Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 15
Текст из файла (страница 15)
)< а Ь а+Ь вЂ” ),' а~ — Ьс сЬ вЂ”. 2 «х х+а х — ач 1. 1 — — =совесЬа ~1псЬ- —.— — 1 сЬ вЂ”, сЬ а-)-сЬ х 1 2 2/' =2совесЬаАг(Ь!' сЬ вЂ” *, 1Ь вЂ” !. 2.. =2совесаагсьп(ЬЬ вЂ” Ь3 — ) . <(х Г х а~ сии а+сЬ х 2 2) 2.445 А+В вЬх В +А Г с<х (а+ЬсЬх)" (и — !) Ь(а+ЬсЬх)" 1 ! (а+ЬсЬх)и ' Прв и= 1: 2. ~ * Ы вЂ” — 1 <~ <-6 сй»! <-А ! <~» 2 <433!. 2.446 А -(- В сЬ х В вЬ х (с ! < Ых)" (1 — и)(с+сЬ х)и и ! (и — 1)! (2и — 2й — 3)!! с" + (еА+ — В) „вЬх~~~~ ~ (, „„„- [в= — ~1, и 11.
Ь=О При в=1: ~ »-<-в»* < <<»+< ! <<< ь*— с+сЫ х вЬ х [е= *1]. 11ри вычислении определенных интегралОм с помощью формул пп. 2.441 — 2.443 в 2.445 нельзя переходить через точки, в которых подынтегральная функция обращается в бесконечность, т. е.
через точки т= АгвЬ( — — ) в формулах 2.441, 2.442 и через точки а ~ х=АгсЬ ( — — ) ь) в формулах 2.443, 2.445. Формулы 2.443 при ах= Ьв неприменимы. В этих случаях вместо нвх можно применить следующие формулы; 123 2.447 [а> ~Ь~]; [Ь > ~ а ~]. МфК 215 (и) Мф К 215 1. ах — Ь )я сЬ[ х+Аг1Ь вЂ” ] Ь'ъ сЫх* =~ [,> Ь. асЬх+ЬвЬх аь — Ьс а ! 1]з а ь — ах+- Ь 1с вЬ (х+Аг1Ь вЂ” ) [Ь > ~а)]. МфК214 и 215 ах 1 (а СЬ х+Ь вЬ х) у (аз 62)я сЬв ~х+ Аг1Ь вЂ” ) Ь а) ф' (Ья ас)а сЬ" ~ х+ АгСЬ вЂ” ) П~и а=1: — -сс .ь(,-ьл,~ь ')) ~,> ~ ь|Ь а х+ АгавЂ Ь $Ь 1 1П $' Ья — ас [Ь> )а~].
При а =Ь= 1: МфК 214 2.ь ГИПЕРВОЛиссЕСКИН СьУНКПИИ Б а )гссЬ~ х+Аг6Ь вЂ” ) — Ьх вЬ х ах а асЬх 1 ЬяЬх ая — Ьс а Ьх — а! и вЫ ~х+ АгСЬ вЂ” ) Ь ) При а=Ь=1: вЬхссх х 1 -гх = — „+ — е ях, сЬ* )-вЬх 2 4 При а= — Ь= 1: яЬ хая х 1 ях 3. = — — + — е ,) сЬх — вЬх 2 4 При а=Ь= 1: сЬхссх т сЬ х+вЬх 2 4 При а= — Ь=1: сЬхах х 1 сЬх — яЬх 2 4 2.449 3. ь = — е х=яЬа — сЬх. сЬ х+вЬ х При ахх — Ь= 1: 4.
„, =е"=~Ь +~В~. [а> (ЬЦ; [Ь> )а Ц. 124 в иеОЦРеделеннык интеУРАлдд От элиментАРпых ©Уцкции 2.4Ы А+В сЬ х+С вЬ х Вс — СЬ+(Ас — Са) сЬ х+(Ад — Ва) вЬ х 1. Нх— (а+ 6 сЬ х+ с зЫ х)» (1 — и) (ад — Ье -) е') (а+ Ь сЬ х-(-с вЬ х)» д + Х 1 (и — 1) (ад — Ьд+ се) Х (и — 1) (Аа — ВЬ+ Сс) — (и — 2) (АЬ вЂ” Ва) сЬ х — (и — 2) (Ас — Са) аЬ х (а+Ь сЬх+свЬх)" д Их [ад+ св ~ Ьв]. Вс — СЬ вЂ” Са сЬх — Ва вЬх ( -1) *( +Ь Ь*.+. ) х)»+ Г А и(ВЬ вЂ” Сс) 1 (и — 1)) + [ — + ( 1) д ~ (сс)дх+Ъв)дх) (2 1)1( Х »-д ъ 1 (2» — 26 — 31Н х ~. с ю (и — й — 1)) ав (а+Ь сЬ х+с вЬ х)» " »=О [ав+ св = Ъв]. (а — 6) 1Ь вЂ” — с+)Гад — де+ее 1п 2 $' а Ь +е (а — Ь) $Ь вЂ” — с — )/ ад — де+се 2 [Ь <а -(- * и а„-~Ь]; = — 1а(а+сС)д — ) [а=Ь, с Ф О]; с [Ь' = и'+ с']. (а — Ь) 6Ь вЂ” +е 2 ГХ1 [ЗЬЦ (1а) 2.452 А-1-В сЬ х+С вЬ х (ад+ Ьд сЬ х+ сд вЬ х) (ад+ Ьд сЬ а+ се вЬ х) А + д,) ад+ЬдсЬх+сдвЬх ад+ Ьд сЬ х+ ед вЬ и ае+ЬесЬх-( сд вЬх Их и,+Ьд сЫх+сд вЬ х где ед ад в ° д се а ад дд в Ьд сд в с а А+ВсЬх+СвЬх ( С Вс) ( 1 Ь 1 + 1 ) а+ЬсЫх+свЬ х Ьд — сд ~ А-)-Вс)дх+СвЫх С+В 1 ~ 1 )+ [ А (В~С)Ь 1 + + [ -)- 2, ]1а(а+Ьс)дх+ Ьв)дх) [аЬ Ф 0].
ддх 2 2 4. (Ь вЂ” а) $Ь вЂ” +с агс1д а+Ь сЬ х+с вЬ х у'Ьд аа сд у Ьд--ае — се [Ьв > ав+св и а-й Ь]; 126 При а' = Ъ' ( = 1); 3 2.456 2.457 (см. 2.443 3.). МфК 202 При ах= Ь'= 1: 2.458 1. 2 3 4 5 6 2 459 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНПЦИИ (А+ВсЫх)сЕс А+В) [ Ь х[ А — В Ьхх вЫх(1+сЫх) 2 ~ 2 ~ 4 2 (А+Всих)ах А+В Ь~ х А — В) Ь х = — сЬЬ' —— 1н сСЬ вЂ” . вЫх(1 сЫх) 4 2 2 2 (А ( — ВсЫх)дх А ( сЫх(а ( — ЬвЫх) аь+Ьь ~ С 8(Э Х)+ +Ь1а~ + ' ~]+В ~ (см. 2.441 3.), в.сй,(~/' — ' — 1~ьх) [ — '~1) 1 АгьЬ ( ~/ 1 — — ЬЬх) Г 6 — .) ~.~" —. 0« — 1 или — <О и ЭЬ'х< — — ), Ь Ь а 1 1 АгсСЬ~ ~ 1 — — ЬЬх~ ~ — <О и ЕЬ'х> — ~ а ь )Га(а — 6) (ь 1 а ~ ) а — Ь~.
МфК 195 .ыйь ()/'-( 1.ь-') ась*) [ ' ~ 1), — ь.ьь() ~.ь — '.ьь ) — 1< — с 0 и сЬх> — — ~- Ь й а 1 а Агс(Ь(1Г1+ — сЬЬ х) )~'а (а+Ь) г а Ь Ь а '1 — >О или — 1< — <О и сЬх< — — ). а а Ь!. ах 1+аЫ = ьЬх. 1 1 .ы. = — 'Аг Ь'2 ) [ЕЬ'т С В ==АгсЬЬ ф'2 ЬЬх) ~ЭЬ'х > 1). 2 = — АгсЬЬ(ф' 2 с(Ь х). )+сЬьх у 2 — сСЬ х. ах 1 ( ЬаЫхсЫх (' дх (а+ЬаЫсх)ь 2а(Ь вЂ” а) [ а+ЬзЫьх +( ),) а+ЬЭЫах .) (см. 2458 1.) МфК 196 127 2.4 гипиРБОличнсиии Функции 41х 1 ( ЬКЫхсЫх (а+Ьсиа х)* 2а(а+Ь) ~ а+ЬсЫ*х -Ь !2» -1- 4) 5, ! !4».
2.448 2.). МфК 202 ах 1 2 3 2 3~ рных ~ 2 1 к 5 2р~ых +(3 1 +( 1+ — — СЬ ) рь рф/1+р2 СЫЬх ' ~ + рь рК .l (1+рф ЬЫЬ х)2 ~р = — — 1>О~; ~де = 1 — — > О ~. МфК196 аХ 1 Г~ 2 3Ь ) (а+Ь сЫЬ х)к 8рак [.'ь рф рф,) = — [~3 — — + — ) агс((((р сВЬ х) + ) 3 — 2 — 3 ~ рссьх +~1 2 1 ВЬ, ) - 2рсСЫх рь р4~ 1+рф с)ЫЬ х ~ + рф рь / (1+рф с1ЫЬ х)2 [р = — 1 — — > О~1; [д =1+ — '>О~.
2.46 Алгебраические функции от гиперболических функций 2.461 1. 5)/сь 4*=А сь)Ьсь~ — с 414~ сь 2. ~ ~~ФИ х с!х = АгсФЬ )/ сСЬ х — агсВд [~'сйЬ х . 2.462 МфК221 МфК222 =АгяЬ * =)в [сЬх+ф" а"-)- вЬхх) =АгсЬ . = (и (сЬх+]/а'+ ИЬ'х) 1г' 1 ак =)а сЬх = агсва [зЬех .
а']. )/ а*+1 =А~с!с =1 )с»*С-ф Ь'* — с') ~/ аь+1 КЫ х 4)х )/ аф+КЫЬх [ак > 1]; [ае (1]; [а~= 1]. 2. КЫ х Нх )! а2- ЬЫ х 3. )с вЫЬх — аф [яЬ*х > а~]. МфК 199 МфК20Л Ь а Ь *) Если — ( 0 и сЫЬ* — —, то )р (х) = Аг(Ы (д сСЫ х). Если же — ( О, ио сЫЬ х ( а 6 ' ' а а Ь ( — —, или, если — >О, то 4р (х)=АгсСЫ (а сСЫ х). 128 3 НВОПРЕДЕЛБННЫЕ ИНТБРРАЛЫ ОА ЭЛБ)ББНТАРНЫХ авРННЦИЙ =Ать — =1 )вь*+Ь~а'-~-вЬ* ). 1/ ао+5ЬЬх а сЬ х г7х агсв$п — [БЬ х С а ]. 5Ьх 5 й Р ао — 5Ь2 х а Аввь — =1 )~ь*-Ь~/вРа — ~) )/5ЬЬ х — а* = АгБЬ вЂ” * = 1Б (сЬ х+ Ь/ао+ сЬ2 х). )/ ао+сЬ2 х 5Ь х авх сЬх = агсяп — [сЬсх С а2].
1/ ао — с)12 х =АввЬ вЂ” =1в) Ь -1-Ь'вЬ а — аа) ф' сЬАх — аь [БЬах ) ао]. [сЬат ) ао]. МфК 215 — 216 МФК206 [ЬвЬх ) О, а ) 0]; 2.463 1 5Ь ~/а+ Ь сЬ р+а сЬ х ад —. Ьр АгсоЬ вЂ” ь [ ЬсЬх) О, Ь,~Ч(а+ЬсЬх) 2' ад — Ьр [ ОсЬх СО, Ь1/в д )а+Ь сЬ х) Г Ьр — аво ~","со А вьЫ а /ГЧ 1ва+Ь Ь х11 Г ад — Ьр [ЬБЬх) О, ЬР >О~ ° 2 2// а~ — Ьр Ч р>о~. ~вв — в МфК 220 сЬ х '1/а+ Ь 5Ь х Р+во 5Ы х ад — Ьр 0 )) ) 1/аь ) сЬЬх Ь ао+1 Ф/аь — сЬ2 х Ь' а* — 1 1/сЬЬ х — ао Р аь — 1 =!БиЬх [а2 = 1].
И. 1 ' * * =21/ аАгсйЬ 1+ — яЬх ) Р а -)- Ь ЬЬ х г а =2Ь аАввь )/1+-'вь* )ьвь*<о, .>о)1 = 2 1/ — а АгьЬ 1// — ( 1+ — иЬх) а С О. 14, ь," =21/ аАгсВЬ 1+ — сЬх [ЬсЬх> О, а) 0] 2 ф а+Ь сЬх а =2У А~вь)/ $~- в вь* )ьаь*<о„>о). =2 У вЂ” аАгФЬ 1// — (1+ — сЬх ] [аСО]. МфК220,221 ь 130 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫБ ИНТБРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ьРУНКДИН В 2Р464 16. — 2.464 20.
положено а = агс сочв )/ аа+ Ьа а — Ь аЫ х 1/ аь+Ьь-ра )-ЬвЫх БФ (298.00) БФ (297.29) 23. — = = г (а, г)— СЫха)х 2 2 ф/а+Ь Е(а, г)+ )/а-) ЬсЫх ф' а+Ь Ь + — ЬЬ вЂ” 1/ а + Ь сЬ х. 2 Ь 2 БФ (297.33) ьь. ') а*= ~';ь')гь,,)-я<~,,)) ьь. ') ' а ='„.'„',))з -ьь))ь)а,'.) — ь я<а,.))+ БФ (297.28) аЫ-- ф/ а+ЬсЫх (а- Ь) 2 26. ~ "' ь1х=: ~Ж вЂ” )/а+ЬсЬх — 1/ а-~-ЬЬ'(а, г)~ . )/а+ Ь сЫ х Ь БФ (297 31) БФ (297,28) г = 1/ь ~ а > О, Ь > О, х > — АгеЫ вЂ”. Га+)/аь+Ьь Г а ) 2 ь/ аь+Ьа ' Ь 16. =, Г(а, г).
ЬГа+ Ь ЕЫ х Р/аь+Ь)) ь). ~ ь +ь ь ш- )) а'-(-ь [Г)а, ) — ьа)~, ]].). + 2ЬсЫ х У а+Ь яЫх БФ(298 02) )/д~+ Ь~.+а+ Ь цЫ х 18. ~ ) '+,'"* Ь=У ьь а(д, .) — ь " ' ь -'р)~,) БФ(298 03 угад+ Ьа+ а+* кЫ х СЫ х ) 19. — .Е(а, г). БФ(298 01) Ц а +Ь*+а+6вЫх] )/а+ЬяЫх Ьь ~г аь+Ьь ф а+ЬвЫ х Ых ~Ь/аа+Ь' — а — ЬаЫ х1а )~ д'-~- Ь'( уl а" + И вЂ” а) БФ /298 04~ У'дз ) Ьз а аа+Ьь — (а-+ЬЕЫх)а В 2.464 21.— 2А64 31. о ожено =еРся1~ ~ЫП вЂ” ".1), 2/' Г а+Ь [О < Ь < а, х > 01: ы.$ '* = ' )<,,).
БФ (297.25) фГа-) Ь еЫ х )/ а-)-Ь ьь. 5Ъй+ьь*и,-гь'ааль) Ь, )-яЬ. ))-ьььь-," уъ+ьа . д д 1 ю ю д 2 а ГипеРБолияеские Функции БФ (297.54) 5 (1+сЫ х) ддх 2 Ьга+Ь Е(а, г). у а — -ЬсЫх дЫ 2Ь П( а — Ь П(а,, г1. сЫ х у' а — Ь сЫ х а 7 а+ Ь вЂ” Е(а, г) — $Ь (1+сЫх) )l'а — Ь сЫх ф/ а+Ь ' а+Ь 2 БФ (297.5)) БФ (297.57) БФ (297.58) [(а + ЗЬ) Е (а, г) — ЬР (а, г)|в (1+сЫх)д )/ а — ЬсЫ х 3 ~Г(а+Ь)д СЫ вЂ” )/ а — ЬсЫх [2а -)- 4Ь+ (а+ ЗЬ) сЬ х). БФ (297.58) ах 2 П(а, рх, г).
(а — Ь вЂ” ар'+Ьр" сьх) У' а — Ьсьх (а — Ь) )Га+Ь БФ (297,52) ва 39 40 27. 1 = ах=, [(а+ЗЬ)Е(а, г) — ЬР(а, г)]+ + зь' [ ЬсЬ" 2 — (а+ЗЬ) ~ аЬ 2 ь' а+ЬсЬх. БФ(297.31) ддх ф а-4 — ь Е(а г) — 2Ь р( (сЛ х+1) )Га-ч-ЬсЫх а " а — Ь) Ь' а+Ь БФ (297.30) 30. — [Ь (5 Ь вЂ” а) Р (а, г) + (сЫх+1)* )/ а+Ь сЫх 3(а — Ь)а ~Га+Ь х и†+(а — ЗЬ) (а+ Ь)Е(а, г)1+ ° $'"а+ ЬсЬх.
БФ (297.30) сЫ2— 2 31. — П(а, р2, г), БФ(297.27) а+Ь сЫх )/ а-~-Ь В 2.464 32.— 2.464 40. положено а=агсв1п 1гд *, г= и/г— Г а — Ь ' У а+Ь '[0(Ь(а, О(х(АгсЬ вЂ” ~: БФ (297.50) Зд. ')д' — ддаад д ~да 2да-дд|Р(а 1 — Еда. ~И. 34. 1 — = г .Е(а, г) — Р(а, г), БФ(297.56) сЫ хддх 2(Ь вЂ” 2а) Е( )+ 4а у а+Ь Е( )+ ) ~/а — ЬсЫх 3Ь ~/а-(.ь + — ЕЬ х Ь: и — Ь сЬ х. БФ (297.56) )32 2 неОпРеделенные интеГРАлы от элементАРных а)РннЦНЙ С1Ы2 — ((х 50 (", 2 2$ +Ь Ю( г) ,1 ЬГЬ сЫ х — а а — Ь ь(. ') ""',' а.=ьса.ьь(е(,,) е(,,,)), 52.
2 — Е (а, т) — Р'(а, г), БФ(297.78) 1 (сЫ х — 1) у'ЬБЫх — а а Ь )Га+Ь 53. * [(а — 2Ь) (а — Ь)Р(а, г)-(- (сЫх — 1)2.у'ЬсЫ» — а 3(а — Ь)2 Р'а ( Ь -(-(За — Ь) (а+ Ь)Е(а, г)]+„. + ° ]/ ЬсЬ х — а. БФ(297.78) Нь (а — Ь) х 2 54: )( [г'(а, г) — Е(а, г)]+— .~ (сЫ -(-1) у Ь Ы вЂ” у'а+Ь (и -(- Ь) ви х БФ (297.80) БФ (297.76) БФ (297.77) В 2.464 41. — 2.464 47. положено а = ассе(в е1/ ГЬ (сЫх — 1) Г а+Ь $ ЬсЫх — а ' $ 2Ь [0<а<Ь, х)0]: ~ г = ~à — Е(а ").
БФ (297,00) ~ АЛЬБЫ 42 ~ )сь сь * — 4*.= (Ь вЂ” ~)(/ — Е(, ) — 2 Ь 2Ь Е(а, ).(- Ь' ЬБЫе — а БФ (297.05) 43. 1 —,, ° 1./ — [2ЬЕ(а, г) — (Ь вЂ” а)Р(а, г)], Д )Г'(ЬсЫх — а)2 Ьа — а г Ь БФ (297.06) 44 (( "' 1, 1/~2 [(Ь вЂ” 3 )(Ь вЂ” а)р(а, )+ + 8аЬЕ (а, г)]+ ., БФ (297.06) 3 (Ь вЂ” а2) )/ (Ь сЫ х — а)" 42. [ * * = )с — (е(а, ) — 2е(а, ))-ь . Ба(22).02) ~Г, )Гьсе х — а БФ (297.01) а рГ(ьсЫ БФ (297.02) В 2.46448.— 2 464 55.
Положено а=агсе1в 1г2, г Г ЬсЫх — а 2Ь ~ Ь(.Ых — 1) * а+Ь [ О< Ь<а, х) Агсьь — 1 БФ (297. 75) 42. ~ Ь(ь сЬ вЂ” а — 2 Ьс -(. Ь Е(а, )-(-2с(Ь вЂ” Ь/Ь Ь БФ (297. 79) 2 4 РИПЕРБ ОЛИЧН СКИП аьЪРНКЦИИ 55. — [(а + 2Ь) Г (а, г)— (сЫх+1)3)/ЬсЫх — а 3)/(а-)-Ь)з — (; ВЫ 3 (», ° )) (2 ) — 1Ь вЂ” ) ЕФ (227 80) В 2.464 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
