Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 58
Текст из файла (страница 58)
1г 1 — /се вше х г 2 ( —,аг — а г ) е* = е+ Ь р ~ р > щ. 4.571 ВХ [344] (2) 4.572 НИ 66 (12) 4.573 Р агсс1ддха1прхеЬ= — "(1 — е л) [р > О, 4 > б] БХ [3471 (1)и о Р У асааааа аае*= — [ е~(а) — 1е!( а)) [р>о. ~>о]. БХ [347] [2) и Юв рх аЬ агсс18 гх 1п 2раг 1~ ее [1г'<1, г>О, р>О]; 1п 2рЧ [ф) 1, г)0, р) О]. ВХ [347] (10) р Ч~» агссЧрх з а а . з — е 1н( 1 + $Ь еесозех ' гаа1лех 2«е а е р Г [р) О, 9) О, ° )О]. БХ «347] (9) а. ] ю~~аа ( ~ ) а~ [а*) а* = а ю [Веа> О, Ь) О].
ИП187 [8) ОО еа ] -' =-~ " —,(,) агс1л е х 1 1' П 1х) ааг ке Г (д) — юе — юе 2) [д > 0]. Ли [282]110) функции 4.581 4.59 Обратные тригонометрические и логарыфыичеекак фуыкции 1 а Рея(п х 1п х (Ь = 2 — 1п 2 — — л. 2 БХ [3391(1) агссоя х1пхс6 = 1п 2-2, Бх [3391 (2) Бх [339) (3) 4.592 4.593 агс)д х 1п х (Тх = —, 1п 2 — — -1-,— л . л 1 2 4 '48 о и БХ [33))1 (3,, БХ [339) (4) БХ [ЗЗЯ (7) 4.В)1 1. $'де х=((((и.
и), у= (1 (и, о), а Л вЂ” — — —: ' (() едстапляет д(Г д()( дФ д(р Х) ((г. ()",) ди дх ии ди 1.( (и, (.) собой функциопальпый опроделитоль (определитель Беоби) (1(упкцви ()( и ~. (Рп 1. 2. 3 — 4, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ННТЕГРДЛЫ ОТ,ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОиРНКЦИЙ Обратная н прямая трнгоыоыетрические и степеыыая (1х х ((х агсьдхсоя рх — = ~ агс16 — соях Х Р х о о — — Е)( — р) [ТТе(р) ) 01, ФТТ) 654. ТТИ25(13) Ы 'г~ (2% 1) (( 1п 12В+ 2) агссоях — =— )п х и ~, 2((((( 2/с-)-1 (-о 1 ~ л агсс16 х1п х(Тх = — — л' — — — —,1п 2. 48 4 2 о ' агс$пх (1п х)" '(1п х+п)кКх =,",'„., (2 "— 1) ~д(п(+'1).
4.6 КР() ТПТ ТГ ТТТТТБГРА.ЧЫ 4.60 Замена переменных в кратных интегралах ~ ~ У(х, у) (Кх(Ку= ~ ~ У['р(и. о), Ф(и, оЯ ( Л'! сКигУа, (и) 1оо [[1((и, и, *(и ии = (Р) =[[[/(и(и, и ий $(и, и, Ш),' и(ь и, и((/Л(! Жс(и. А.о КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где л.=,~р(и, о, се), у=зр(м, о, в), х=т(и, о, в), а д<р д~р д<р ди дда дв дф дф дф ди ди дм дХ дХ ~Х ди дз дц) Рвр, Р,т) Р(и.
Р. и) 4.603 Преобразование к сферическим координатам: Р(и, у, з) =ге1НВсоещ у=гнп661п~р з=гсов9, ' ' =г вшО. е Р(г В (р) 4.61 Перемена порядка интегрирования и замена переменных 4.611 и х а а 1 1ОЬ( ~~~ фшУ= ~ Йд ~ ~(* фш. о о о д а 2. ~ сЬ ~ ~(х, у)Иу= ~ ~1у ~ ~(х, у)6Ь. о о в а д У 4.612 1. 1ь 1 цл,уир= о о в Маа-~~ = ~ ба ~ 1(х, у) сЬ. о о представляет собой функциональный определитель функций При этом предполагается как в (4.601 2.), так и в (4.6011.), что а) функции у, ф т, а также их первые частные производные непрерывны в области интегрирования; б) функциональный определитель не меняет в этой области знака; в) между старыми пероменнымн х, у, г и новыми и, О, и существует взаимно однозначное спеты тствие в области интегрирования; г) область У (или. соответственно, о) при переходе от переменных 66, у, г к переменным и, о, в переходит в область г' (или, соответственно, и').
4.602 Преобразование к полярным координатам: Р(и, у1 х = г соэ ~р, у = г в(п ~р; ', = г. Р(г, ~р) (р 0 НРАТНЫК ИНГКГРЛЛЫ В «+ 2 В В й 4 ~ Ых ~ Дж, у)ду= ~ Иу ~ ~(ю, у)Их+ 0 уВу — Э О ВЯз Рв 2В В Зй В -р ~ уу ~ ((*. у) в~-р ~ уу ~ ((*, у) уу. 0 2В (р — 2В Р П у 2 2В сов ру 2В йвссвв 2В 4.6!4 ~ юу ~ )(~, у)и.= ~ у.
~ ((~, у)уу. О 4.6(в~ и ~ )(~,у)уу= ~йу~(( ыяу, эш р) ~у. 0 0 О 2В ~( Ой>с — хв 4.6$6 1 д 1 1(~, у'(ау= 0 0 2 2В ссв р)) = ~ й)) ~ Я~ГСООУОГ, 21ПР~Гй'. 0 0 632 я — 4 опгнджлкннык инткггалы от элнмннтАуных еуннциа В фе(х) фе (х) Р ф1 (х) 4.617 ~ (Кх ~ ~(х, у)ЫУ= ~'сКх ~ ~(х, у)йу — ~ (Кх ~ ~(х, у)дуа фд (х) о о о- о и фе (х) и ф) (х) — ~ 1 ~ У(х,у)с(у+~ а ~ Р(х, у)ИУ о о о о [(р, (т) < (р (х) при а (хх [)].
ф (х) ч 4.618 ~ Ых ~ ~(х, у)ЫУ= ~ (1х ~ ~[х, х(р(х)](р(х)с)х [у=щ(х)]; Ь о о о ( ф (е() =т[е [ ((1*,е)ее (*=т*) о о х) х1 $ 4.619 ~ с(х ~ ~(х, у) Иу= ~ Ых ~ (уе — уе) ~[х уе+(У1 уо) 2] сР хе уе хе О [У Уе +(У1 УО) ~1 4.62 Двойные и тройные интегралы с постояннынн нределамн 4.620 Ф о р м у л ы о б щ е г о х а р а к у е р а 1.
~ (1в ~ ~'(рсЬх+дсозвзЬт)вЬтИх= о — ~ — ~У(з1рвр'У' р' — це) [р' > д", )1)н 1(т) = О] У у' — ч' х-~ +со Ло П1 389 2Л еэ Р 2 ~ с(в ~ ~' [рсЬх+(дсовв-(-хв)нв)вЬт]вЬхс)Ь = о о ~ — ~ — ~(в16нр[гр' — ((е — г") [ре > де+го, Ип) 1(х)=0]. Ло 111 390 ИхЕу, р — ус~в*+ „] +гсЬту! = ыахма'у~ ~ в)ахи!ау " ) о о — ((ее е~ Р:~' — *) (р*>д'.)-", и~ )(*)=е).
х->+ах Ло П1 230 СО СО 4 ~ Их ~ ~'(рсЬхсЬУ+двЬхсЬУ+гзЬУ)сЬуНУ= 2л ь1та р — ~(в1дн р )/ ро — д~ — г') [р' ) д' -)- гх, 11ш 1(х) = 0] у Р я х-+ ) со Ло 111 390 1.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ с1х ~ ~ (р сЬ х+ д соя а) яЬ х) яЬ в х я) о О) Ив 0 а =» [))рр р~/р' — д'рь*) ь р О х-р+со о 2л л ~ "о) ~ 1[рсЬх+(усово)+~Фасо) в1аООЬх]вЬ*хв1ГНО,1О о О а [ 11ш 7'(х) — О]. Ло Ш 391 = 4 ~ У (я1цд р $/рь — д' — г' сЬ х) вЬ' х 1х О [ръ> дъ+г', Иш /(х)=0. ] Ло 1П 390 о» 2л л ОЬ йв ~ 7' [р сЬ х+ [(д сов о)+ г в1И в) я1н О+ в сЬ О] вЬ х) х о» р ы* и Врр=4 [ )(~!р р)рр' — д' — ' — ' и*) )р ы* о [ръ > дъ+гъ+въ, 11ш 1(х) = О]. Ло 111 391 г г о о у гг1 — Ры))~хъ1а~у зс 1 — )р'в1п у л О)г1 )ръ' Ло 1 252 (90) у У 1 — Й' ~1о» ъ я)и-' у 1 — Ьъъш~у Ло 1 252 (91) вш гр 5) и у рЬ' )ррр па ф~1 — »)))" а»)а'-' ъ ъшъ у о о Ло 1253 МО 137 =4 )р') — ) .
л л л [3 — р — * — р ~ 12р оса л л л сМ Ыу )))г 3 — сов л — сов у — сов ъ о о =422 [18+ 12]/ 2 — 10]' 3 — 7]/6].1го [(2 — ]рг3) (1/ 3 — $Г2)]. МО 137 о» со о» ъ г у = 4аь ~ '1) (х) а о 634 з — ! опгжджлинныв интигРАлы от элжминтАРных етнкдии х 2(( ] [(( .б.рр р б,ыр.рри б р р) ~ббббр= о о и ! =2я ~ ~(Лсовр) ь1прйр 2я ~ 1(ЯФ)сй [Л=)г'ао+])о+1ро].
о — ! Ф 111 472 2. ] 1 ... [ бб,бб, ... Ши- — — В" (~бъвм р~Г РР ~ б«Ю (б ( ) сферы] Ф 111 473 и+1 [половина площади поверхности (и+1)-мерной сферы х,'+ха+... +х,*,+! = 1]. 4.633 Ф ТТТ 474 >о, «.>о... >о 1- ' х- '' " и~ (,*— ')"' -( — *)" - '*— ;) Р1 — ! р — 1 Х! Х2 ° ° ° Хрр ()(Х! (бх2 ° ° . Й«рр = 4.634 оР,оР, оЄà '— " à — "' ...
Г Ъ г ' Рр+Рб+...+Ж+1) [а, > О, р, > О, д, > О, ~ = 1, 2, ..., и]. Ф 111'477 4.635 ((";,)"+(Р) " +(й)" ]. Х Х( Х2 .. Х и (бх! (бх2 .. ()(Хи г„, г„г(г)г(г*) ...Г(б— ") ОО Р1 Рб Р— +и — (-.. + — ! 7 (х) х ! х и сЬ ! — + — + +— ~ (б) б(х ' ' и„.l 4.63 — 4.64 Многократные интегралы ."б и-! (! х ббб( ] бг ] бг г ... [ ((г) бр= ( > ] (* — р) ((р)ир, р Р Р где ~(8) — непрерывная на отрезке [р.
д] функция и р~х<(1. Ф И 692 4.632 ~и 1. ~ ~ ~ Ых! Ыхо ... Нх„= —, [объем и-мерного снмплекса]. «1М, гРО.. «>О и х+«, +...+х (й 637 4.6 КРАТНЫИ ИНТИГРАЛЫ вЂ” Ра-1 Ри — ' е ~ „!1+( ~ д '+(А*4 '.+ ° +(ге* ) "1' Г (5) 11гзйгпи АЧ РМ и Ч (р,.>О, ф )О, г, >О, з>О]. 4.639 ( х,+РМ,+."+р.*„) а,Ь,--.~.— хг+ху+,, -~-хц 1 г 1 й (2ду — 110 у~И Г( — ",-)- -(-1) (~,х,+ -,+ с~-1-х$+ ... +хд(~ (Р',+р!+ --- +р'-)- Ф 1П 482 Ф1П483 4.641 1, ~ ~ ...
~ е"~"~ "'"'+' + "'"1Ы 1Ь ... СЬ„= 1 й ' Х1+ХЯ+ .. +Дп<) l ' и 4 „, НГ( — ",+й+1) 2 ~ ~ ... ~ е~ "~ ~~"~ '" ~ ' с~х~ <~х~ .. 11хз ' йл кг+х~+ — -1-х З~~1 Ф 111 483 (2я)" У„()~ Р(+ Р1+ -+ Рз~г ) (Р1-+Рй+ "° + Р1и1" ~(Ф, ' ~~ , )и ш; .а* г(+~1+ .. +ха(В' Ф1П483и 4.642 21г,» и ~ "'/()~*, (,2.> о где ~(х) — непрерывная на отрезке (О, Л) функции.' Ф П1 485 ! 4.643 ~ ~ ... ~ ~(х~х, . х„)(1 — х )~~ (1 — х,)~~ ' ... (1 — х„)г ' х 0 0 ч хх', х" +" .. х„"+" + +' - сЬ ~=,... Ь = 3 ''- и 1 П )(1 — ) 1' 0и+ Рк-'г ° ° -1- Ри1,) 0 в предположении, что интеграл, стоящий справа, сходится або~ лютне Ф Н1 488 о38 3 — 4 ОпРеДеленные интеГРАлы От элементАРных ФРнкций сс — 1 4.644 Иь,* -с- л.*.,;с.'.) х1+хх+ ...
+хсс — — 1 /(сс 4 с~,~ ~-с*) с 2 2 хсч-хс — ... +хсс-с<1 ях-с ~ Х()~'р,'+р.,'+ ... +р,',созх) з1псс *хЫх (п>3], ° ц 1~ с д .. х где Х(х) — непрерывнаяна отрезке ( — Р' р', + р,'+... +р', ~/ р,'+р,'+... +р„'1 функция. Ф И1 480 4.645 Пусть функции Х(х, х, ..., х„) и Р(х„х„..., х„) непрерывны в огрениченной эамкнутои области (Хс), причем наименьшее и наиболыпее значения функции Р в Области (Хс) пусть будут и и АХ; пусть ср(и) означает функцию, непрерывную для ги~ и ~3Х, Обозначим через ф (и) интеграл 1.
ф(и) = ~ ~ ... ~ Х(х„хз, ..., х„)с1х,йхз... Ых„ хс<д(х, хх, ..., х )<и распространенный на ту часть области (.О), в которой выполняется неравенство и Р(х, х,..., х„) <и, Тогда н*„...~~Мс~ „ъ ",*.Ис.~*.." ь.- ссс~~дсх, ."с, ... х 1<М м м =(о) ~ Ч(п)Фф(и)=(Х1) ~ т(п) ~~"~ й«, где средний интеграл надо понимать в смысле Стилтьеса; если существует дср непрерывная производная —, то интеграл в смысле Римапа, стоящий справа, существует. +сО В формуле 4.6452.
сможет быть и + со, причем в этом случае под и следует понимать 1пп М вЂ” ° ' са — сХх1 ссхд ... пх„= х ~~0, х 30, ...,;,сххх0 1 ' Я х +х +...+хсс< $ г (р,) г (р,) ... г (р„) хс сдх 0 (1+0, ) '(1+0, ) ' ... (1+0„~) " 1р, > О, р, > О, ..., р„ > (), и, > О, 4, > О, ..., о.„ > О, р„+р,+... +р„> г > 01. Ф111493 641 10 12 5.113 БФ (612. 13) и~ (й) ~й БФ (612. 11) 5.114 [я (й) — й'к (й)1« й'аи (й) — я (й) 5.115 1 ~ и( —,, ~. а)«а«=(а —.[п[ — ", а) — к(«(+к(а> БФ (612. 14) ~ ~ к(а[ — п( — ", ~, «)) аа«=«к(а( — («* — '(и — ",, ~, а) БФ (612.
15) ~ '[ к,',"(.«п( — ",, ', а)) «а«=(а'- '[и( а, ', а) . БФ (612. 16) 5.12 Эллиптические интегралы Р (х, й) Юх [Р(х, й)1а ~/ 1 йащпзх 2 ы ~0<х~ — ~. БФ (630.01) 5.121 х У(х )с)У 1 — )саяпахс[(х= БФ (630. 32) 5.122 6 41 таблвцв( влтава;.:раков ал эллиптические интеГРАлы и ФГнкпии " к(й) „„Я(й) йа й Я(й) 1 (у зв-,-([с) 2~Р(у)) ~ н„'"' н«= —,'„(а(а — а(ж(а>+ а'к(а[(. -,,— (дс = К'()с) — Ж (Ус). 1 (к(а[ — ж(а([ — ", - — ж(а(.
~ (ж(а( — а"к(а[( — ", =аж(а( — а к(а(, 1 [(1.««[к(а) — ж(а)[ ~ = — «к(а). ~(н(а( — ж(а[( ~ = — „'(ж(а[-а к(ид ~ [ж(а> — а'к(а>( „~„= —,' (к(а>- ж(а[(. 1 [(1+Жс) Х(й) Ь'ада(а)1 й' = Я Ф) БФ (612.05) БФ(612.02) БФ (612.01) БФ (612.03) БФ (612.04) БФ (612.06) БФ (612.09) БФ (612, 12) БФ (612.07) Интегрирование по модулю 6.126 ~Р(х, Й)ЙЙЙ-В(х, Й) — Й Р(»,Й)+(2/1 — Й ! '* — 1)»12» БФ (613.01) 5.127 ~ Л(х, Й) Й(И= — ((1+ Й')Р(х, Й) — Й'Ч" (х, Й)+ «-(Р'(:Й' 'х-1)*12~!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
