Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 23
Текст из файла (страница 23)
210 2, неопРецеленные интеГРАлы От элементАРных аРнкции 5. ~ е'" сова~ Ьх Ых = т — 1 (Ъ )! Ь й ° с " Ь, [а созьх-[-(2 — 2й) Ь. [и Ьх] ~ ! (2т — 2й)! [ае+(2т)з Ьс] [аз 1 (2т-- 2)з Ьс] ... [ае+(2т — вй)з Ьз] ь=о (2т) ! Ьзтеах [а'+(2т)з Ьз] [аз+(2ж - 2)з Ь'] ... [аз+4Ьз] а ( ) [- —,, 2 ( ~),, [ 2йь*.[.2йь ) 2жщ з-1 6. ~ е сов' +'ЬхеЬ= (2т+1)! Ь'[)еах соз'т ей Ьх [а со1 Ьх+(2тп — 2й+1) Ь з[п Ьх] .с~) (2т — 2й+1)! [аз+(2т+1)е Ьз] [аз+(2т — 1)з Ьз] ... [ае-[-(2т — 2й+1)з Ьз] й=о ш — ( ),, [~ со~[2Ж+ [) Ь .)-[2Ш-). [) Ьв [2Ш.[.1) Ь~).
2.663 еа (а з!и Ьх — Ь соз Ьх) е в1п Ьхах= а~+Ьз а„. 2.Ь ~, е"" з(п Ьх (а зпп Ьх — 2Ь соз Ьх) 2Ь*еах 4Ьз+ае (4Ье+ ае) а еах еах /а 2а ае+4Ьз [ 2 [ — сов 2ЬХ+ Ь в1н 2Ьх с""(асоз Ьх+Ьз[п Ьх) с- сов ЬХ[зг= ай-]- Ьз ~а й ' *Ш вЂ” -[- з Ь ес соз Ьх(а соз Ьх+2Ь з!и Ьх) + 2Ьзсах 4Ьз+аз (4Ь*+а*) а еах еа )'а = — + 2а ае+4Ьз ~ 2 ~ — сов 2Ьх+ Ь в1н 2Ьх 664 Г ех - Ь 1 еах Г а з[п(Ь+с) х — (Ь+с) соз(Ь+с) х ° е ПН ХсовсХ Х 2 е+(,+ + а з!и (Ь вЂ” с) х (Ь вЂ” с) соз (Ь с) х ГХ1 [3341 + аз+(Ь вЂ” )з $ [ )( ~) еах Г асозсх+сз]псх 2. е ' в1нз Ьх сов сх [сх = — ~ 2 4 1 аз+ с* а соз(2Ь+с) х+(2Ь+с) з!п(2Ь+с) х аз+(2Ь-1 с)* / асов(2Ь вЂ” с) х ! (2Ь с) з1п(2Ь вЂ” с) х ] ГХ1с334! бс аз+(2Ь вЂ” с)е 3.
~ е в1н Ьхсовзсх[1х — Г! 2 ФВ еа" Г аз1п Ьх — Ьсоз Ьх аз+ Ь* + а з1п(Ь+2с) х — (Ь+2с) соз(Ь [-2с) х аз+ (Ь+ 2с)' а зйп (Ь вЂ” 2с) х — (Ь вЂ” 2с) соз (Ь вЂ” 2с) х ] ГХ1 г 334' б 1 + аз+(Ь вЂ” 2с)* 2.5 — 2,6 тРИГОНОеИЕтРИЧЕСКИЕ Фееик11ИИ 2. совзе Ьх 2.666 рах е ез *е — — 'ее' '* — — ( е ее" '*е* — ~ р" еех 'хех р — 1 р — 1 ) Т ~э27) Еах СЬдРХЫХ= — '"'ех"*+ ' ( р"е - *г*- ~ р*.ее —,е*. т~ззее — 1е еа (,ах 1 Г еахдх е'х Сд х е[х = (см.
примечание к 2.665). а а ) сове х р*ее*хх*= — ""~ ее* — ц-.)е"ее,х, ~е, зхиз>, тззз еахс1ах 1 р еа" хзх е'" с1д х езх = (см. примечание к 2.665). а а ) в(вз х еах е "с1дехе[х= — — (а с$дх~-1) ~-а ~ е'"сйдхезх (см. 2.6665.).- а Интегралы т и и а Л (х, е, я[п Ьх, соя сх) е[х Ь Обозначение; я(п8=— У -[-Ь' ' а соя 8= У аз+ Ь' 2.667 хееаХ 1 ') ° еех Зххх= р е,е ! е* — Зее З~)— — — 1 х" 'е х (а я]п Бх — Ь соя Ьх) с[х; аз+ Ьз,) я1п(Ьх-[-1) — р ~хР 'е ян1 (Ьх+ Г) М, у' е+ь ,У аа+Ье .1 х"е'" соя Ьх Ых = — — (а соя Ьх+ Ь я1п Бх) — — з х" 'е (а соя Ьх+ Ь я1п Ьх) с[х аз+ Ьз соя(Ьх-]-8) — р 1 х" 'е1 соя(Ьх+1)Ых.
У" аз+Ье У'аз-(-7~ ) еах езх еа* [а в[в Ьх ( — (р — 2) Ь сов Ьх] в(вР Ьх (р — 1) (р — 2) Ьз взиР ' (ех ае+(р — 2)'Ь' Г е "хзх (р — 1) (р — 2)Ьз,) вшР з Ьх еа" [а сов Ьх — (р — 2) Ь в1в Ьх] (р — 1) ( р — 2) Ьз совР з Ьх + а" +(р — 2)з Ьа (' е"х х(х Т х529 (р — 1) (р — 2) Ь' ~ совР з Ьх Пос 1едовательным применением формул 2.665 при р натуральном мы Г еа" Нх Г еах ~(х Г е"х ах Г еа" дх Р 4 'Р Д,) ( Ьь ' ) 1 * ' ) Ь ' ) которые не выражаются с помощью конечной комбинации злементарных функций. 216 а.
ЫеопРеделБыные интБГРАлы От элБНБнтАРных юРыкции (~2222 ~ ~ 2И 1 22. ) 22 122+2)оав~)~+4)42 + ...„, ~~ . „я1)) [(2п — 2й) (сж+ с()]+ ('") "' (") о=о (') -' ( ) + --",—,„—, ~ . яЬ [(2лз — 2у) (ах+ Ь)]+ + 22свосвв 2 Х Х (2и2 — 2У)вав+(2)2 — 24)2с* )=О )в=о х ((2т — 2у) а я)) [(2т — 2у) (ах + Ь)] соя [(2п — 2й) (сх + 4у)] + + (2п - 2й) с сЬ [(2т — 2у) (ах ( Ь)] я(л [(2п — 2й) (сх.+ 4у)]). ГХ1 [354] (6) 14.
) 22 ')~-/-Ыаов )~4- М)42= — яЬ [(2т — 2у' — 1) (ах+ Ь)]+ (2 ), (2 — 1) )=О (ва — 1) (2 22~+~~ 2 ~' ) с 4 (2)ыв — 21 — 1)22)а+(2)) — 212)2 с* х )=о ~о Х [(2т — 2у — 1) а яЬ [(2т — 2у — 1) (ах + Ь)] соя [(2п — 2ус) (сх+ а))] + + (2п- 2й) с сЪ [(2т - 2у — 1) (ах+ Ь)] я1П [(2и — 2ус) (сх + 4()]). ГХ1 [354] (6) 12. [ 22 )22+2)оов'"')оа-~-а)222= яа [(2п — 2й — 1) (сх+ 4()]+ ('=) '-' ( ') )2 — О (2 ) (2 -1) 22св'222 с с-) е-4 (2т — 2> )сас+(222 — 2й — 1)2 сс с=о ) — о х ((2ж — 2у) а яЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] соя [(2п — 2й — 1) (сх+ с()] + + (2п — 2й — 1) с с1) [(2т — 2у) (ах+ Ь)] я1п [(2п — 2й — 1) (сх+ 4У)]). ГХ1 [354] (6) 22.
[ а2' ')ж*+2)а в ')~4-4)Ш, (2 — 1 ) ( 2 — 1.) 2 ' ~ ~ 12 — 21 — 1) Юв-)2 — 22 — 1) Ф го )=о х [(2т — 2у' — 1) а я)) [(2т — 2у' — 1) (ах+ ЬЦ соя [(2п — 2й — 1) (сх+ ф]+ -(- (2п — 2й — 1) с сЬ [(2т — 2у — 1) (ах+ Ь)] я1л [(2п — 2й — 1) (сх+ Щ.
ГХТ [354] (6) 2.7 лОГАРНФмичкскАя Фгнкция) Фгнкции, ОБРАтныи ГипжРВОли]нским 217 2.674 е(а+ьЬ а с'а я1] Ьи яш сх ((х =,, [(а+Ь) я(н сх — с соя сх]— е (а — Ь] а — [(а — Ь) я1Рв СХ вЂ” С СОя СХ]. 2 К вЂ” Ь)*т 22) е( +Ь]* 2. е яЬ Ьх соя сх()х =, [(а+ Ь) соясх+ся]и сх]— (а-ЬЪ 11 [( — Ь) +ся1н 4]- е(а+ь] а 2. ~ с сЬ Ь~всп с~с)~= — [)в.)-1)в!и — с си сх]-)- 2 [(а+ Ь)2+22) Е[а — Ь] х +,, [(а — Ь) я(н сх — с соя сх]. е(а+Ь) а 4. '] с сЬ)всю 4*=, 1 ' и,, [1~44)* всс)-св) х])- е(а — Ь] а + ' Ь 2,2 [(а — Ь) соясх+ся1нсх].
МфК 379 2.7 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ; ФУНКЦИИ, ОБРАТПЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ 2.72-2.73 Логарифмическая и алгебраическая функции 2.721 1 х))'1 нив х х" 1п х(Ь= — — 'ь х" 1н 'х(1х (см. 2.722), а+1 72+1 ] При и= — 1 1с хдх )22 "з х 72)+1 При и= — 1 и т= — 1 $ ~-Ьс[)пх). Ха 2 (на) Ь 2722 ]х" 1и Ш = — 21 — 1)~[вв4-1) [~ 1), [вв Ь.) 1) >в+ 1 (а+1)й 1 2=О Т (604) 2-723 1. 1 х")и Ь +' [ 1",— 4,7) Т 375 2.71 Логарифмическая функция 2.711 ~ ) ~Ш* *1и и — ) )» 'хех= )В = — '>' ( — 1)" (т+ 1) т (т — 1)... (т — й+ 1) 1и " х [т > О). Т (603) а2-']-1 2.7 лОГАРиа«мическАЯ «РРнкция, «Р,«нкции, ОБРАтные ГипБРБолическим 219 2.728 1 5 ~«.<'+«>4*= ~ «(*"" — «::~)«п<'~-~>+ «««+1 1 ( — 1)" х«а "'аа" 1 '-+ ~ (--. 2)— Г 4 ах $ 1 Гх* ах1 х1п(а+ Ьх) Нх= — [хх — — ~ 1п (а+ Ьх) — — [ — — — 1 . 2 ~ Ь43 2[ 2 Ь)' 1 Г ахи 1 Гха ахх а4х 1 '1 (а+ Ьх) Нх = — [х'- — ~ 1п (а+ Ьх) — — [ — — — + — ~ Ь ! 3 [ 3 2Ь Ь* ] 1п (а + Ьх) х 4 [ Ь ) 1 (а + Ь ) 1 Г х4 ахх а4х4 аах ) 4 ] 4 3Ь + 2Ь4 Ьх х'" 1п (ха+ а') сЬ вЂ” Ь'"+' 1п (хх+ ах) + ( — 1)" 2а'"+' агссд —— 2а+1 ) а 2 ~~~ ~ 1) аз -~~хвой 2Ь+1 4=0 2.73$ хх"+7 1п (хх-).
ах) а)х = — 4Г(хх"+4+ ( — 1)" ах"'х) 1п (ха+ аэ) -)- 2а+1 ~ в+1 7 11а-а Ч «) ай«« — 2В+2х24 Ь 4=1 2.732 2.733 1п (хх-)- ах) Ых = х 1п (ха + ах) — 2х+ 2а агой х . х 1п (х~ + а~) сГх = — [(х~ + а~) 1п (х~ + а~) — х~]. Д (623. $) ха1п (хт+ ах) 44х =-ха- [хх1п (ха+ а4) — — ха+ 2ахх — 2ах агой — 1 . Д (623.2) хх1п(х*+ах) ах= — Г(х4 — а4) 1п(х*+ах) — — +аххх1 .
Д(623.3) 2 х4 1п (ха + ах) ~х = — Г хэ 1п (х*+ ах) — — х4+ — аххх — 2а4х + +2«а-«д — ] . д«мз,о Г )и (а+ Ьх) 2, ~ ах с помощью конечной комбинации элементарных функций це выражается; см. $.511 и 0.312, 2.729 20 2. нжонржджлжнныж интжггллы от элжмжнтлрных еь нкции Х"'1П ~Х~ — аа~аХ= 1Х'"'1П)Ха аа~+а2" 11П~ + 2п+1 ~ ~х — а~ п 2 ~~~ а2 -2~х2"+1 ~ 23+1 2.734 х'"" 1в ~ х' — а' ~ Их = (х'"а* — а'"") 1в ~ х' — а* ~— 1 2п+2 ~ в+1 а2п — 2А+2Х2)4 — й й 1 2.735 2.736 1. У х+а 1п ) хг — аг ) г)х = х 1п ( хг — аг ( — 2х+ а 1п ( — ( . Д (624) 1 х 1в / х' — аа ~ Ых = — ((х' — а') 1в ) х' — а' ~ — х').
2 ю х'1п)х' — а')г)х = — 1хс 1п(х~ — а'( — — х' — 2агх+ас1п( ( '(( )х — а ) Д (624.2) хг(п(х' — а') Кх= — 1(аа — аа)1п)хг — а'( — — асса). Д(3243) х41п~ха аа~(~~ 1 ~~ь1~~~2 22~ 2 ~О 2 а~а 2 О + ас 1п ) — () . Д (324 4) 2.74 Обратные гиперболические функции 2.741 АгвЬ вЂ” 4)Ь = х АгвЬ вЂ” — ~/ х'+ а' . а а 5 АгсЬ вЂ” Их = х АгсЬ вЂ” — )/х2 — а' а а Д (730) АгсЬ вЂ” * >0 [АгсЬ вЂ” ( О) Д (732) = х АгсЬ вЂ” )- Ьг х' — а' Аг1Ь вЂ” ах = х Аг$Ь вЂ” + — 1п (а' — х').
Д (734) Агой — Их = х Агой — + — 1в (ха — аа). а а 2 Д (736) 2а742 хАгг)г — Ых=( — + — )АгаЬ вЂ” — х 4/хг4.аг а ~2 4,/ а 4 Д (730. 1) хАгсЬ вЂ” г)х=~ — — — )АгсЬ вЂ” — — 1 х — а [АгсЬ вЂ” >О) х га х2 а~ Х Х 2 2 Х а „~, 2 4 3 а 4 ~ а Ф ) г — — ) АггЫ вЂ”.(- — "Г'хг — а' [АгсЬ вЂ” < О ) . Д(732.1) 2 2 2. неОпРеделенные интеГРАлы от элементАРных ФРнкции Д (525) Д (528) 2.831 (см. 2.263 1., 2.264, 2.27) х ха~ х 1 Г х~+1 Их х" агссов — Ых = — агссоз — + — ~ а а+1 а и+1 ««/ з з (см. 2.263 1., 2.264, 2.27).
Г агсвш х Г агссовх При и= — 1 эти интегралы т. е. ~ сЬ и ~ Их сноконечной комбинации элементарных функций не выражаются. агссов х , л , 1 (' агсвш х ах = — — 1п — — ~ х 2 х ) х 2.832 мощью 2.833 5 агсв1п х ~х агсвш х 2 °,г (а — Ь) (1 — х) (а+Ьх)з Ь (а+ Ьх) Ь у аз Ьз В~ (а+Ь) (1+.с) 2.835 2.836 2.837 х агсв(в х Нх = х — ~/1 — хв агсв1д х. «~ 1 — хз агой — Их = х агс~~ — * — 2 1д (а + х ). й й агосйд — с~х = х агссйд — + — «д (аз+ хз). а а 2 2.83 Арисинус, арииосииус и алгебраическая функция х хй'з . х 1 Г ха'1 с~х х" агсв1д — ох — агся1д а и+1 а а+1 ~ «/ з з х агсв1п — Их= 1 — — — ) агся1п — + — )г а — х .
а ~ 2 4 а 4 х х хагссоз — йх= ~ — — — ~ агссов — — — ~ а — х . а ~, 2 4 а 4 1 . х 1 . х 1 й+«~й~ — хз — агся1д — сЬ = — — агсз1д — — — 1д хз а х а а х 1 х 1 х 1 а+ «Гй~ — хз —, агссоя — Ых = — — агссов — + — 1д хз а х а а х агсв(п х 1 «/(й+ Ь) (1+х)+ «/ (Ь вЂ” й) (1 — х) Ь (а+ Ьх) Ь «/Ьз йз у/ (а+Ь) (1+х) — ф/ (Ь вЂ” й) (1 — х) х агсзш х „агсвшх 1 «~ с+1х (1+схз)з 2с(1+схз) 2с «/с ( 1 «/1 хз агсвш х 1 ф~1 — хз+х «' — (с-) 1) 2с (1+сх ) 4с )à — (с+1) «Г1 — хз — х )/ — (с+1) [, з ~ Ъз].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
