Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ГХ [325] (18Ь) 1 (! (~-~аР)$'1 — "~*= — "(1 [а > О]. БХ[117](6) 1 1п (1+ а — аа") )~ 1 — х' Ыт = — [!и +)', + 2 [а > О]. БХ [117] (7) 3 — 4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУННЦНЙ 8 9 ((ао [ ( 1]. БХ (145] (35) 4.298 СО о о \ -~- «Ь= ~ + —,Р-2 — „р(2п+1). 1й2 1 1 БХ [137] (1) «Ь = —., + — „, — —,, Р (2п+ 1). !и2 1 1 БХ (137] (3) 1и2 в1х = — + — 1. — — р (2п+ 1). 2и 4л 2вв БХ [137] (2) СО 1+х* хв" !а2 1 1и — — «Ь = — — — — + — ~ (2п+ 1).
х 1 — х 2х 4хв 2х БХ (137] (4) 1+хв хввв в 1а 2 1 1 1и — — «1ж — — + —, — — ~ (2л+ 1). БХ [137] (19) о 1 вв-1 о о=о БХ (294] (8) и-в 1 +ув х '1 Г в 1и .«в '«Ь= — 1( — 1) +' 1п 2+1Е2 — — + ( — 1)"+~ '~ х Б1 2х «-1 /с / о й-$ БХ [294] (9) и )п — = — 1и 2. 1+хв дх л х 1+хв 2 1+ хв сЫ 1п — — = п1и 2. х 1+хв о БХ (115] (7) БХ [137] (8) 10.
~ 1п — — =О. Г 1+хо ~В х 1 — хв о 1 12. ~ 1и — — = — 1п2. 1+хв Ь гл х-в-1 1+хв 8 БХ (137] (9) БХ [115] (9) Бх (144] (8) ~ 1п 1+ НЭГеэ1па []а[ ~1] ГХ(325](21с), БХ[122](2) о ('с'-:) „..:.*„...,=-". с -'-" я Π— $. ОПРМДКЛКННЫВ ИНТЙГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ у а [а > О]. БХ [115] (26) (х+1) (х+ас) и 1 (х 2((а" ()2 (х+ )' [а > О, йе р > 0]. БХ [134] (16) 4.311 ~) ах хз 4аа ~Ь(1+*), ~ = ~ 1 3. О СО ()х юР Ь(1+ха) = =)и 3 — —. 1+ а )ГЗ СО )а(1+ха) = =[и 3+ —. а+ха уЗ 9 ОП )Л (1+ ХО): (Ь вЂ” — ЛО.
1+хО 9 о БХ [134](7) Ли [136] (8) Ли [136] (6) Ли [136] (7) БХ [136] (9) 4с312 (+х' у З БХ [138] (12) СО )йп 1+ха х ((х й 2(О хО 1+ха у З 9 = — !а 3 — —. О Бх [1зв] (1з) 4.313 1а х (и (1+ а'.с2) —, = яй (1 — )н а) [а > О] БХ [134] (18) СО )и (1+ саха) )л (ах+ ЬОхх) — = О Ь 'ъ = 2п [ (~-(- — ) 1и (П -1- пс) — — 1п Ъ вЂ” )п с ] (и [а > О, Ь> О, с >0]. БХ[134](20 и 21)и с 1 (1 1. ° )1 ( (.~) =2п( ~ '( (д.пс~) [а > О, а+ Ьс > О].
БХ [134] (22 и 23) и 581 О 2 — 1 4 ЛОГАРИФМИО1ИЦКАН ФЪ'НКЦИЯ 1-+ а'хс ах ьь 4. 1пх)п ~,,—,=я(а — Ь)+22»п — „ [а >О, Ь >О]. БХ [134] (24) ОО ОО+2Ьх+аа Иж а' — 2о, +х х е Ь =2л1пааксвш а [а>| Ь!]. [а > 0]. БХ [134] (25) БХ [141] (7) СО 1 ( 1 х!пх — х — а ах (»п а)1 »п(1+ х) (х+ а)О с 2 (а — 1) ах )их — х — а ах лс+()а а)О »и (1 — х) (х+О)~ х 1+и о Ли [141] (8) [а > 0]. 4.314 о а=1 [а > О, р > О,-у > О). СО [(а — 1)х 1 1 — 1 [ (1-»- )1 -»-1+ (1+х)а ~ '»п(1-»- ) о БХ [123] (18) [д > О). БХ [143] (7) БХ [126) (12) 4.315 1 Ъ<1О,Н1,1"- — -1 — 1) < — 11(1 — ')1< +1). БХ [116) (3) 2йа+1 — 1 Ъ,(1+ )(1 ) ' =и 2*, „,— ',, "|В,|.
ЕХ» 1161(1) БХ [116] (4) 1п(1 — х) (1п х)" ' — =(-, 1)" (л — 1)» С(п+ 1). о 1 »и (1 — х) (1п х)ав о 2ОО 2ООа В (в+1) (2в+ 1) БХ [116) (2) )п (1 + х) (ах = 1п — . 1 "*(-')) о 1 о [д > ]. Ли [327) (12) ц 4.316 ~ ь « — ы> (ь — ')' — '" — — —,'„г <р-г с У а=! [р> — 1, аС1, ° )О]. 1 2. )П(1 — 2<1жсОВ1+а'кх) 1Ж вЂ” 1) — = х./ ВХ [116] (7) 21,(~ ( 1)у а соа Ли[116](8) 1. )п = я агсв<л а )р 1-(-х +а Ых )'1( х — а )~"1+ха []а! < 1].
1 1 — аРха — х у' 1 — а~ г(х 1 (агСВШ <1) . БХ [142] (11) БХ[115](32) 1 а — 1 1+ссс1)р ( — хС <<х 2 1В 1 — сов 1 )р' ( — х~ х + М С ° "+ ~ — я с(,дг $ш 2 1 4 ]< ("-р" ")**'* — — "' О 5. 1ц ф 1-~- йх-(- ф 1 — йх] ф' (1 — х~) (1 — ЙРха] БХ [115] (30) БХ [115] (31) =т~ (4й) ~(й)+ 8 ~(й'). БХ [121] (8) в. ~ < <у~;< — ут:рр< У (1 — а) (1 — А. й) — 1П (4й) .К (й) + — ~Л'(й'). БХ [121] (9) 7 ~ 3р<1~фЧ вЂ” й' < )l (1 — ха) (1 — ййхр) 2 ( ) 4 БХ [121](6) <(х )~ (1 — ха) (1--Й~х~) 1 з = — )ц й х~ (й) — — ' Я.?Г (й').
8. ~ 1п(1 -~р 1 — йхж'] БХ [121] (7) а — $. ОЦРжджлжыыыж интжГРАлы От элжмжнтАРных Функций 4 2 — Е 4 ЛОГАРИФЕЕИЧПСЕЕАЯ ФУЫЕЕЕЕЕ1 Я 1 1+ р )/1 — х~ 1Ех 1п " = л агса)п р р)/1 х 1 — х= О БХ ]115] (29) ! 1+~~ ~/1 — Их~ ах 1 — д Г" 1 — 1г~х~ Г' 11 — хО)(1 — /гххх) лР(агса1п г7, Й') 10 БХ (122] (15) 4.318 ! ~,'",—,",', ~ = и (ь г ( — '+ ~) — — ".,'+ — ' (в ~ — г) ] О [д > О]. БХ [126] (11) ОР Г1, р — г) хх — ~д — г) хО хΠ— хх ) 4з )'(1+ )] 1 + 0 )' ] "" О =''ь(йа~ ~д — ) 1г(~ г("1.
БХ (143] (9) (см. 4.293 3.). 4. 319 )п (1 — г — 2аэ™) = — л ~ — 1п 2ал+ а (1п а — 1) — 1п Г (а 4- 1) ~ 1+: — 1т (а > 0] БХ (354] (6) )п(1+е-2 ' ) =л ~ 1пГ(2а) — 1п Г(а)+ 1+ +а(1 — ]п а) — (2а — —. ) $п2] ]а > О]. 2/ СО а+Ох Хх гЕх а р ГО 1п — = 1п — 1и — 1 — > — 1, ра > 0 ] в+Ее Ох х а+Ь 1Е 1 а О БХ 1354] (7) Ф Н 635, БХ (354] (1) 4.321 х 1п с)е х г1х = 0 )и с)е х — ~0.
1.— хх О БХ 1358] (2) и БХ ]138] (20) и В интегралах, в которые входит 1и (а+ Ьхг), полезно сделать подстановку х' = Е и затем полученыьгй интеграл искать в таблицах. Например, Со ш в г ргг О г" 11п(1+к")с~а= — ~ 1' 1п(1+1)еее= О р ып— 3 — С ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 4.322 ~ [ О,*С*=-,' ] [ь. **с =- — ",,* [ с.
С44[444[[4 [а > О, Ь > 0]. ГХ [338](28Ь) ГХ [338] (28а) СО 144 явс ах лй сЬ= — — +ал [а >О, Ь> 0], о БХ [418] (1) 5, ОО С СО 1п в1п х х[4 — ' сЫ вЂ” — ~ — ) [ 1п 2+ — — ~' 1 Гл' х г 2, ~(2Й) 2)с '4, 4) [ )с 4ОА 4()с+2/с) о А [йе)с > О]. Ли [425] (1) ~ 1п и]п х х[4 ' сЬ = — — [ — ) 1 Гл ~[с с 1 1 ~(2й) )4 [~ 2) [ )с 4" 1)с-[-2Й) о й=! [Ве)с > О]. Ли[430]($) о О=с [Ве )с > О]. Ли [430] (2) СО 10 ~ 1п(1 ~ 2рсов]1х+ ро), = — 1п(1 ~ ре)[о) [р' < 1]; о 1п 1до х х с[о = О. БХ [432] (3) СО а'х = — 1п йЬ аЬ [а > О, Ь > 0]. о ГХ [338] (28с) 1пошоах л 1 — с ОС+ х* Ь 2 о СО о СО "„""' ;* С = ас [а > О[ о = — 1п(р~ е-ао) [ро > 1] Ф11718и 1,2 — 2.4 ДОГАРИФМИЧВСКАЯ ФУНКЦИЯ БХ «145] (5) БХ [147] (16) и Если подынтегряльная функпия содержит логарифм, аргумент которого также содержит логарифм, папример осли вод знаком интеграла имеется 1 1н1п †, то полезно сделать подстановку 1нх = 1 и затем искать в таблицах преобразованный интеграл, БХ [256] (2) [йер, >О] БХ [260](5) ГХ [324] (81 а) .
4.332 БХ «257] (6) '® "® ОЭ 1веаз л ее+е ~+1 1 2 3 1 ~ 22~ 1 .' 1 1п ~21п — — 1 ~ ' сЬ = — —. [Е1 ( — 12)]2 !аз 2 о «йе)2 > 0]. «а)-'т]. ВХ114Чи01 о г~ [а > — и]. 2 1п [а'+ (1п х)2] хв — 1 еЬ = — [ — сов ар ср(ар)— — в1п а)2 а1 (ар,)+ 1па] [а > О, йе 12 > 0]. ГХ [325] (28) 4.33 †'4.34 Логарифмическая и показательная.
функции е — ~'"1пхИх = — — (С+ 1п 12) «йе12 > О]. 1 М [- 1 е-~ 1р х ах = — — Е1 ( — 12) Р 1 1 е1и'1пх11х= — —.~ — 'ю1х ': [12-чЬ О]. Г л — 1 р' з о -= '1~Ы2и — зпГ (е) ) в (сравни 4.325 6.). (сравни, 4.325 5.). - БХ [257] (7) и, Ли [260] (3) БХ [357] (13) Ф П808 БХ [260] (О) 1ЦХд26 4.337 ВХ [256] (3) ИП1 148 (4) [а > О, Ве р > О].
ВХ [256] (4) ~ е-~ 1й — Их= — [е-е~ Е1 фр)] Р о 4.334 4.335  — 4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФЪ~НКЦИИ ОО е-и"' )п.с сй = — (С+ 1п 4р) ~ 1 4 М [Вер > 0]. БХ[256](8). Ф11807и !пх Ех 1 .,/ а ~1 1 вС+1п 4й й~ь в=1 ~ в-пх(йих)всЬ.= — [ — + (С+ 1пр)в ] [Ве р > 0]. ИП1149 (13) о ~ -**(1 ) г = 8" ~(с+21п2) + — ",, ~ о е- (1пх)оа = — 1 [(С+1пр)В+~ (С+1пИ) — Ч (1)3. Мхд26 ОО ( -). о ОР 1.'+ -* = '— в ~ах = т'(~ь) — еп [Ве (А > 0]. о е-~ 1п (р + х) сЬ = — [1Л р — епа Е1 ( — Щ] Цаг8~~ < я, йер, > О]. ЮО и — и~1+~)ш — —,'и( — ~) 1 В д Х [~ птд 1э ~ < я, Ке р ) О] е и За~а — х~Ых= — [1па — е и Е1(ар)] о [р не может Оыть депс1пптельлып положительным числом, Вор ) О]. МХд 26 589 4.2 — $.$ ЛОГАРИФИИЧЖСКАЯ ФУНКЦИЯ 4.338 1 еО е — их )и (рв+хо) )Кх = — [1п р — с[ (рр) сов (рр) — в((рр) в1и ([Зр)] [Веб>О, Вер>О]. БХ [256] (6) 2 .
~ е-и*)ц(хв — ро)2 Ых = — [1л]12 — ех Е1( — [)р) — е-Вн Е1 (рр)] 2 [1пт р > О, Вс р > О]. БХ [256] (5) СО е-»х )д — сЫ = — [вЫ р сЬ р — сЫ р вЬ р] х 1х+1! 2 ~з — 1~ [Ве р > О]. 4.339 МХд 27 е-и* 1и + с1х = — [П, (ар) — Х (ар.)] -+.*+ ~':. о [а > О, Ве р > 0]. 4.341 ИП1 149 (20) ~ е охх )ю(вЬ х) сЕх = — е[ — + )ц 2 — 2Р (2)2+ 1) ]е БХ [256] (17) ее» [ е- )) Ее)е*) — ) е) )е= — ' [)еф — — '-) ®) о [Вер, > О], еи~'*[1и (2р.в1ивх)+ С] сЬ = — лКо(р). о ИП1 165 (33) В 95 (16) 4.343 4.35 — 4.36 Лсгарифиическан, ииказательная и степеннаи фуцкции 4.351 1 (1 — х) е х)ахи= о БХ [352] (1) 1 е) (рхо+ 2х) )и х ~Ь = —, [(1 — р,) еи — 1]. 1 БХ [352] (2) Кг '= — еи [Е1 ( — р)]2 [Ве р > О]. 1 НИ 32 (10) 2 [ — ) (Ь*) Ие= — [е ® — -) )хе е) % ИП) 165)32) о 500 3 — $ ОПРБДБЛБННЫБ ИНТБРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМБНТАРНЫХ ФРНБЦИИ 4.352 х' — 'е — а 1вх еЬ = — „Г (ч) [$(т)- 1п р] [Ко р > О, Во ч > 0].
1 БХ [353] (3), ИП1 315 (10) и и! Г 1 $ 1 хие-Р" 1пхеЬ= — [1 + — + — +... + — — С вЂ” 1вр~ — ),и-* ] 2 3 ' а а [Вор,> О]. ИП! 148(7) ее 1 2и(а — С-)п4р ~ [Ве р. > О]. ИП1148 (10) ~ хФ-~в х 1в х сЬ = Г' (ф [Ве р, > О]. ГХ [324] (83а) О 4.353 СО (х — ч)Ф'-1е ')пхсЬ=Г(ч) [Кем>0].
(ру и ) 2 -~]п,х ( ~" (/ О ГХ [324] (84) [Вор. >О]. БХ [357] (2) 1 и ~ (ух+и+1)хиеи" 1пхс(х=еи ~~~ ( — 1)"-' "' „, +( — 1)и Ю е ==а [р,- 0]. ГХ [324](82) 4.354 СО СО ,х+1 ЕЬ= Г(Т) ')', ( ) И~(й) — 1ВЦ [ВЕ Ч > О]. 9 е 4 ГХ [324] (86а) (' х~ )п х ( — 1)~(й — 1) (ех ) 1)а СЬ= Г (Т) ~~~~~ „[Ф(Т) — 1Л 7Е] [ВЕТ ) 0].
о а=г ГХ [324] (86Ь) (' (х — ч) е" — ч ( ()й- 3 ~ (е"+()е Х 1НХ~Ь= Г(Т) Х м [ВЕТ ) О]. й.=1 ГХ [324] (87а) — (е„+1), х " '1пхсЬ= пг ] Зги!. ГХ [324](87Ь) о 592 з — а опрвдклкннык инткгпллы от влкмвнтАпных э~нкнии При БХ [357] (7), ГХ [324] (92а) При 4.357 [а > 0]. БХ [357] (8) БХ [357] (0) ВХ [357] (10) МХд 26 [Вер) О, Веч) 0]. МХд26 МХд 26 МХд 27 БХ [352] (О) 1.
2 Ь ~ 2ахй — х — 2Ь и~ ехр — ах — — ) 1вх — =~В 2 ~/ — е о ) а [я)0, Ь>0]. ~ ехр( — ах — — ) 1пх Нх= [/ — е — о ~~ Ь 2аха — Зх — 2Ь $+2 е' аЬ ~е и [а > О, Ь > 0]. Ли [357](6), ГХ [324](02Ь) е 1+хе~ 1+ахе — хе )/йаа ехр ( — ~1пх 2 ~/е 1+хе ~ хе+ах* — 1 У2аеи ~- ° ')' [а > 0]. ( / 1+хе~ хе-4-Зах — 1 (1+а) 3/2аеп 2ах' ) хе 2 о [а) 0]. хч 'о ""(1пх) ах= — —,„[р' "Г(р, ч)) ! [Ке р > О, Вв ч 0].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
