Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 61
Текст из файла (страница 61)
„] . ВТФ П 84(38) (х)0, — Вем<с<1]. ВТФ и 21 (М) — е+)ао 1 . 'бич+24 2 (2) г ( — — 4) г( — 4) ( — —, о) о = — 2~ъ ' )4„' (,) и а гкммл-вункцня и кодствкннык кй эвикции есо Г1 Г1 12. ~ Г(г) Г [ —,— г — т) Г( —.— г+т) (2г)'огг= [,2 ) ~,2 — еаэ 3 г $ = 2г нг М ге вес(тн) К„,(г) [~ ага г~ < —, 2т Ф ~1, ~ 3, ... ].
ВТФ И 84 (39) 1 — -+с ое 2 гз [ "' е *"се-се 'г ~ "' сг ~*>о]. гГ 11+в) 1 2х 2 МО 41 со:з Г1 -1 а1ГО1+-а)Г( г (у+.) =2ж ~ ) ~ гт(а,р;у;г) Г (т) б+зсо Г(ее~ — а11 1 — а1( )а 1 2™Г(сс) р Г(у+а) ' Г® Ь вЂ” со> [ — ~ <ат~( — г)< 2, 0>о> — Веа, уФО, 1,2, . 1' ВТФ1256(4) г' сЬ = 2гигл [2н 'Кв (4гв) — Л'в (4г')] [г > 0]. ИП И 303(33) 1 'с Г (Ь ~к —.+ —, 1 Г1 1,— к —.+ —,~ 2,) 17 Г 11,— » — -+11 с =2рссг~г г'В» е(г) ~ВеХ > )Ве)в~ — —, ~атяг) < —, ] . ИП И 302(30) 1' Г (» — Х+а1 Г Х+1а — г+ — ) 18 г (е-е-г*-г —,) г(е~-е~ е) =2яа, г»е гМ» и(г) ГЦ+11 [йе(е — х)>о, Ве(х-ге)> — —, $ыс*$< — Д.
нпг!302(агг 43 таблицы интегралов [ага ( — г) " я, путь интегрирования должен отделять полюсы подынтогральнои функции в г очках г = О, 1, 2, 3, ... от полюсов г — — и — п и г=- — р — л (в=О, 1, 2, ...)]. В ГФ 1 62 (15) 674 с — ~ онгкдклиннын интиггллы от сннцнАльных вкннцни ОФ ~ е-"" а Г (1+х) МХд 39, ВТФ П1 222 (16) Нх Г (х+()+ $) МХд 39, ВТФП1 222 (16) хзи Г(„+„~* -— Р(-", ) МХл 3~) ВТФ П1 222 (17) [Ве и > — 1] е-х" сЬ=е"х)х(а ", па, и). МХд 39, ВТФ П1222(17) Г (х+и+ 1) о Я (х) ехр [(2яп+ 0) хв) дх Г (а+х) Г (Р- — х) ° р(-', вх- ~ ) ] лщ.„х~д>х С"-ЛМ" о [Ве(а+р) > 1, — я <6 < я, п — целое, В(к+1) =Л(х)] ИП П299(16) 6.43 Гамма-ф~икция и тригонометрические функции 6.431 СО 2сж "У' '„атИ вЂ” р) мо гхНх 2/ Г (р+х) Г (д — х) Г (р+я — )) 0 1= 1'* =0 [~т~ > я], [т — действительно, Ве(р+д) ) 1] М010 и, ИПП298(9, 10) (2 сов — ) сов ) Г (д — ) Г(р-) д — -1) =0 Ц т $ ( тс]; [) т~ к]; М010 и, ИПП 299(13, 14) [т — действительно; Ве (р+ д) > 1] Д Г(ь,— ю) Ц Ги — а,+и 19.
~ '=' '=' "сЬ П г (1 ь,+.) Ц г(~,—.) у =вл+! т= и+1 =г а;,"Я ." Г) 1 $ ю-~ч<2Ов+ > ~~~к*~<( + — —,ю —,д)п: Веа„(1, Й=1, ..., п, Ве 6, >О, 7=1, ..., тД. ИПП303(34) 675 6.» ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫМ Ей ФУНКЦИИ 6.432 0 в)п (лх) Г (а+х) Г (р — х) [т — целое, четное]; 2а+Р-2 Г (а+р — 1) [Йе(а+р) > 1]. [ж — целое, нечетное] ИП П 298(11, 12) 6.433 еО д!и ях )1х Г (а+х) Г (() — х) Г (у+х) Г (б — х) .'1 ~ 2 (() — )> ег ( — ) г( е ) гг .Ге — г1 [а )- Ь = 8+ у, Ве (а+ 6+ у+ д)) > 2].
ИП 11 300 (22) СО 2 со» лх г)х Г (а+х) Г ()1- - х) Г (у+х) Г (() — х) сов [ — (р — а) ] 2Г ( +~ ) Г( 1 . ) Г(а+() — 1) [(т+ А=6+у, Ве(а+р+у+6) ) 2]. ИП и ЗИ (23) 6.44 Логарифм гамма-фуикцим ) 6.441 ))+1 1 1ВГ(х)1Ь= — 1п2м+р1п р — р. 1 а 1 1 2.
1п Г (х) г1х — 1п Г (1 — х) Их — 1п 2зт. $ 3, ~ 1п Г(х+д)с1х= — 1п2гт+д1йд — д о ФП 784 ФП 783 [~>0]. НГ 89 (17), ИП11 304(40) д 4. ~ 1и Г (х+ 1) а)х = —, 1п 2л —, + х 1п Г (х+ 1) — 1п С (х+ 1), о г ггг де о)~.г1)=где)ее*р( — '~, — . ) П ((1-)- — ) еде( — *+ — ') »=1 УВ 1143 *) )весь ырнпятмй порядок следования формул иарушев для лучшей обозримости интегралов. связанных с гамма-фуыкциеи е)3» Π— 7.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 5. ~ ьГ)а)~) а~ 2 )а)-))ы(а)й) — иа~- А=О + — и1п(211) — — п(п — 1) [а) О; п=1, 2, ...]. ИПП 304(41) 1 1 6.442. ~ ехр(21тлхт) 1ы Г(а+х) 1тх= О = (2ии1) 1 [1П а — ехр ( — 21тлат) Е1 (21тлат)] [а ) 0; и = ~ 1, ~ 2, ...], ИП П 304 (38) 3. ~ 1п Г(х) соя 2иижа)х = — . 1 О 1 4. 1п Г (х) сов (2и + 1) их 1Ь = О. 1 5. ~ вш(2жих) 1НГ (а+х) Их = О = — (2лл) ' [1п и+ соя (2ииа) с1 (2пиа') — чи (цгиа) я1 (2ютла)] 1а > 0; и = 1, 2, ...]. ИП П 304 (36) ПГ 203(6), ИП П 305(44) НГ 203 (6) 1 6.
соя (21тих) 1п Г (а+ х) 11х = = — (2ж) ' [в)ы (2ииа) с1 (2пиа) + соя (2)тиа) в1 (2ииа)] [а) О' п=1 2 .-]- ИПП304(37) 6.45 Ненолыая гаыыа-функция 6.45! е- у(~), х)))1х= — Г(р)(1+а) [р ~.—."ГЕ, хи = — „'ГЕ)~1 —, +, ~ о и (а+ 1) 1 2 МХд39 Р>01 МХд 39 6.443 1. 1п Г (х) яш 2пих11х = —, [1п(2пи).+ С]. НГ 203 (5), ИП 11 304 (42) 2. 1п Г (х) я1Н(2п+ 1) йхи)х = -,,',.( Я) '('+1+ +'' ) —,' ) ИП 11 305 (43) 678 ь (2а12 ИП [1305(1) [1 < Веа< 2]. ИП П 305(6) ИП П 305(2) НГ 204 ИПП305(3) 2 [а > О, у > 0].
ИП 196 (1) 6.467 ИПП 305(5) НГ 204 6.468 6.461 6.462 6.463 о — 7, опгвдвлвннык интвггллы от снкцилльных эуннции СО х'-Я" ехр (ах') яш(Ьх) Г(~г, ах') йю = о [ ~ аг6 а ) < —,, О < Ве ч < 1 ] . ИП П 309 (18) 6.46 — 6.47 Функция зу (м) ] у<~~а*=ьг(*). 1 ф (а+ х) нх = 1а а [а > О]. СО ~ х "[С+~р(1+х)] = — лсояес(ла) ~(а) о $ ооггм™4~ (а+ х) Ых = е — 2"""' Е) (2лпа1) о [а>0; и= +- 1, + 2, ...]. ~ ф (х) я)н лх сЬ = 0 . о $ ~р(т)ягп(2лих)еЬ= — — ял [и =1, 2, ~ [ср(а+ гх) — ф(а — гх)] ямаху 6х= 1ле — о(1 — е ") ' о я го (2лих) ф (а + х) е(х = я) а (2лпа) с1 (2лпа) + соя (2лиа) я1 (2лпа) 5 (4) [а.~ 0; и = 1, 2, ...].
ИП 11 30 ! соя (2лпх) ~ (а + х) Нх = яш (2ли а) я г (2лпа) — соя (2лпс~) с1 (2лпа) о [а>0; п=1,2, ...], 1 $ (х) яш* лх Ых = — —. [С+ 1н (2л)]. 1 н 6.6 — 6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКИИИ 6.469 ф (х) еш ах сое нх ах = —— 4 О 1 1[1 (х) е1п нх е1п (пах) 1Ы = О О НГ 204 [и — четное]; $ и — 1 = — 1п [и — нечетное] '1Г 204 (8) и 2 и+1 6.471 Со 1. ~ х — 6[1пх — 1~(1+-х)]с1х=лсояес(ма)1,(а) [О< Веа< 1] о ПП П 306(7) 2.
~ х — '" [1п(1+х) — 1Р(1+ х)] 11х = мсочег (яа)[~ (а) — (а — 1) 1] о 6.472 1. ~ х-а[(1+х) ' — ф'(1+х)]ах= — ласояес(на)[~(1+а) — а '] о Ц Ве а ! < 1]. ИП 11 306(9) 2. ~ х — с'[х 1 — ф'(1+х)]Ых= — жасоеес(ла)~(1+а) о [ — 2<Веа< 0]. ИПП306(10) СО о [п=1, 2, ...; 0 < Йеа < 1]. 6.473 ИП 11306 (11) 6.5 — 6.7 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 6.51 Цилиндрические функции 6.511 $ ~ Х„(Ь~) 11х=— О [Ве~ > — 1, Ь) О].
ип и гг(3) 2. ~ У„(Ьх) Ь= — — М Л) о [[Ве [< 1, Ь> 0]. В432(7), ИП П96(1) [О < Ве а < 1]. ИП П 306 (6) ~ [$ (х+ 1) — 1п х] сов (греху) Ых = — [~> (у -1- 1) — 1п у]. ИП 11 306 (12) о 680 ИП П 333(1) В 599 (4) В 599 (3) [а > О]. ИП11 7(2) ИП П 18(1) 7 8 [а > 0]. ИП П7(3) ИП П 18(2) аэ [Хь(х)Ш-2,(,) (,>О) о ОО 10. [ 2Г„(х)ах 27 (гг, г (Ь) — )2 . >,()). а «=о а ХО 11. [ 1 ( )Хх 2~ ( — 1)") х,,( ) (О > — 1) ОП(1222(1) о «=о ИП П 339 (46) 6.512 ° ~Ьв (ах) ~ч (Ь*) бах = Ь'а-~-' х о х Р + 2 + Х '( ) 2 ' х Р+2)+1 2) — 22-( — 1 О2 ~ ) г(.)-цг(~ )г) (' х х ) 2 [а >О, Ь >О, Ве(р+))) > — 1, Ь < а.
Для а< Ь слеДует 11 и у поменять местами]. ИП П 48 (6) ХО 2. ~ 1и+«(п1)~, 1Ф~)61~= „« ~ Р( 2, — и; 22 — 22; —.,) о а" «а!Г (2) — 22) (~ а2 ) [0<Р< а]; 1 = ( — 1)" —, [О < [2 = а]; 2а 3 4 5 6 6 — 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ От СПЕЦИАЛЬНЫХ ЮхгННЦИН а ГО 12, (х) се = 2 ~~ У~ ~2),+( (а) [йе ч > — 1]. а ~ .11 (~) (В = 2Я (]/ а). о а [У (1)хг-2с(Ь/ ).
О х ~ 16(х)(1х-алло(а)+ ~~ [11(а) Н,(а) — 1,(а) Н,(а)] о [2,(*)Хх=( — 2.() (,>О) о ~,76 (х) 6Ь = 1 — 036(а)+ —. [Уо (а) НЬ (а) — У, (а) Н, (а)] =0 [0<(2< Я [Ве(т) >О]. М050 6.5 — 6.7 ЦИЛИНЙРИаЕСКИЕ ЬОУНКЦИИ [Р < а]; рьг — ь 3. ~ Уо (ах) 1„ь (рх) сЬ = —, о 1 2В =0 [Веы ) О].
[р = а]; [[) ) а]; ОЭ Ь. [ Х г )~))Г )аа)Ла=) — 1)"'— о ~Веь ) — —.; а) 0; и=О, 1, 2, ... ] . ИПП 347(57) 6. ') г,)ь )ьг,) )а*= — — „) (ь —,) о [О ( Ь < а]. ИП П 21(31) й СО 7. ~ Уо(х)У„+) (х)Ых= ~ [1„+„л ь(а)]о о га=Л) [йе ъ ) — 1]., ИП П 338 (37) 6.513 1 [~„( )] Х,(ьх)а=- о г(ь+ +га1 =и Ь л)ь -2)ь — ~ 2 1 М +1ььо г (~+ Ф) с 46)ь 1 — ы+ 2р ~+ «+яр Ь Р ~, 2,р+1; х[ [Ве о+ Ве 2р ) — 1, 0 ( 2а < Ь], ИП П 52 (33) 2.
~ [~„( )]'К„(Ь*)а = о — Г( а). )г(аа,"'~ ) [Р," ($/ ь-)- — ')] [2 Ве р, ) ~ Ве ъь ~ — 1, Ве Ь ) 2 ~ 1ш а ~ ]. ИП П 138 (18) В444(8), Ку153(40) и г 2)г)а 4. ) г , а )~х) г,)Ьа)Ш = ь а='Гх„". > (1 — †, ) о [Не о ) — 1 — и, О ~ Ь ( а]; =0 [Ве)г ) — 1 — и, О < а ( Ь]. ИП П47(5) 682 6 — 7. ОЦРеделенные интеГРАлы от спецнАлъных Функции 3. ~ 1„(ах) К„(~) У, (Ьх) ах = о =,„,.- '.
)',,',[у' ' — ")о,:,(Г" — ';:) [йеа > О, Ь > О, йет > — 1, йе(у+2ф > — Ц ИП П 65 (20) СО 4. 1 3„. (ах) 3 (ах) К,, (Ьх) йх= ~ [К(~ (а.т)1* У (Ьх) (Ь = о = ",,(,.",",.",-- Го;:,(й ".-''Ц [йеа>0, Ь>0, йе~ — т~~ь) > — — ]. ИП П 66(28) г ОЭ ~,7н(х),7~(л — х)ах=2 ~~~~ ( — 1) Уи+ +аА+7(г) о А=О [Кем > — 1, йе У> — Ц (см. также 6.683 3.). В414(2) х Уд (х) 1 (, (г — х) сЬ вЂ” — я1п к [ — 1 < йе р < Ц.
о .7„(Х) 17 о. (Х вЂ” Х) аХ = У (а) — СОЕ (г) о В 415 (4) [ — 1 < йе р < 21, В 415 (4) 6.514 ~ Х ( — )У (Ьх) й= Ь 'У, (2УаЬ( [ а > О, Ь > О, йе У > — —,~ . ИП П57 (д) 1 Х, ( — ') Ж.(Ьх)Ш Ь ' [Тх (27 аЬ|.~.— К,„((/Ъ~Ь| ( о [а>0, Ь>0, — —.<Кот< —,~. ИП П 110 (12) о = — "-л)'», Ь" Ф .' (г" ' — „") [ (йе ь ~ < 1, Ке Ь > 2 [1ш а(]. ИП П 138 (21) Ох 687 о.о — 6.7 цилиндРияеские юунлщии х1о (ах) К, (Ьх) У (сх) сЬ = (а'+ Ьо + с4 — 2а'Ь' -~- 2а'с' -~- 2Ь'с') о [Ве Ь > Веа, с > 0». ИП1116 (27) СО 1 хУ, (ах) Х„(Ьх) У (сх) с(х = (а4+ Ь~ -)- с4 — 2аосо+ 2аоЬ~+ 2Ьос~) о [Ве Ь > [ 1ша], с > О]. ИПП15(25) ~ ~,~ *)~,(ах~~.(~)~йо =0 [О < Ь < 2а]; = — 2юс 'Ь '[Ьо — 4ао] [О < 2а < Ь < со].
ИПП 15 (21) ~ хУ,„(ах) Л ~~, (ах) К„(Ьх) с1х = о 7. =г(р+ з~,") г(р+ з ')~'о~.~ *~'Р» 1 1 у Р, ~, [(1+ 4аоЬ ') '] Р~ " '~ [(1 + 4а'Ь ') ] 2 2 2 2 [Ве Ь > 2 ~ 1ш а ~, 2 Ве р, > ] Ве ъ ~ — 3]. ИПП 138 (20) ~ хК о , (ах) К ~ (ах) Х„(Ьх) с1х = 2е~"~'Г ~ — ч+р+1) 2 ' [(1+ 4аоЬ о)о] р. ь7 1 — ~ — р (ь~+ 4а')о ~.2 $ 1 Х Д~ ~~ [(1+4аоЬ ')~] 2 Я [ Ь > О, Ве а > О, Вео > — 1, ~ Ве р ~ < 1+ — Веъ ].
1 ОЭ х1~ (ах) К~ (ах) 7„(Ьх) сКх = Ь ~ (Ьо+ 4ао) о 2 3 ИПП67(29) и [Ь > О, Веа > О, Ве м > — 1]. ИПП65 (16) ю. ~ы, ~ )я, < )~„о >а*= о =О [а>0, Веъ> — 1; 0<Ь<2а]; 1 = — 2л Ч ' (Ьо — 4ао) [а > О, Ве ъ > — 1, 2а < Ь< со]. ИПП 55 (48) 680 6.526 ИПП 56 (1) ~ х»( (ах") К„(6х) с(х = 6 2 ИПП 140 (27) ИПП 61 (35) 44 хантинг интегралов 6.525 1. 2 Ь о — Е 7 ЦИ(1ИНЛРИЧИСЫИИ ФУЫКЦИИ х'У, (ах) К, (Ьх)», (сх) ах = 2а (а' -(- Ь' — с') [(а'+ 62+ с')' — 422св] О [с > О, Ке 6 > ) 12ц а ~, Ке и > О]. ИПП !5 (20! ~ хв» (ах) К1(Ьх) г' (ах) еах= 0 = 26(Ьвч- с2 — а') [(ав+ Ь' 4- св)' — 1а262] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
