Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. х=е 1 1п (а+ 1и х) их = 1п а — е иЕ1 (а) [а > О]. БХ [30] (5) 35 тибляпи яптегяаяоя ~ К1пс1~х О 1Г1п сяе х ~ 1п [)/1их О +)/с19х) 1ех= ~ ~ 1п ~]/1~х +)/сне ) Ит= О в 1п2+ С' БХ[287](7), БХ[308](22) д 4, ОПРБДБЛБННЫБ ИНТБРРАЛЫ ОТ ЗЛБМБНТАРНЫХ ФРНКПИИ 1 $п (а - 1п х) 11х = !а а — еа Е1 ( — а) [а > О]. о БХ [30] (6) 2 . ~3~) л 1и!и Сд х 1!х — 1п " ' )/ 2н БХ [308] (28) 4.23 Логарифмичеекая и рациональная функции !их я* — ах = 1!- !Б ' 1 !пх яа — 11Х = — —. 1 — х 6 ФП483и Ф11 714 ВХ [108](7) ВХ [108] (9) БХ [139] (1) БХ [111] (1) СО Ь !пхдх я а .. = — „! —, [аЬ> О]. ОО '„",~ = — ") рд Ь.>о, д>о]. о !ах Их ях = — — [аЬ > О].
й !ахах я !па 4! ха+ах 4а а — — [а > о]. о 1 СО !п х !' !их ах = — ~ альт = — О. 1 БХ [1351(6) БХ [135] (4) 10 Л [135](6) ГХ [324] (7Ь) ФН 482, Ф11614 1 х !их ях — ах=1- —, ! — х Б 1 !+х ях 1 — х !ахах 1 — —. з ' СО [О (а < 1]. 1 о'и х , сЬ= — !и 2. г (,— — ',) ~Г (ах+ Ь1ха)п 4-1в — 1)! а1п 1Ь ! БЬ ~, 2,/ [а>0, Ь>0], ЛИ[139](3) 4.2 — 4.4 ЛОГАРИФ«4ИЧЕСНАЯ 'РУННЦИН 4.24 Логарифмичеекая и алгебраичеекая функции 1 2п 42х= „— ~ ~~ — 1н2 ~. х«п!и х (2п 1)0 11 ~' ~ ~ 1)й — 1 о «=1 4.241 1 БХ [118] (5) и 1пх.]~ (1 — хо)оп ~сЬ'= — 4 .
)„24['ф(л т1)+С+)п4]. БХ [117] (3) БХ [145] (1) = — — 1н 2. о у1 а 2 4Ы1 614 и 643 1" а =1 — 1П2. х«ф х~ — 4 1 БХ [144] (17) ~ )~1 — х*.1пх 4Кх = — — — — 1О2. БХ [117] (1.), ГХ [324] (53с) о 10. ~ х]Г1 — х 1ихсЬ= — 1и2 — —. 2 1 4 3 9 о и. ~ '"*" = — „'" [гЯ)]'.
БХ [117] (2) ГХ [324] (54о) 4.242 1 СО БФ (800.04) 1 Зп+1 о «=1 1 2п о «=1 Ли [117] (4), ГХ [324] (53а) 1 Зп+1 0 й=1 БХ [117] (5), ГХ [324] (53Ь) ГГ0 БФ (800.06) [и ) Ь ) О). 1 — Ь= — 8 1Ц2- ~ 1 — хь БФ (800.05) ГХ (324] (56Ь) ~,.;;,...=-'( (-')7. 1 О 1 — — — "') х (дав 25,Г 54 У-(1 — 2~2 8У8 ~8 ~'8 3 ГХ (324) (54Ь) БХ (118] (7) БХ [1181 (8) г= х4е 3 ]дх 1ГГ 1 — х4 1 1 ~11 — х!] хдх О 4.246 4.244 1 2 3 4.245 Π— 2. 42ЦР2ЬД] хТР ННЫЕ ИНТЕРРЬ!1Ь! ОТ 4ЛЕЫЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ~ ~(ао-]-х211до — *21 2 р~а2+д2 1.
' 1' хо+до / — — ", ~С -~ е — ) 1 (и- О, Ь ~ Ч. БФ (800.02) — ( ЯГ( ~ 1пиЬ+ 1/(хо+до) (х* — д2) 212 ао-] д2 1- ~ 'ь' ао+д2 + — ", т( ' )~ ],>о, ь>о]. Ь вЂ” —,' (к( — .')]„ь — — ",ж( х" — ' )) (и) Ь>01- БФ (800.01) е ( *. *)! 1ах 4(х 1 (-- ( 1~до — до ( ]1в иЬ. У(а — х ~(х — Ь1 8а Ь 1у ".'.,. „- — '. ("(И'д"- +"(~' ')) е )] — ( 2 „— 1 2) . ГХ!224] !56х] й=х1 ив+1 (1 2 1- Т. „) .
ГХ]224]!56х] й=] 24 41х — " — ) 21п2+ '«~ — ) . ГХ(3241(55) 551 4.2 — 4.4 ЛОРАРНФМИЧНСКАЯ ФКНКЦНЯ в( — — ) !пх ах=— ~/ 1 — хв" ГХ [324] (54с) и [и ~ Ц. За айв —, з. 2п лВ( —, — ) !пх дх В'*в-та=~~ ГХ [324] (54) л 8 З»в— 2п 4.25 Логарифническан и етененнан функции ха !и х п11в р+х вш рл Нх = (1» 5 — л с1д рл) [] агд В] < л, 0 < йе р < Ц. БХ [135] (1) хП 11пх а — х и ах = лап ' ссд рл 1» а — —. а1пв юя / ИП1 314 (5) БХ [106](а) 1пх вв и 1ввп — 11 вв и — с) 1х+ р) 1х+ т> Гт — Р1 — я сьд рл ф' — уп- ')] Ц агд р ~ < зт„~ агд Я ( л, 0 < Нер, < 2, р -А Ц.
БХ [140](9)и, ИП1314(6) вв в1 1 [ 1 ( Я 1» Р л 1 и ~ Р л ) ] [~ агд р] < я, 0 < Ве р < 2, р ~ Ц. БХ [140] (11) хвв-1 1и х пв х Рп 1 — хв 4 сЬ= — — секес — [О < р < 2] 2 (см. также 4.254 2.). [а>О, 0<йер<Ц. 1 в*=,' ~~в~ [й.в>в]. в~~вв41~в~, ва(в14!в~ о ! — Ф' (р) = — С (2, р) [Ве р > О]. 1 2а хв" сЬ жв 1 — 1)А ' 1».с = — —. + 1+х 12 $в о в ! 2вв — ! и ЗТВ 1 1х кв ° 1 11А 1», ' = — „'+,; I -=1 552 2 — о ОпРБднлнннь~е интнч РАль1 от елемвнт~вньч:о Ф~рнннив 2( ' !ах (1 — р) а" 2п р 1 о1х = .
~1п а — о2 сс)()оо2+ — ~ (х-)- а)' 21п )оро )о — 1 / о [а > О, 0 < Ве р < 2 ((о ,-ь 1)]. ГХ [3241 (13Ь) 4.253 ]™-~«-"- -'=-,' (-: )( (-;)- с-;-)] [Ве )2 > О, Ве м > О, р > 0]. ГХ [324] (ЗЬ) и, БХ [107] (5) и хор" 1 и (1 — х)РР" 1пхйх= — — совесрп [О< р < 1]. Р х — и)~ !а х Ых = ип — 2Б (Х вЂ” )2, )2) [1п и + ф (Х) — Во () — и)] и ИП11 203 (18) [О < Кои < Ве Х].
2 . (,", )' — "= ',";, вЯ, р) [а.>0, р> О]. БХ [140] (6) БХ [280](12)и о1х = — совес лр [ — 1 < р < О]. Р 1 (1п а — С вЂ” ф (р,)) р дрр О, со ~ )п» и+- о 1а( ) 2 [а > О]. БХ [142] (5) 4.254 хР ')п~ ш- — — 'о ® ор>о. о>о1 гх [з24] (5) хп ' )пх 1 — хо о а = — " [0<р<д]. ав зовов д БХ [1З5] (8) 1п х ррх хЧ вЂ” 1 хР о роо — [р<1* р+ч> 1].
до 21пв — оо Ч БХ [140] (2) $ хр 11пх 1+ Ч а*= —,,', О(-') ~р > о,, > о1 ГХ [324] (7) 5. (х — 1)" '1пх 6. 1пх (а -р- х) "+ о [Кеи>0, а~ )о — а не равно натуральному числу] НИ 68 (7) и — 2 2и — о , ((п а+ 21 2 — „~~~ — — 2 ~~ — ) (ва — 1)а в=и †гх[324](1 ) ГХ [З24](16Ь) БХ [141] (1) БХ [139] (4) БХ [109] (3) БХ [109] (5), БХ [135] (1 3 ВХ [109] ((1) )*,' „*ы =~'"~. о (1пх)о = — [ (1п 2)о+ — [ БХ [118] (13) СЮ хгг-1 угу (2 — сгиг гг) 10. (1п х)о — 4х= (, ! [О< Кв(А( 1].
ИП1315(10) 11. ~ (1 ~1' =г 2 ' (у,+ 1)в гг. ~ (гг,) *,""*=г~ „'„,. 1 Ог гз ] а 1 — **"~ =- г 2! 1 — хг (2й+ 1)г 9 БХ [109] (1) БХ [109] (2) БХ [109] (4) ГХ [324] (60а) 2. з. 4 14 15 Π— 4 ОПРЕЙЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРННПИЙ 1 -- =-~ — == ° !)и х)г йх 1 (' !!и х)г Нх 1Пй~ х — х — ! — 1 2,] хг — х+1 8 ~/3 о о ! Ог !)и х)' й: 1 (' (!и х)г й. 8яз «+х+1 2 ) х+х-1-! 81 !'3 о о Ог ~( ) г!х [ггг+!)и а)г! )и а (х — 1] (х+а) 3 !1-!-а) ( ЦХ) о аа (1п х)о = — по.
(1 — х)г 3 9 ! (1п х) — = — . аЪ Й* 1+хг !6 ' (1пх) — ггх = — (1п х)г — пх ='— ло. 91+хг ! !' 1+т~ Зф2 1+х4 2 ~ 1(-хг Ы 9 ~(1 ). хР г г!х гг чги (1 — р) ! (1п х), — Х хг+2х сох !+1 хш г ыи ргг Х «Лг — Р+ 2я С(д рп [Л ССд ря+ (Сад (1 — р) 1]) [О(! <л, О< р< 2 (ра 1)]. ГХ[324](17) р (1пх)' = ' )', л( — + ~~~~ ~, + ~~ —,) +1п2] ~ .
А=1 А=1 555 й.2 — й.й ЛОГАРИО?МИЧИСИАЯ О??РННЦИЯ 16 17. ]од ) др '(1 — *) 'о*=в(р,и)((о(р) — о(~ФР))'+ о 5 (11) Ли [111] (8) 20 Ли [111] (9) 1 од. [О,) — ((-*о д*- ' в(р, д)(о ( — ')- (1п х)' — = — — жа. (1х 7 1+х 120 о БХ [109] (9) з (1 х)з — = —— 1 — з 15 о БХ [109] (11) (Ь (доз+(1п а)о(з (х+и) (х — 1) 4 (а+1) о БХ [141] (2) др-1 БХ [109] (10) п-1 1 ] ()дд) о 15 ~-1 (»+ 1)о БХ [109] (12) »=о п-1 — — 6~ 1Е + Е) (2))о+1)о ' ~(1 .)З* БХ [109] (М) 18 19 1 2п+1 хо™~ ' йх (2п) )) 1( ( роо т-~ ( — 1)» (1" х) у~ . =- (2»+1)0 С 12 с.'>» + о 1 2п+1 +~ ')~ ( ) +1Я2До~ .. ГХ[324](60Ъ) -)-ор'(р,)-ор'((2+~))] [Ке]2 >О, Ке ч > О]. ИП(31 1 п ~ (11?х)з ~, Их=2 (и+1) ~(3) — 2 ~~~~ », о п ~ (1ЯХ)2 +( " " ЫХпп — '(И+1)~(3) — 2~ ( — 1)" ' о »=1 Ли [111] (7) 1 оо п хопдо 1 п — рд+1 (11.
х) (1 )о (рх = 2 (и+ 1) Х (2»+1)о Х (2» — 1)о" о »=о »=1 о ,р ( ' .р д),. [д ( р ) — о ( р ., д) ]'] (р > о, д > о, > о1 ГХ [324] (За) 556 о — в ОЦРецеленные интеГРАлы От элементАРных ФУнкций (1 )з 1 — х ' у (и+1) л 6 '~1 и — /с+1 (1 — х)в 15 в йв О й=! 1 и — — '-) 1+( — 1)и хи' 7 (и+1) л4, ~-~ 4, А 1 и — 1+1 О А=1 БХ [111] (11) 1 — хв"" 4 (и+1) лв „~в и — 1+1 О А=1 4.263 а(х [и'а [лв+([и а)в]в [7лв+3 ([и а)в] (1 )4 (х — 1) (х+а) 15 (1+ а) [а > О], БХ [141] (3) БХ [109] (17) 64 о [!й] < л], БХ[113](8) 31л' 252 БХ [109] (20) Вдв 63 БХ [109] (21) [а > О]. БХ [141] (4) БХ [109] (25) в 4Ъ 61лв (1п*) 1+ — 256 о 4.265 4.266 127лв 240 БХ [109] (г8) БХ [109] (29) 15 4.237 1 1 — х 4[х . 2 — (п — .
1+х1их и, БХ [127] (3) 1 ]Пав ~1х 4 ( 14 — 44) (7лв — Звв) ) 1-[-2х соо 4 [-х' 3() опв ю о ( 9П*)', о 1 (1 *)' —," = 4)х [лв+()и а)в]в [Злв+()и а)в] ( пт)в (х — 1) (х+а) 6 (1+а) ~(1 *)',' = о 1 (1п ж)' — = о БХ [111] (10) БХ [111] (12) 4 Š— 4 4 Л[ОГАРИФЫИЧЕСКЛЯ ФУНКИИН 557 10 11 12 [ !1 — х)' 8[х 8т — = !и —. 1-! х8 [пх 4 о ! [в — 1 [1 — х)8 ох 1 т8,, [8 ° 18т88 тх )их тл Ь ! и 1+2х сов — +хх ~ ( — 1) е(п — х 4=1 о о „„1 Г;;,"Т ~"„'~ ГИ ( ('-"))' ('..') ("'.") 2 1 йт88 ( — 1) е1п — Х тл 88 Е[П— , 1' Г ."+'~1''('+.')'® 1 (' —.'))' с=."! с.-'."Э [.
С и]. БХ [128] (2) [т+ и — нечетно]; [т -)- и — четно]; ЬХ [130] (3) БХ [13О] (16) БХ [130] (17) [р -.~ 1]. БХ [123] (2) ГХ [326] (1О) Ф 11647 Ф 11 186 БХ [130] (15) — ° 1 — х 1 8)х !п2 1+х 1+хх )ах о 1 — х хх 8!х 21 2 — = 1п — . 1-! х 1-)-хх )й х 84 1 СО [ [[ —,[ —," — *= У, [ — [['(',)[ [88-8[ о 4=1 1 ("1 ":-р) !'."„-1п Г(р+1). о 1 [1х = )п Р [р > О, [! > О]. !пх [1 о с[-. = „(, ) „(,, ~) ! О8 ~-"+'.)'."- =-',. !"'* *.: 8*= —, ! >, * 8~= [~ (18~в ) [8 < Р < [1. х![888 2, (1 )- х) )/1 х о о 1 (х" — хо)х" ' ~~ =1п"— '' [г О, р >О, у~О].
Ли[123](5) !а х ~+д о 1 СС о — +~~ 3 ' хР— хо ~?х Р ~,~ / и+[1 — 1 '~ [8з Р [ — — = !и — -)- ~ ~Я )й !1 — ах)х х !ох д 8~ )8, )8 ) 4[+)8 4=1 [р)0, д)0, аоС1]. 558 з — а. опрмдялкннык интмгрллы от апимкнтлрных Ф~нкцив ГХ [324] (21) ЬХ [128] (11) хР 1 — хо ' 1+к~ 1+ха ~ "~> )а х 22 13 14 15 16 1 (хр — 1)(хо — 1)~ — —— 1а +о+ [р> — 1, Ч > — 1, р+о> — 1]. х (р+1) (о+1) ГХ [324] (19Ь) [р > О, д > О]. БХ [127] (7) хФ х4 1 — хг Г (~у+1) Г (рог+1) 1' х )ох Г(р-+-1) Г(д '- г о [р > — "., ~ ~ — 1, р+г> — 1, д+г> — 1].
ГХ[324](23) — =1п 18 4 [О< 1~< р] (см. также 3.52427.). 1 — хам хо ~ с)х уи о БХ [128] (6) ш ь(~д' —," сдф) ~0<р<~. 0<д< ]. о ГХ [324] (22), БХ [143] (2) рЯ ОО я)п— Их=-)п [0< р < г, О < д < г]. БХ [143](4) о з1п— г 2в ) [,2и) о г( . ') (' ., 1 Г [р > О, д > О].
БХ [128] (7) хр ~ — хФ ~ 1+хо Т+ " 'Г! ° — Ый= )п /1 ря 1 (р+2) сс о" 1 И+2)" ~ 4 (2а+1) х 4(2п+1) 8 4(2х+1) ~4)2л+1) ) [ОС р<4л, 0<Ч<4и]. БХ[143](5) 559 4 2 — 4 4 ЛОГАРИФМИНЕСНАЯ ФНННПИЯ 27 95 аа ««а — *О«а — *Е ', =ь ,) (1 — х"))нх (г а ~ /' р+д+а ) [р > О, д > О, г > О, г > 0]. ГХ [324] (23а) 88 « аО. ] «! — ~)«1 — х~] ., =2 [ «1 — ) «а-~) о о =21п.[яп сояес ' „1 [з>Оа з+р>0, з+р+д>О]- ГХ [324] (23Ь) и 8) Эти ограничения можно несколько осааабить, написав, например, в 4.267 31. и 32 а в > О, Р+8 ь О, Д+8 > О, гав ) О, Р+Д-«а ) О.
Р «г+8 > О, Д +8+8 > О, Р+Д+г+8 > О. 23 24 25 ра«(д-(-2) Я ха а — хв '1 — ха 2г 1 — ха" )н х — Ых 1п— да«р ( а)я о 84Н вЂ”. ь«н 2в 2а [0< р < 2л, С а д<2«4]. БХ[143](6) (1 — хр) (1 — ) =1 )нх «р+г) «а — (-г) о [р > О. д > О. г > О]. БХ [123] (8) « ( (1 х а«х 1, "(р-(-а') Г (д+') (1 — х) 1нх Г (р+о+г) Г [г) о $ [г>0, г+р >О, г+д> «), г+р+д > О]. ФП815и (1 р) (1 ц) (1 г) «)х 1 «)а+о+1) (д-( — г-) — (а (г+-р-(-() )нх «р+о~-г-(-1)(р-(-1«(о+1) «г-1- 1) о [р > — 1, д > — 1, г > — 1, р+ д > — 1, р+г > — 1, д+г > — 1, р+ д + г > — Ц. ГХ [324] (19с) (1 — *)(1 — )(1 — )(, ),„= «)х Г (р+1) Г (д+1) Г сг+1) Г (р (-д-(-г+1) Г (р+ц+1~ Г «р(-г+1~ Г ац-а-г+1а [р > — 1, д > — 1, г > — 1, р+ д > — 1, р-(- г > — 1, д+ г > — 1, р+ д+ г > — 1]. Ф ?? 815 ( — )(1 — )~ "* =1 "+'+""+'+'"+'+"' )н х (Р+8) (Д+8) (г+8) (Р-(-Д+г+8) о [р>О, у>0, г>0, г>О].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
