Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 20
Текст из файла (страница 20)
~ — — = ~ Фох — = —, 1п— ~ зоях Л ~ о Л 2й' А — й'' Г совхоз Г Их 1 1 — Л 74. ~ —.— — = ~ с$8х — — 1П ,) я1пх Л,) Л 2 1+Л Их Л соя х 1 +й Л -~-соя х 1п Ляш" х 2яшзх 4 А - соях 76. дх Л 1 Л вЂ” Й'з1ах —, 1п Ь зшз х соя х яш х 2й' Л+ й' я1а х ' Ых Ь 1 Л вЂ” соя х + 1П Ля!пхсоззх й'зсоях 2 Л+соях дх Аяшх 2йз — 1 Л вЂ” й яшх Лсо з Л ~соя~ + 4йз Л+Й Г з1пх Их А 79.
.) созз х Л й'з соз х Г соз х Ых Ь 80. " —. ~. зйРх Л зшх Г яшзх Жх 1 А+й' я1пх 1 81. ~ — = —,1п,'. — — агсв1п(йа(пх). соя х Л 2Й' Ь вЂ” й я1ах й 83 1 ~ ., — — — ( — Лсщ — ь(2й +3)а~я*+а+2)Р(*, з— — 2(й'+ 1)Е(х, й)) 84. ~ А;, = ~ (18х+2с18х+сйцзх) — = . Ых Их Ь 1 1 Л+Й' Йз+2 1 1+Л 2зпРх 2Й' Л вЂ” й' 4 1 — д "5 Л зпР х сояз х Л = ~ — „— сали х~Ь+ „.Е(х, й)+2Е(х, й). 86. ~ . х = 1 (с1дх+21дх+1дзх) ~~ = 1 Л зшх соззх Л А 1 1+А 2 — Зйз А+ й' — — 1п +,, 1п —,. 2Й'з сОяз х 2 1 — Л 4Й'Я Ь вЂ” Й' + '2~, " з ~*, а>) . Г я1ах зх Г Жх Л Йз Л+й' 88. — — — = 1з~х(1+1а х) — — 2~,з з — 4Й з1пд — йу . Г соя х Ь Ь йз 1+Л 89.
— — — — 1п —. яш х Л 2знРх 4 1 — Л 18$ 51пзх Ох ( фзх Ь 1 — дх= й,з ЧДх — —,, Е(х, Й). 1.::*. - "Г со в 5 х 11х с 185 х д Л ' — = —,+--,1 зшвх Ых Л 1 1 А+й' созх Л йз 2й' Л вЂ” й' сов'х пх Ь 1 1+Л = — — — 1п в1пх Ь йз 2 1 — Ь ОЪ (3 (1+ йз) 51аз х+2) Зйз+2йз+3 Л+сов х Л свях+ 1п Ь з!п4 х 851П4 х 16 Л вЂ” совх Ых (3+2йз) зшз х+1 1 Л вЂ” й' зш х Л вЂ” —,.
1п Ь 51П4 х еоз х 351П45 2й' Д (-й'51пх ах (3 йз) ып' х й' йз+3 Л вЂ” еоз х Л+ 1п ЬВИРхсоззх 2й'4яп'хсовх 4,$-) еовх зх (3 — 2й') 51П1Х вЂ” 2й'з Л 4йз — 3 1 Л+й'вп1х Ь 51пз х созз х 2й'5 51П х еозз х 4й'" Ь-~-'й' 51п х Ох (5йз — 3) ып' х — 6й*+4 Л 1 л+*оз х Л вЂ” — 1п Д в!а хсовз х Зй'4 созв х 2 Л вЂ” сов х Ых 3(2йз — 1) ВОР х — Зйз+5 Ь созз х 8й'4 соз4 х Ляшх+ 8й4 — 8йз+3 Л+й' 51пх — — 1п + 16й'з Л вЂ” й' зш х 93 94 98 2.585 Л 3 Ь вЂ” а(2р )- 1)(1-~- /сз — 2аз)св) ~ (~+~ш ) Л 11 111 Й1) 114" 1 4 ] Ь ~4~ — 4, а~~1, 51П Х С054 Х вш4 х 51пз х СО 54 Х созз х со54 х 5154 х 51П Х СОВ Х 2 б — 2 З ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ зх 2йз сов* х — й'5 Л Л Зй'4 со54 х 1(х 2йз 51пз х+ 1 Л 3 пз 1)х Ь зшх 1 Ь+й 51пх , 1п Л 2й' совз х 4й'5 Л вЂ” й' нп х 11Х л сов х й 5 1 ь+созх Л 2в1п*х 4 Ь вЂ” сов х — + 1п (Й соях+ Л).
41х ' — Ь 1 — — — — агсз)п (й 51п х) Л 51ПХ й ах Ь Мах 1. Ь+й' 51П х 2й*+1 Ь 2йз 2й' Л вЂ” й' зш 2й-' 184 я. нвОнгвднлвннын интнггллы (зт элнмннтАгны~ сзгнкнии Этот интеграл сводится к следующим интегралам: г . 4(х (Ь+ соя х)2 А 1 Г язпхЬ 41 2)зя+2Ьязся) Ь 1 (зх (1 — Ьз)(Ь' +Ьз)зз) Ь Ь+ооя . ' ',) (Ь+ )А + +241 ~ '4;"'4* — Й*') ""' *'4*] (, . 2.481 2., з., 4.). 41х 1 я1п хЬ (Ь~- осе х)я А 2 (1 — Ь*) (й'2+аз) ! (Ь+ соя х)2 — ЗЫ( — 24' — Ж'Й ) 1 — (24'-1-84'Й') ~ — 244'р (м, Й)~ (ам.
2.288 2. 2.487 4.) 2.589 (с+$я х)))'з Ых Ь 1 ((танк*) 4 (2 Й ( ( (ЙЗ ) "з (р+2) й'з ( сояз х ~ Ь А З-(2Р4 1)С(1ЙЙ' 4-2~4") ~ ( — (1 ")«- ')5' ". *1 ( При р= 22 натуральном атот интеграл может быть сведен к следующим трем интегралам: 3 . ~ — -- — БЬ= — Ь,з Фдх А+ сяР(х, й) — — „Е(х, й)+ —, )н —, Г (с+Ьах)з Я(П Х СОя х Ых (сз — (1+ сз) язоз х) Ь где 5. Я!п х сОя х (з)х 1 )/ 1+сзь'2+)/ 1+сз А — 1н (с — (1+с ) я)п~ х! Ь 2 )/ (1+сз) (1 ) сзь 2) )/ 1 '.
сзь'з — Ь/ 1 ) сз Ь 2,591 с)х 1 А (с+Вя х)" А (и — 1)(1 ) сз) (1+йзсз) ~ (с+фх)Й)'2 сояз х + -(- (2 — 3) с(1 -(- Й ~ .р 2, Й (] ~ -Й(48-(З)рз*~, „'*,„„-( -З)Й ~...,'*,,„Д 2.» — ».6 тРИГОПОМИтРИЧЙСКИН ФРНКЦИИ Этот интеграл сводится к интегралам: 2. ах ( — Ь (с+1$х)2 Ь (1+62)(1+В 2ах) ~ (с+В~х)со22х +с(1+Ь" +2с2Ь'2) ~ — 2с)с" ( '+ О с(х+Й" Г ( + )6 ) с(х1 ,) (с+Сд х) Ь ~ Ь .) Ь (см. 2.589 2., 3., 4.). 3. ))Х (х+$~ х)2 Ь 2(1+62) (1+Ь'2»2) ( (с+Сд х)2 соэ2 х 6.6,11-,-2-6.2"12) ~ . — )1-)-2' „'-6РЙ'') ~ 6-2х2' )х)х, В)) 1х». 2621 2, х 2.266 6) 2.592 (а+ з)а2 х)" хх ) Ь Рекуррентная формула Р„.,=, +. „, ((а+в1нхх)" а1пхсовхЬ-(-(222+2)(1~-)сх+ЗаЮР„, ' — (2л+ 1) [1 + 2а (1 + ))сх) + За9сх) Р„+ 2иа (1 -)- а> (1 -(- /с ха) Р сводит этот интеграл при и целом к интегралам 2.
Р, см. 2.584 1. и 2.584 4. 3. Р см. 2584 1. При а=О Ж37 (124) я 6. Т= (ь+~ 21О2Х) Ь вычисляется при помощи рекуррентной формулы: — (2)2 — 3) (д2+ 2Ьд (1+ Ь2) + ЗЬХЬ21 Т„,2+ 2 (22 — 1) Ь (Д -(- Ь) Ц ~- ЬЬ2) Т„~. 2.593 (Ь+ СОВ ~)~ '»22 ) Ь Рекуррсптная формула (2 ) 2 ~(() + соа ) а1в сов )1 (2~ -)- 2) (1 — О2с — З()Ь~) (3 + +( +1)(Ь"+2Ь(Ь' — Ь) — ЗЬ ЬЧ()„— 2аЬ(1-Ь)(ЬХ вЂ” Ь Ь)О.,), сводит этот интеграл при и целом к интегралам: 2.
~2 см. 2.584 1. и 2.584 б. 3 До см. 2584 1. 6)Х пГ 1 4. л П/х, — —,Ьй. (ь+- Оа2. ) Ь ь+1 П ~. ' ь+1 186 2. неопРеделенные интегРАлы от длементАРных сРРнкции При 6=0 5. ~ ~,* см. 2.584 72. 2.594 д (и (С+йИ2 Х)» 4(Х л Рекуррентная формула .(.(2 .81)(1-2,(1-,,4")-,-2рп )Е„.(-2»с((-с)(1 — ПП)Е,,) ж 37(123) сводит этот интеграл прн и целом к интегралам: 2. В2 см.
2.584 1. и 2.584 90. 3. Вв см. 2.584 1. При с=О с))4. 2.582 5. и 2.808 И с р с ~Е(»1»д алев, )рà — — р'»1»)~4» вр р'>1 Обозначение а= атсв1п(рв1п.т). Основные формулы 1. ~, = — Р(», — ) (р' > 1!. ВФ (282.00) 2. Р)~1 — р' 1 ' В =РЕ(», — ) — Р Р((, — ) (р'>Ц. БФ (283.03) ц(, , ) (1х 1 П г 2 1 (1 — г'в)в~х)у 1 — рввш' р ~ рв Р / БФ (283.02) Д ввл цара вва ~ Е(( л, сап», Р'1 — р' 1' )8» при рв) 1 можно пользоваться формулами 2.583, 2.584, произведя в них предварительно следующие изменения= 1) ()2 заменить через р; 2) ()2'2 через 1 — рв, 3) Р'(ж, $) через — Г(а,— ). 4) Е(»,2) ар»~ РЕ(а,— ) — Р(а, — ).
Например (см. 2.584 15.): 2.596 1. ,('. ~ ссвп х 1'Рх в1»хссах 1/ 1 — рвв1»вх 4рв — 2 ~~ р 1 и )/ 1 — р'21»2 х Зрв в)»хсовх)/'1 — рвв)»пх р2 — 1,/ 1 ') 4р' — 2 ~., / 1 188 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬ1 ОТ ЭЛЕМЕПТАРНЫХ алРПЕЦИЙ йв заменить через — рв; 2) й'в через 1+рв; Р(х, Й) через Р~а, У1+" ~' ~'1+ )' Д( Ц У 1+.)рвД( Р ~) рв У 1+рв ' У 1-)-рлв1пл х — Ы (й сов х+ Ь) через — згсвнг 1 . росях р у1+р' ' Ь вЂ” ыю(л ! ) ллр — Ъ)р ! *.рр Гл-р'~~ ' ) .
р Например (см. 2.58490.): (см. 2.584 37.): 2. Их Е~~а, У'(1+рвв1пвх)в У 1+рв ~ ' У 1+рЛ 2599 И р л лллл )В)ю л, лл,'л/*1' — 1)И [ >Л) а сов х Обознзчение: а=агсз1н У ав — 1 Основные формулы: ~)гжь'* — гш=1р(, " л) — в(а," 1)) '>1). БФ (285.06) ц п(,;;, ' ) дх (1 — хвв1пвх) у ар виар х — 1 а (рв 1) ~ ав (рв Ц а [ав» 1, хв > 1]. БФ(285.02) и [ав ) 1]. 5. 6. (ав1нх+ у'авз(нвх-1) [ав > 1].
а.б сов х У а" вшвх — 1 3) 4) 5) 6) я1п х 1х а У ав в(пв х — 1 сов х ах у а* в)прх — 1 ррх в1п х у' ар я(пах — 1 1 ( $ах Е(а, 1+ у 1+рв ~ у 1+рв/ у 1+рввшвх ЕРО — - — [ав > 1]. у'ав я(пв х — 1 р" ' — 1 ~ *-рУи 'м* — 1 1п 2 ~/ ар — 1 у ар — 1 вш х — у' ав в(пр х — 1 [ав» 1]. 189 2.2 — 2.б ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 8. ')/ ав в|пв х — 1 2 )/ ав — 1 1/ аз — 1 — 1/ ав впР х — 1 сна х а|х 1 9.
~ = — агсзш —. [ав ) 1]. д )/ авв1пз х — 1 а в1пх збзз д ы маша змр ла ~л (аз~*, за,'з/ааэа'* — з) за|а') 1) можно воспользоваться формулами 2.583, 2.584. Длп этого надо: 1) В правых частях этих формул произвести замену следующих функций равными им интегралами: Г[х, й) Е1х, /с) заменить через заменить через — — 1н [)с соз х+ Ь) 1 заменить через 1 — агса1п [Й И1и х) й заменить через 1 Л вЂ” сов х 2 Л+ сов х 1 Л+й'вп|х — 1п 2й' Л вЂ” й' в1п х заменить через заменить через Л+ й' 2й' Л вЂ” й' 1 — Л вЂ” 1п— 2 1+Л заменить через заменить через 2) Затем в обеих частях равенств в этих формулах заменить Ь через |]/'авя|пвх — 1, й через а и й' через 1 — а'. 3) Умножить обе части полученных равенств на |, в результате чего в обеих частях равенств должны оказаться только действительные функции [а' ) 1).
4) Вместо интегралов, стоящих в правых частях равенств, подставить их значения, взятые из формул 2.599. Примеры: 1, Равенство 2.584 4. переписываем тан: в|п Йх= —, 1 Г з|х 1 à —, ) ЧжтуЫ:Га* |' 1/ а*впРх — 1 а* | 1/ азв1пвх — 1 а' откуда получаем: 'Л:.; .,+) '"-" — .)= — — Я(а, ) впР х р|х 1//аз зппв х — 1 [ав) 1]. 2а4 |ав — 2) в|аз х — |зав — 5) ав зшхсовх— Э |1 — ав)в Р 1/ |ав в)пв х — 1)" 1 Г ||х 2ав — 4 з<ю "73;р..
„.;, з~з — 'З 1б )/а|аз впРх — 1)б 2. Равенство 2.584 58. переписываем тан: 1Ф ~ ьаа в)п х р|х Л 3 сов х р|х Л в|с х 5 Л сов х з 19Р г. нвопгвдвлвннык инткг~ллы от элвмвнтАгных е~нкция откуда получаем: Й)х 2ал (ау — 2) з) пу х — (Зап — шы) ау в1п х сов )с (ар з!Нр х — 1)Й В (1 — ау)2 ~/(ап з!1)2 х — 1)2 х (1 ' — 2)Р (, ) — 2 '1 '-2) В (х, 3. Равенство 2.584 71. переписываем так; ах ЩХЙ(Х з)вх свах! у'ауз)вух — 1 ) 2' у'аузвйух — 1 й 1 х+ З(1 2)2 Й у ауз)вух — 1 Л [вгл х, сов х, ~/1 — /Вз совах ) Ых = = — д(в1пх, совх) — А ~ — В ( — йзсовзх !ах.
)!'1 — ))су сову х Входящие в это выражение интегралы находятся по формулам: вх ( . ЗЙВХ 1. — (, .). — = Р (агсвп), Й~) . ')Р 1 — )су созр х ~ )Р 1 — Ьусозу х / г1 )сзсовз г, ( . юв )21 хр ~ю с~~* ~с 1 — )уусвзух / $! 1 — Вусоз'х 2613 Интегралы типа ~ Л (в(пх, совх, у'1 — рзсовзх) !ах [р> 1]. дил сыл л с рвло влив )н(в! *.,У! — рушр*)л* [р > 1] поступают так же. кзк и в 2.612.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
