)2< О, — — +Ко)з< Ке < — — — Ке)21. ИПП368(18) 832 6 — ~. опикдклкнныг инткгрАлы от спкциАльных эуннпиа со 1 1 1 $ †††-» »+~ 2. ~ х (ха — а~) Р„(2хеа е — 1) Р' — » (х) — й; (х)1 сЬ = а 1 =2 ' 'я~асовео(2ря)сок(~м) ~~,1» Ьа~1 Г~ "(2 а) ) ) ~ — 1<Вер<О, К < — ~. ИИИ385(15) 7.192 1 1 1 2 ~» —,~» — ы-й1 -(и-~+й 1. ~ хе (1 — т~) Р~ ~ (х) Я„(ах) кЬ = о т х ~У~(~ а)Л вЂ” —,(и-»+1 (уа) ~»( ~~ а) ~ — — (и-+и( у а)~ (Ке(п — ч) < О, а > О, ~ Не(р+ ъ) ! < 1, Не(ул Зч) < 1) ИИ И 387 (24) и »» 1 1 2 ~ ~(я — ц РЪ(~)я (ш )ш $ е Й~ В- (б + 1) (»Р ~) ,(а) ! м — Ь+~.
+-.,' а 1' ( —.— ) Вер < 1, а >О, Ве1р.~-~ — Р) < — —, Не(р-~ — Р) < ~ ~. 1 11 ИИ И 387 (25) и 7.193 СО 4 $ 1 — — — Ч» —— 1 ~ х (хе — 1)» е Р, ~, (2х* — 1)Я (ах)Дх= — ф — » $ е 2 ~р — »» — 2 2Г /3» — р — 1) ("- ~ И7 а(ае ~) РКа О(ае ); 1 1 д = —. (р+ 1 — м) о = м —— 2 2 ~Ве(р,— ») < О, а > О, Ке ч < —, Ве(3»-р) > 1 ). ИПИ 387(27)ц 00 ! 2. ~ х(х~ — 1) е Р~„(2х~ — 1)Яр»(ах)дх= 1 'г (" "+' ~-а) г (.':.Й - ~) — )» ) е-~+4 2$,+Ф (а) [Ве ч < 1, а > О, Не (р, — м+ Л) < — 1, Ве ф — ю+ Л) < О).
ИИ И 387 (26) и 834 6 — 7 ОпРеделенные интеРРАль1 От сцециАльных юункции В. ) ха Ь(хх)Г(»(-(х) Г (» — (х)Р», ( — аа»О)Н) '(а)Н)х(!)Их= О 2 ! ! 1 т-2 аа О 2 = 1(272) (21в 6) ( —. ) Н~, ~(В); В = (а2+ 62 — 2а6 сов 9) [а > О, 6 > О, О < О < 72, Ве м > 0]. ИП [1 381 (18) х»2 ! 4. х 21) (Втх) Г(Х+ 2х) Г (Х вЂ” 1х) К „(а) КВ„(6) Р21 (р) дх = 1 1 н ~х~ь')А (р2 1)2 4 К ( ) 2- 2+ 62+ 2 )а'7 2,2~ [ ) агу а [ < —, [ ате ф — 1) [ < Вт, йе Х > О ~ .
ИП П 177 (16) 7.22 Полиномы Лежандра, рациональные и алгебраические функции 2, Ра (х) Р, (х) Г1т = — [и = и]; 1 =О [ц — и четное, и Ф п]; — (»»а+»2 — ! ) ( — 1)2 нВ)!и! 2(22'») ' О — н2)(п+)22+1) [ ( —,' )1( )~ ] [и — четное, и — нечетное] УВ П96 В. [ Р (ю~»)Х»=22 [( ) 2 МО 70, 2)ТФ11 183(50) 7. 222 1 1. ~ хОВР„(х)с1х = О 1 [и < и], 2'"""»2 1(т+ и) )12 2. [( +*) ' (*) (*) =( 1О,(2 (2„(1)1 В, ](1+„).-"-Р.()Р„(*)а*=о ( ° > ). ИП П 277(15) ИП П 278(16) 7. 221 ! 1. ] Р„(.)Р (~)Ш=О (~Х ! — [и = и].] УВ П 94, ВТФ1170(8,10) т.! — т.ъ шАРОвык Фъ ннпии УВП 129 7.223 УВ П 131 7.224 [ъ принадлежит комплексной плоскости с разраюм вдоль интервала от — 1 до +1].
(ъ — х) ъ Р„(х) съх = 2(?„(ъ). ' ИП П 277 (7) х (ъ — х) ' Ро (х) а(х = 2(? ! (ъ). ИП П 277 (8) ИП П 277 (9) ИП П 277(10) и [т<п]. ИПП278(18) н ИП П 278 (19) [т < и]. ИП П 278(21) ИП П 278 (20) 8 7.225 1 2 ~ (1 — хъ)"Р (х) Ых „+ ~ (1 — хъ)" ' Р „ (х) Ых — ! — 1 [т < и]. УВП 102 — — 2.+; х'Р хР хсЬ в (а+ 1) '"+! ( ) "-! ( ) (2л — 1) (2! +!)(2а+3) е ]Р (х) Р (ъ) Р (х) Р (ъ)) аЬ вЂ” ! 2"'! (а!)! х"'!(ъ-х) ~Р„(х)сЬ=2ъ "Д (ъ)— (2а+ 1)! — 1 х (ъ — х) ' Р„(х) !Ь = 2ъ~Д„(ъ) [т -! ! ~ [! — ! Р !~! ! ! )!Ь=ЗР (~)(Э (2! ~ (ъ — х) 'Р„(х) Р„.ъ(х) сЬ=2Р,,(ъ) Д„(ъ) — „ ~ х (ъ — х) ъ Р (х) Р„ (х) сЬ =2ъР (ъ)()„ (ъ) — ! ~ х(ъ —.) [Р. (х)]' Ь=2ъР.
(ъ) О. (ъ)--;„+,- А 1 ! ~,( — () ~Р„Р) Ю =(и + ~ ~~ (1+х) [Т„(.,)+Т„„( )]. -! ВТФ П 187 (43) ! ! ~ (ъ — х) 'Р. (() й= (и+ —.') '(1 — х) '[Т„(х) — Т„„(х)]. :! ВТФ П 187 (44) 6 — 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ П НТЕГ)РАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУЫКЦИЙ 1 1 2. [ (( — р) Р (2)Р~ 22 в 2л+1 ' — 1 1 1 4. ~ (с(! 2Р— х) Р„(х) Их =, ехР [ — (2п+ 1) Р~ [Р > 012 УВ П 9() Е У"2 В'1"Ф П 183 (4()) 7.226 Г Я+-)Т [(~-") '~..(*)~=[ ИП П 276(4) ! ! 2.
[ ((.р р,') ер (м) рр = ( — р)'"((.р р) — ! [~ р! <. 11. МО 71 1 1 х(а2+х6) 'р (1 2х6) 4)х — ('+("+ )') '" ' в 2л+! Ч [йе а > 0), ИП П 278 (23) 7.227 7.23 Пелиномь1 Лежандра и степенная функция 7.231 ( 1) Г( рл — —,Х) Г ( ~+ —,Х) [..р ( ),,( Ф „) [йе р(. > — 11. ( — !') Г ( т+ Š— ~ )() Г ( (+ ~ Х) 2. („* Р,„.,(~)И [Ке Х > — 21. ВГ(1211 183(52) 4.232 ! 1.
1 (1- )' ' Р ( ) Р„(. )6(х = ! )' Г (л) Г(л — и+ 1) 4 6( ш( п?+ 1 и. л'. 1 рр+и+ 1, (2 и 1) [йеа > (']. ИП П 278(17) 2. ~ х (1 — х2) Р „(х)(1х —, ' ~~, . ИП П 276(5) — ! 837 7 1 — 7.2 ШАРО)) ЫГ. ФУ11КЦИИ (1 — )' ' (1 -(- «)' ' Р„(«) «« 2О«(е 1Г(а) Г (ь) г( ь о~7( — и, 1+и, а; 1, а+д; 1) [Ве а > О, Ве д > О]. о [Ве]с > О]. ИП П 276 (6) ИП П 100(37) сс х2и — )р (1 — 2х') сЮт= ( ) 1 ((с)] 2Г (]с+и) Г (а — и) о [Ве]4 > О]. ИП П 278(22) 7.24. Полиномы Лежандра и другие влементарные функции ИП 1171 (2) О« — ь— Р (а-х) Р— ах с(х (а — 1) (а — 2) ... (а — и+1) (а+и) (а+и — 2) ... (а — и+2) о [и > 2, Ве а > 0].
ИП 1171 (3) ОО ~ Р п(сЬх) е а" с]х— о (ах — 1О) (аа — Зх) ... (ах — (2в — 1)х] а (ах .— 2х) (ах — 4х) ... /ах — (2и)х] [Веа > 2л]. ИП 1171(6) ~ Р~ ~.1(с]1х) е "с]х а а (ах — 2х) (ах — 4х) ... [ах — (2в)х] (а* — 1) (ах — Зх)... ]ах — (2в+1)х] [Ве а > 2и+ 1]. ИП 1 171 (7) ОО Р „(сов х) а- с]х (а«+1«) (ах -]-3х) ... !ах+(2п — 1)х] а (а1+2х) (ах+4о) ... ]аь+(2и)а][ [Ве а > 0]. ИП 1 171 (4) ~ (1 — х)" ' х' ' Р„(1 — ),х) (1х = о Г ((с) Г (ю), 1 — ар, ( — ~, и+1, ~; 1,)с+~; — е] [Ве р, ) О, Ве ч ) О]. ИП П 100 (38) 7 ! — 7Л ШАРОВЫВ ~РУНКЦИИ ! Р„(х) ад седы х ах = О -1 [и — четное]; 7.249 = и, [и — нечетное].
УВ П 129 (и — 2)И о Г+д) 7.2Ь Полиноиы Лежандра и цилиндрические фрикции 7.251 1 ~ хР„(1 — 2х') У (ху) 11х = дд"д у д [Яо„, (у) + 7дЛГ „(у)] о [п 0,1, ...;у>0, ю>0]. ИПП108(1) ~ хР„(1 — 2х') Ко(ху) Их= у ' ~( — 1)" 'Ко„,д (у)-+ ~ Яи„д (Еу) ~ о [у > О]. ИП П 134(1) хР„(1 — 2х*) У (ху) 11х=у 'У,„., (у) [у>О].
ИПП13(Ц 1 4 хР„(1 — 2х') [Уо (ах)]~ дх =, ([У„(а)] + [У, (а)]о». ИП И 338(39) ! ~ хР„(1 — 2то) !„~ах) ЛГо (ат) дх = о $ + [У„(а)Л„(а)+У„, (а)У„. (а)]. ИП П 339 (48) и 1 ~ хе — ' Р„(2х' — 1)У (ах)1Ь= о 1'дм+д) Г~ —,дд+, У+а+1» Г ~ — + — м — и) ~. г ~2 2 м,Г ( — —. м-(-1 — +и-+1 — -и Г~+' д + р+" дд+у ао' з (. 1 ъ 2 3 4 [а > О, Ке(»в+ У) > О]. ИП П 337 (32) и 1 ~ ххР„(1 — 2хо) У (ху) Их у д(2п+ Я д [(и 4- 1) У, (у)— о — пУ,„Щ ду > О].
ПП П 20 (23) 840 7.311 ИИ И 280 (1) »вЂ” хн+2о (1 хо) 2 С„'(х) с(х = о 2"+~ Г (2») Г (2ц+1) и! Г (о+»+-а+1) [ 1 1 1 Бед> — — Нем> — — ~ . Ф 2! ИИ П 28() (2) (1 — х) (1 + х) С» (х) ах = — $ ИП и г8О(3) (1. — х) (1+х)('С„" (х) сЬ= — 1 7.252 7.253 е — ь опгждвлмнныж интигрллы от спицилльных фюнкций Р (1 — 2*)~о( ) 1х= —., 1Р„(а)+~„.,(а)] о [а > О]. ИП П 366 (11) и 2 вш (2х) Р„(соя 2х) 1 (а зш х) Нх = а ~,l а,„, (а). о 1 хР (1 — 2х') Ро (а; ) — Ьо (ах)] ~(х = ( — 1)" [1 ., (а) — Ь~., (а)1 о [а >О], ИП П385(14) и 7.3 — 7>4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛКНЫ 7.31. Многочлены Гегенбауэра С„"(ж) и етепенная функция ] о — **~" 'с.'<*>а*=о, [ >о, в. Г(2»+о) Г(2о+в+1) Г (»+ — ~ Г ~ Е-~- —.
) 2~ ~, 2) 3+ (-я 1 3 2 Г ф.(- ф Г ( ./.— ) Г <2 -~- ) Г (~ — -~ —.) 3 3 а) Г(2»)Г р — » — п+ —,) Г ( р+»+в+ —., 1 ~ Вер) — 1, Ке») — —, ) . 2~+Р+~ 1" (а+1) Г ф+1) Г (а+2») о1 Г (2») Г (а+р+2) 1 ХзР,( — п,п+2»,а+1;»+ †.,а+[)+2;1) [не а > — 1, Ве р > — 1]. ИП П 281 (4) 841 7 3 — 7 ! ОРТОГОНАльные мнОГОчлены 1 ! 1 [ [! 222 — (ч — ) !!! ~т~,.!1, Ке~[ ) — — ~ . 1 ИП П 281 (5) (1 — х') ' С'„(х) 1х = 2 ~ ~'[г — ~[' ! д — 2 222 ! 1 1 1 2~ — У вЂ” У вЂ”вЂ” 2 Г[Ч 7! 91 — 2У- и, Г 1у) Г (е + и+1) ~Кеч~ — —,~.
ИП П 281(6) 1 1 3. ~ (г-х) '(1-х') С,"„(х)С~(х)дх= а — 1 11 12 1 1 1 1 7!~2 (~ 2) ™ -У— Ч вЂ”вЂ” е ' (' — 1)' 'С" (г)0 ' !(г) 2 ~т~[2, Ке7! ИП 11 283 (17) 7.313 1 1 ~ [! — *'[ ~с'.[*>С[*1 ь-о — 1 ~л2 =,ь и, Ке ч > — — ~ . ИП П 282(12), М098и, ВТФ1177(16) 1 1 — 1 ~Ке ч) — —.~, ИП П281(8), М098и, ВТФ1177(17) 7.314 !! à —, Г (2ч+и) 2 Г 1 х 1 ~ (1 — х) (1+х) (Си(хЯ2сХх= ~Кем > — ~ . ИП П 281(9) 7.312 В нижеследующих интегралах г принадлежит комплексноп плоскости с разрезоя вдоль интервала действительной оси от — 1 до 1. 1 1 ч— 1. ~ х~ (г — х)' (1 — хг) 2С„(х) !1х = — ! 842 6 — 7 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИН»2ЕГРАЛЫ ОТ ОПЕЦИАЛЪНЫХ ФЪгННЦИЙ 2»»в Г, 1' 2 [Г(2м+и)Г Г [ 2и+ю-)- — ) ~ (1 — х) 2(1+х)2~ 1 [С" (х)12с[х— (и!)2 Г (2»») Г (З»г+2и+ —, [Ке ~г > 01. ИП И 282(10) 3 $ Зу+ 2и— Р 2 з.
[ Л-,~ 'Ц.г*> '~с:~ ц и- [ Г ( г г ) ] г (»»~ г» ) Г ~г~»2» г (3 .~ 2 ) 2» ' [ !Г ( ~- -» — )Ги~)] г(2 -г2».— ) [Йе~> ь' [ ИПП282(11) $ 4 ~ (1 — х) 2 (1 + х) 2 С' (х) С„ (х) сЬ = — $ 22 22 и»+"И2Г (2~-[- и) ш)(и-- и)! [Г (~»)]~ à — +м+ги) ~,2 !" м — +ги — и à —,— ~ +т — и г ( — — — ) г ( —,' -г ) [ Ке ъ ) — —,; п > и ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
