Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 13
Текст из файла (страница 13)
г а 1п" [а>0 и с>0]; и+)/ д 1а [а>0 и с<01; фГа+и 1 5 с 5 2 5 ис Нх = — хис+ — ахи*+ — ад хи+ — ас1 . 6 24 16 16 и с1х = — хи + — ахи+ — а 1. з з 4 8 8 1 1 исЫ = — хи+ — а1 . 1. ~ ах п — ! й~ ., С МА+1 дх 1 ~ ( — 1)д1'~ — 1'~ с"х™ асс~1 а'1 ~ 2й+ 1 ~ Й / исса ~с 1 хис 1 ахис 1 асхи 1 дс з з,гх — — — — 1. 6 с 24 с 16 с 16 е 1 хис 1 дхи 1 а* * ыеܻ— — — — 1. 4 с 8 е 8 с хс 1хи 1д — е1х= — — — — — 1 .
и 2 с 2 е хс х 1 — Их = — — + — 12. ис си с а — 2 Г == хс ах 1 ~1 ( — 1)" Г п — 2~ сСх™с ="-'" 2~+~~ с=с х* Нх 1 д си~-1 12л 8) ссисв-э + 12а 1) са~ зи-з ° Д (230.05)ы Д (23ОЯЗ) и Д (230.01) и Д (200.0$) и Д (200,03)и Д (232.03) и Д (232.И) и Д (202 01) ы Д (202.03) и Д (202.05) и 101 2 2 АЛГИВ«зАИЧЕС1(ИК ФУН1(ПИИ 2.273 1 хсис ахи~ а*хи" Засхи Зае ~х а = + + + х и ахаа 8 е 16сс 64сс 128с* 12833 1 хсис ахи* а*хи а* х иЫх= — — — — — + — + — 1. 6 с 8сс 16сс 16сс хс 1 хси 3 ахи 3 ас — «(х= — — — — — — + — — 1 .
и 4 с 8 сс 8 сс хе 1 хи ах 3 и — «Ь= — — + — — — — 1 . ис 2 с' сси 2 се хс хс 1 — «(х — — — — — + — 1 . ис еси 3 сис сс х4 1 хс — Ых= — —. ие 5 аис а — 3 1' ==2 -( )„..' х46х 1 ч~~ ( — 1)А /и — 3~ сихс"~3 и*™.м аа-*.~ 2й+Ь ~. й Г и33' А О Д (234.03) и Д (234.01) и Д (204.01) и Д (204.03) и Д (204.05) и Д (204.07) и ха 4)х 1 2а ис ' (2в — 5) е"ис ' + (2п — 3) ссиаа 3 ас (2а — 1) есис -« ° Д(205.с)и 2.274 Д (206.01) и Д (206.03) и Д (206.05) и Д (206.07) и Д (206.09) и 6. Зас (2а — 3) сеийа и Д (207.9)и Д (241.05)и Д (241.03) и Д (241.01)и Д (221.01)и 2.275 3. — ««х = — + — аи + а и+ а 1 .
3 3 3 5 3 3 ис ыс — «(х = — + аи+ а31 . х 3 3' — "««х= и+аХ,. ~ Ж* с 3 1 хсис аааис асхис асхис Засхи 3 ас 10 с 16ес 32сс 128сс 256ес 256 ес 1' с 1 хсис 5 ахсис 5асхис 5асхи 5 ае хси «Ь + — — — 1 8 с 48 сс асс 128ес 128 ес ае 1 хси 5 ах'и 5 аахи 5 ас — «(х= —.— — — —,+— — — — Х. и 6 с 24 сс' 16 сс 16 сс — ««х— хс 1 хс 5 аха 15асх 15ас ыс 4 си 8сси 8 сси 8сс + — — 1. ас 1 х' 16ах" 5 асх 5 а — «(х= — — + — — + — — — — — Х .
ис 2 еис 3 ссис 2 ссис 2 ес ае 23 хс 7 ахс ааа 1 — «(х— и3 15 сис 3 ссис е*ис+ сс хс 1 х' — ««х = —— ис 7 аие' а — 3 = "( )-. ' хс«(х 1 ~ ( — 1)" /и — 4~ ссх33+3 иаа+«аа-с ~ ~ 27«+7 ~ 3 1 исИ 3 А=Π— — °вЂ” 37 «(х 1 За иса «(2а — 7) сеиса «+(2л — 5) есиса 3 + (2в — 1) ссиса « 10З 2„2 АИГИБРАические Фуннции ( иР, 2 сие ееи '~ ††+ †††). Ьхр Л хр х ) Д (226.01)и ! ( ° !( ~2).. ° ~ -ре)а ррх хри' 'р Обозначение: Л=а+Ьх+сзх См.
таюко 2.252. ГЬ = — '1 (х+р)РР $' Л ) )/е+ (Ь вЂ” 2рс) С+(а — Ър+ерР) СР ~ х+РЛ 2.281 2.282 — ""-+(ь — р) " +( ь„+ р*) р(х 1 1 ррх 1 (' -р(х (х+ р)(х+с)у В у — р ) (х+р) р/В р — е,) (х-(- д))/В $/Лих 1 1 Р'Тих 1 1 )/'Е( Ех (х+ р) (х+с) с — р ер .с+р р — с .) х-+с ~ ао.е) р и е* ~ „,„— „,, ~ р'и е.
(рх-)-е) р(х в — рр (, р(х з — ср (' р(х ,«(х . ~» У В У вЂ” Р Д (х+Р) У В Р вЂ” д ~ (х4-д)~В ' ,Ах+В) Ых А ~ ди 2Ве — АЬ ~ (1 — ссе)и Р р(с (р+В]" )/ Я е,) (р+ир)и 2с ) Г Ьр Чи р+я — — — срср ~ 4с 2.283 — Ь+2ех где и=ф~Л' и (р= 2е 1/В Ах+В ~ А е, 2Ве — АЬ Я (Ртрер )/В с Ь/сер(Ьр — 4(а ) р)с! где == агсйд1/ ~ (р) 01; (п =Р )'р < 01. 2 у — р у' — р+ )/В 2.28 ер р~, еоиер еюие р а-~-ра-реа' и ииоеее еи ~р» р ор и степени 104 з, нкопвкдклкннык инткггллы от элкмкптвгнь]х с])~нкций х агссд]гг Р ~ [р(ь — 4( .(.Р)с)>0, рд О]( — а сгд)/ г ~ [р[ь' — 4(с.(-р)с)>0, р>0]; = —. 1п р ( р) р + р( '( *) [Р(Ь2 — 4(а+р)с) <О, р>0]; )Р 4(и+р)в — Ь2 Уг Л вЂ” ~Гр(Ь+20х) 1 )п (' Ь ( +') ~ 1 ' ( (р(Ь* — 4(и+р)с)<0, р<0].
У'Ь* — Ь(а+р)0У Л+Ь":р(Ь+2 ) 2.29 Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим 2.Ы( К ~~ р а да ]В(*, РР(*)) А* др юд с * р н- а гр~~ да) Х[*,ргр,(*))А*, гд Ь>2, Р ( ) — ~галл н, сгсд которого вып[е 4. Ниже даются примеры такого приведения. 1. ((х Г 4[0 Гх= Г 2 —,) уз+З + (. 1+*1' 2. — (хв = з]. У +~ '+ '(-" ' 2 ) 3'Р"'+Ь '+ '+ [04 1 2 З- (а+ 2Ьх+ сх*+Ьхв) Ых =— 2,) [ д-2Ь*Рс =Р, А=д( Д Р +( )') ЬР. в=]гь .2(Р:) ) 4.
([» ))~42+ Ьх+ сх2+ 2[хв+вхд+ Ьхв+ ахв 1Г - 1Г [/ 2 Д Ь' (2+1) р ]г' 2 ] )Р (д — 1) р 1 (' (с 1 (' 2[0 У 2 5 У (0+1) р У'2 3 У'( — 1) р (х= З+ )д' Зз — 1]; (х=х — ],р з~ — 1] ° где р = 2а (4за — Зз) + 2Ь (2ха — Ц + 2сх+ [К. 2.290 Интегралы ~ Л (х, ~/ Р (х)) дх, где Р (х) — многочлеп третьей или четвертой степени, путем алгебраических преобразований сводятся к сумме интегралов, выражающихся через элементарные функции, и эллиптических интегралов (см.
8.11). Так как подстановки, преобразующие данный интеграл в эллиптический интеграл в нормальный лежандровой форме, различпы для различных промежутков интегрирования, то соответствующие формулы даны в разделе определенных интегралов (см. 3.1ЗЬ З.17). 107 2.е ГИПКРВОЛИЧКОНИБ Ф~'НКНИИ 2.325 хе"и Ых Е( (ах). еах — — +а Й((ах). Х еах аеах ае — — — — + — Е$ (ах). 2хе 2х 2 ,ах ае (1+ах) 2.326 2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.4$ — 2АЗ Степени яЬж, еЬм, 1Ьж и сам еЬ хсЬч х= + ~ яЬ" хсЬ * Ь", яЬХ 1хсЬ| 1х д — '1 Г р+~ +~ ~ — 1 яЬР ах Ье с(х.
Р+Я Р+Я е АР ~хсЬе ~х р — 1 Г 2 ,+1 — --,+1 3 1 еЬР+2 сЬе-Хх (х. р+1 р+1 вЬЛ" хсЬе х Р< д+-2 Г Ьр,а Ье +1 3 я хс х х аЬ"' хсЬе 'х р+1(+2 Г ) х еа --,+1 +,+1 ~~ 2.412 яЫ''х г 1. них сЬ2" х с(х=, ~сЬ2"-1 х+ 2п+ р и — 1 + Х (2п — 1) (2п — 3)... (2п — 2Х+1) (2п.+р — 2)(2п+р — 4) ... (2п+р — 2)с) сЬ-- -1х1+ (2п — 1)!! 1 еЬ хах.
(2п+р)(2п+р — 2) ... (р+2),) 2. ) Бь *ш=( — с ( ) —, +~ ~ ( — с~( )'~'~~ а=о Т (543) ~1 ') ( ~) ~( ~~ М+1 ГХ1 ~35Ц (5) дта формула применима при любом действительном р, за исключением следующих отрицательных четных чисел. — 2, — 4, ..., — 2а. При р натуральном и п= О имеем: 108 2. неОНРеделеннык интеГРллы От элементАРных ФУнкций яЬ а+1 х 4. яЬР х сЬ2"" х ах = 2п+ +1 ~~ 4 сЬ'" х+ и + Х 2йп (а — 1)... (п — й4-1) сЬпп ~" х (2п+ р — 1 ) (2а + р — 3)... (2а-(- р — 2а -(- 1) ~ ' й=1 Эта формула применима при любом действительном р, за исключением следующих отрицательных чисел: — 1, — 3, ..., — (2п+ 1). 2.413 1.
сЬРхвЬ2"хйх= * ~~яЬ2" — ' х+ 2 +р а 1 й(2и — 1) (2и — 3)... (2п — 2й+1) яЬ'и-~й-~ х'( с~~ (2а+р — 2) (2а+ р — 4) .. (2а+р — 2й) ) +Х ( — 1) й — ( сЬ х~Ь +( 1 (2п+р) (2п-(-р — 2) ... (р+2) ) Эта формула применимз ври любом действительном р, яа исключением следующих Отрицательных четных чисел: — 2, — 4, ..., — 2е. При р натуральном и и=О имеем: та-1 ~ сЬ®~х1(х — (2юи~ х ( 1 ~ (2п1) ЭЬ(Ъи — 2й) х Т(541) ГХ1 [351~ (8) 2.414 1. ЕЬ ах се = — сЬ ах, 1 а 2. ЕЬ ах<(х= — яЬ 2ах- —. 2 1 х 4а 2' 3 1 1 3, яЬ~х 1(х= — — сЬ х+ — сЬЗх= — сЬах — сЬ х. 4 12 3 3 1 1 =3 3 1 4. ЕЬа ха(х= — х — — яЬ 2х+ — ЕЬ4х = — х — — ЕЬхсЬх+ — яЬахсЬх.
8 4 32 8 8 4 5 5 1 5. ~ яЬа х ((х = — сЬ х — — сЬ Зх+ — сЬ 5х 8 48 80 4 1 4 = — сЬ х+ — яЬахсЬх — — сЬах. 5 5 15 ( сЬг. +1х,(х 1 ~~ /2п+1 ~аЬ(2 — 2й+1) Т (542) Утл,г1 -~(")"'""' 4. СЬР х яЬгп+1 х с(х = СЬР" х Г яЬгпх+ 2 +р+1 1 + ( — 1)' 1) 2"п (п — 1) ... (п — й+1) пап-~й х (2п+р — 1) (2п+р — 3) ... (2а+ р — 2й-(-1) а=1 Эта формула применима при любо(я действительном р, яа исключением следующих сигрицательных чисел' — 1, — 3, -, — (2п+ 1). 2,4 ГИПЕРБОЛИЯЕСКИЕ ЮУНКИИИ 12. сЬ х 4(х = — яЬ х + — яЬ Зх+ — яЬ 5х, 5 5 1 8 48 80 4 1 4 = — яЬ х + — сЬ4 х вЬ х+ — зЬа х. 5 5 " Г5 сЬ'х Ых= — „, 5 5 Г6 сЬ7 х Цх 35 64 24 15 з 1 х+ —,' яЬ 2х+ —, яЬ 4х+ — вЬ бх 64 64 192 1 5 5 1 х+ — яЬ х сЬ х+ — вЬ х сЫа х+ — вЬ х сЬ' х, 16 24 6 яЬх + — вЬ Зх+ — яЬ 5х-+ — яЬ 7х. 7 7 1 64 З2О 448 вЬ х + —, вЬ'х-(- —, вЬ х сЬ'х+ — вЬ х сЬ'х.
35 35 7 13 2.415 5 сЬ (а-( Ь) и сс (а — Ь) ж вЬахсЬ Ьхах 2( ( ь) +. 2( ь) 1 вЬ ах сЬ ах Ых = — с Ь 2ах. 4а вЬЯ х сЬ х Их = — яЬ' х, 3" вЬЯх сЬ х ах = — вЬ х, а 4 яЬ4 х сЬ х 4(х = — вЬ' х. 5 вЬ хсЬЯхах = — сЬах, 3 г л 1 вЬ'*сЬ'х дх = — — + — 2 вЬ 4х 8 32 зЬЯхсЬЯх с(х = — /яЬах — — 5 сЬ~х.
а 1 1 1 вЬ» х сЬЯ х 4(х = — — — яЬ 2х — —, яЬ 4х + —, вЬ бх. Г6 64 64 192 5 15 . 3 1 б. ЕЬа х с(х = — — х+ — зЬ 2х — — яЬ 4х+ —, яЬ бх. 16 64 64 102 1 5 1 5 5 16 6" = — — х+ — яЬ' х сЬ х — — вЬа х сЬ х+ — вЬ х сЬ х. 24 35 7 7 1 7. ЕЫхс(х= — — сЬ х+ —, сЬЗх — — сЬ5х+ — сЬ 7х. 64 64 З2О 448 24 8 а 6 а 1 = — — сЬ х + — сЬ'х — — сЬ х яЬ' х+ — 7 сЬ х вЬ' х. 35 35 35 1 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
