Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 10
Текст из файла (страница 10)
4( аа вв уйа*! Ат$$(х=х+ — + — + ° - = ~~~~ — [х <11 3 5 25+1 1.644 1. асс(.и х = $~1+ аа л 1 2 *+За (2Ц! (И)а(2й+(1( 1+ив~ ( 2' 2' 1+ив) Фс ~1- А (641.3) 1 ( ,+-,, (х') 11 (см. также $.6431. А $641.4) 5 таблипы вита«валов (.6 ОБРАтнык тРит'ОнеметРив(кеник и ОБРАтныВ ГипкРБОли%. еинкции . 65 2.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2.0 ВВЕДЕНИЕ 2.00 Замечании общего характера Во всех формулах этого отдела постоянная интегрирования опущена. В силу этого знак равенства (=-) в этом отделе означает, ч«о функции, стоящие слева и справа от этого знака, отличаются на постоянную. Например (см. 201 15.), мы пишем ««х 1+ х~ ' — = агалли х = — агссХд х ! хотя Я агсйд х = — агсс1и х+— 2 При интегрировании некоторых функций получается логарифм абсолютр „„„,„(„, р„,р ~ =ь>*-рр+«.р* /).
в„„„ф,р р „ -~/1 ~ « знак абсолютной величины в аргументе логарифма нами для простоты записи опущен. В некоторых случаях существенно указать вполне определенную первоабразпую функцию. Такие первообразные функции, записанные в виде определенных интегралов, помещены па в разделе 2, а в других разделах.
К этим формулам близка примыкаю г формулы, у которых пределы интеграла и подынтагральная функция зависят от одного и того жс параметра. 1«яд формул при некоторых значениях постоянных (параметров) или при некоторых соотношениях между этими постоянными теряет смысл (например, формула 2.02 8, при п = — 1, формула 2.02 15. при и = 6). Эти значения постоянных и соотнотпепия между ними большей частью бывают савершеппо ясно видны иа самой структуры правой части формулы (не содержащей знака интеграла).
Поэтому мы опускаем в этом разделе соответствующие оговорки. Однако, если при тех значениях параметров, цри которых некоторая формула теряет смысл, значение интеграла дается с помощью другой формулы, то мы эту вторую формулу сопровождаем соответствующим разъяснением. Буквы х, у, г,... означают независимые переменные; ~, д, «р,... — функции от х, у, Г, .; ~', д', «р',..., ~", хр', «р",...
— их производные первого, второго и т. д. порядков; а, Ь, т, р,... — постоянные, под которыми следует, вообще говоря, разуметь любые действительные числа. Если какая-либо формула справедлива только при некоторых значениях постоянных (например, только при палат«««пельных, или толька при целых числах), то делается 5» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ дЛЕМЕ НТЛРНЫХ ФМНКЦИИ соответствую цая оговорка, если тольно данное ограничение не следуеч из самого вида формулы; гак, в формулах 2.1484. и 2.442 6 никаких оговорок пе сделано, так как из самого их вида испо, чгц-м делхкно в них быть нату(ыльпым (т. е.
целым полозкительпым) числом. 2.01 Основные интегралы (л чь — 1). ха х ~х"а =.— х+1 Чри и= — ( Их — =!и х. х е их=ех. ах а" г1х =— (и а зм и х ~гх = — соз х. 6 ~ соз х нх = з1 и х, Лх — = — ссд х. ь1пх х зш х е(х = вес х. созх .г (' еозх 10 ~ — 4х = — созес х. .1 зшзх Фдх Их= — (п созх. 5 ах х — =(п $д —. з(в х 2 12, ~ сСд х ей = 1п ып х, = ! ч( — "+ —.)=! (~с*-~- х 1. —, = агс1н х = — агсс 1д х. 1+ха 14 4х ю+х = АГСЬ х= — 1п хй 2 1 — х 5 агсзмп х = — агссоз х, г' 1 — х~ АгвЬ х =1п (х+ ~/хз+ 1]. 1/хх+1 (п (х+ $/хх1). "0 = АгсЬ х (/ х' — 1 зЬхе(х=сЬх. — — сйЬ х.
звх х ФЬ х Фх = (и сЬ х. — =!и гЬ -. зйх 2' сЬ х е(х = вЬ х. — = 1Ьх. свх х с$Ьхах =!пзЬх, 2.0 ВВКДЕНИК 4. 5, 7, 8. Прв 9 10 11, 12. 14 15. При 16 19 2.02 Общие формулы ~ /(х)(й = ~ ~[рр(у)1рр'(у)4у ууь ур ( ( р ) рр+ 1 и= 1 — = )~~. (а(+ Ъ) ~' р(х = р (а-(-() р' 'ах 2 ф' а~ -~- Ь У'Ф вЂ” р(р'( „~ ! ррй ф ~ р — д') (р(р р(р =+ ~-' ~ арх 1 р(х + ((У~ч) + 3 Й 3 ~((+ч) =р рр -р'Р-р р. / р р(х а (' р(х ц+а)()+Ь! а — (р ) ()+а) а — Ь Р2=Ъ р р(х ( р(х (' р(х (г+.)* ) (+. ':) и+ )' ' ( р(х (' р(х (' р(р ах (Р ( ~)а ~ О+,Р)а-Р ~ (Р ( рр)а ' ~' р(х 1 д) (рх+Ф1' (рд рр (р (в д~!2 — (р~ 2(рд др -)- р' (х = рр (у)) (правило рродстановки) ррх (~-)-(р) ' 1 рш= 1рр ~(~рх рех р~...рш ~ рррр х р) рр*х ') р~.~..., 1р /'ррах= ррр — ~р(р' о(т (интегрнрованж по аастям( (рррФ1)(~ грх (ррррр ррр)ррр — 1р ( (р~~(рь лр ()рь рррр~ 1)рр+р ) <Р(рр.(-з~у р 71 2.1 РАпионАльнын юункпии где ~' (а) (' (Ь) ' ' ' 1'(т) Если некоторые корни уравнения 7 (х) = 0 мнимы, то, соединяя вместе элемептарные дроби соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида М~х+Л~ Мхх+Л Мрх+1Ур +2В +С+( ~+2В +С)~ ' ( х+2В +С)Р ' 2.103 Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби ( (х) приводится к интегралам вида 1 или ~,в с, дх.
Первые для и > 1 дают рациональные функции, для х= 1 — логарифмы; вторые— рациональные функции и логарифмы или арктангенсы: 1 у(х ~ Ы(х — а) Ю (х — а)а а (х — а)а (а в 1) (х — а)а — 1~ (' аЫх Г Ы(х — а) 2. ~ — =д ~ — — =д1п)х — а~. ,) х — и х — а 3. Мх+)У ( 1У — МА4-(МС вЂ” МВ) * (А+2вх+Схх)р 2 (р — 1) (АС вЂ” В2) (А+2вх-~-Сх')р ' ~(х — ',, (- (2Р— 3) (Л'С вЂ” МВ! ( Их 2 (Р— 1) (АС вЂ” В') ) (А+2вх+Схх)Р-1 А+ 2Вх+ Сха у" АС Вз ~/'АС Вх — агссп —. + [АС > Вз[; ~ Сх+в — ~Гвх — лс 23/В' — АС ~ Сх+В+~' Вх АС( МС вЂ” М)) Сх+ В С$ АС вЂ” Вх Р АС вЂ” Вх — 2С 1п ~ А + 2Вх+ Сх~ ~ + ~~~с™ 1 1 Сх+  — Ь~Ва — АС 2С'г' Ва — 1С ~ С*+ В+ р' В' — АС ( Метод Остроградского — Эрмита / 2.104 Прп помощи метода Остроградского — Эрмита можно найти рациональную часть ~ — — дх беэ нахождения корнеи уравнения 1'(х) = 0 и бвз раз- Г ~р (х) ~ ~() лежеаия яа элементарные дроби; Ф11 49 Здесь М.
Х, В, (7 — целые раг(иоиальные функции от х, причем Б — общий наибольший делитель функции 1(х) и ее производной ~'(х), Д = —, '"и- Г (х) 72 2. ннопевдвлнннын интвгеллы от элвминтленыл аункннн 2.11 — 2.13 Формы, содержащие биномы а+ Ьж" 2.110 Формулы приведения для х~ = гг+Ьхи. хи"Р и т й атл 1* ° ш „~,,—;-,,) *,- г= Р ~лт~ [агг)~ (т+1) т (ги — 1ь ..(т — а+1) хт в т+1 2~ (тй-г- и+1) ((т — 1) 2+и+1)...
((т — а) гг —,и.+1) =с + (ай)гз" ги (иг — 1 ь .. (т — р+1) (т — р) хих™Р-1 Д (т)г-)-и-г-1) ((т — 1)1+и+1) ..((т — р) )с+и+1) агг (т; 1) ай (т+1) и гав и~а т-г 3., х а, г(х= — — — ~ х хг, г(х, — и+1 и 1 3 хи+о Йхт.~ ~ и т и~1 — Ь 4 х в' г(х ь>. 1 Ь -- ~ х а" Их хи+г - пят (и+1 — гг) 1 и и И а (и+1) а (и+1) Ла 126 (4) Ла 126 (О) Ла 125(1) Ла 125 (2) Ла 126 (3) Ла 126 (5) Формы, с о держащие биномы х,= а-)- Ьх 2.111 т ~г 1. хт г(х = — ' Ь(т+1) ' При т= — 1 ггх 1 — = — 1п хн хг Ь х" ггх хи па (' хи ' ггх х(и х(" г(п+1 — т~ Ь (и+1 — иг) Ь ) При п=ггг — 1 можно применять формулу: 3. хт-' г(х х"' г 1 х™~ г(х ° хт хт г(т — 1) Ь+ Ь ~ хт-г При т=1 — — — — — — — ' ° х" г(х хи ах" ' аахи а „, аи-гх ( 1)иап иЬ (и — 1)Ьа+ (и — 2)))~агЬ ' ' +( ) 1 Ьи + Ьи+г пвм и — г аг (и — й) Ь"" аи и иаи 1 +( — 1)" ' — „„+( — 1)"" — „., 1пхг.
полипом степени не выше т — 1, если гп — степень полинома Й, и )Ч вЂ” полипом степени пе выше о — 1, если и — степень полинома ~). Коэффициенты полппонов Л1 и Лг определяются путем сравнения коэффициентов при одипаковыл степенях х в следующем тогндестве: ср(х) =г)Х~) — г)Х(Т-(~')+ 30, где Т= — ', М и (,,г--производные полиномов '' и О. /1 (х) 2.1 РАНИ ОНАЛЪНЫЪ ФУИИПИИ хИх х а = — — — !П2 . ЬЗ 1 хз йх хз ах аз = — — — + — !пг. 2Ь Ьз Ь ах 1 з,' Ьз, х 1х х 1 а 1 — = — — + — !п2,= — + — !пя. аз Ьа Ьз Ьзз, Ьз 1' хз з(х х а" 1а — — — — !П2 . з! =Ьз Ьз., Ь 1* 1(х 1 ы 2Ь1' — — — '].,— азу(х Г х .
а, а 5 а' ~ 1 а = ~ — +2 — х' — 2 — х — — — ~ — — 3 — !п г. зз ~ Ь + Ьз Ьз 2 Ьз ~ 3! Ьз а ! 1 Г2ьз ! з! ' ах аз ( 1 1-- ЗЬ 12Ь )' .! ' Зах' азх аз ! 1 + — + — + — ~— 2Ьз Ьз 4Ьз ~ з4 -- —,-+ — ~ -; ° <(х — 1 Ь (2 — в — из) ~ ах хвззз (и — 1) ахв 1з!в з а(в — 1) ~ хв 12"' 1 з(х 1 7 = (ш — 1)ЬЛГ- . — — + ~ ,-' 1(Х 1 1 !' а'х хф' з'," 1а (вз — 1) + а ) хззз ' ' а — 1 6Ь сч ( 1)кьй ( — 1) Ь (и 1 хва Л (в — Й) айхв А ах з й э1 74 2, НЕОНРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНаа1Х ФЪ'НКПИЙ 2.118 2.119 4х1151 — = — — — 1п— хза аз1 аз х е1х Г 1 2Ь 1 1 2Ь зз — — — + — — + — 1п —, 1 1 Г 1 ЗЬ ЗЬ 1 1 ЗЬ Г + + 1 1п1 хзз1 ~ 2ахз 2азх аз ) зз аз 2 3 2. 121 З Ь-~ 1 + 1 1п1 2а аз 1 з1 аз х Г 1 9Ь ЗЬ'х1 1 ЗЬ 21 — ~ — + — + — ] — + — 1п — ' 24ах 2а' аз ~ з' аз х 1 1 2Ь 9Ьз 6ьзх 1 1 6Ь' 51 — — + — + — + — — — — 1п— 2ахз азх а* аз ) зз аз х 1 2 3 2.122 11 5Ьх Ьзхз1 1 1 з, — + — + — — — — 1п — ' ба 2аз а" ~ з" а4 х 1 1 22Ь 10Ьзх 4Ьзхз 1 4Ь 8.
~ „'; = 1п — ' х ах +Заз аз а4 1 з1 аз — — '+ 1 5Ь 55ьз 25Ьзх 1054хз ] Жх~ 2азх Заз аз аз —, 1п — ' 2.123 1а — ' 15Ьз з а' х Формы, содержащие биномы з =а+ Ьхз. 1. ~ — = атсйдх зЬ4 ь 1аЬ) 01 (см. также 2 141 2.); С Их зз 1/аь а 1п 1аЬ (О] (см. Также 2.1432 и 2.1433.), 24 1/аь а — х1 1~ аЬ 2. ~ — —, ~и.
*ааже 2.1452., 2.1455. 2.18), 1. 2, 3. Их 1 з1 — = — — 1В— хз, а х Ь 1 Ь вЂ” = — — + — 1п — . хзз1 ах аз з Ь 1 Ь Ь вЂ” = — — + — — — 1и хзз1 2ахз азх аз х Г Ых Г 25 1ЗЬх 7ьзхз Ь'хз '1 1 хз' 1.12а+ Заз + 2аз + Их Г 1 125Ь 65ьзх 35Ьзхз .1 хззз 1 ах 12аз Заз 2а4 Ех Г 1 ЗЬ 125Ь2 65Ьзх з 5 ~ 2ахз + азх + 4аз + аз + 5Ь4хз ~ 1 5Ь, з, 1П— аз за аз х 105Ь4хз 15Ьзхз 1 2аз + 75 2 З РАЦИОНЛ««ЬНЫЕ «Р««НКПИИ В/ / а ОбОЗНаЧЕНИЕ: а= 1зГ Р' Ь 2Л25 х««««х .в-з п«зэп-«(и + 1 Зт) Ь (и — 2) а (' х" зЫх Ь (и+ 1 — Зт) ) з"' 2. Ла 133 (1) 2.126 (см. 2Л26 1.). (см. 2.126 2.).
2.127 1 (см. 2.126 1.). (см. 2.126 2.). (см. 2.126 1.), Ла 133 (2) 2.129 «(х 1 хз — = — )и —. За 1 2 Формы, содержащие биномы гз —— и-(-Ьхз х~««х х"" и+4 — Зт (' х" ««х з«зи За(т — 1) г«и з За(т — 1) ) г ' « Их а Г1 (х+а)з г — х )ГЗ ) — = — ( — 1а +)г ЗагсС« За ( г *' — ах+аз (см. также 2.1413. и 2Л434.). — = — — ( — )и,, — )~ Затс$~ 1 — — — (- х «~ж 1 Г 1 (х+а)* г — 2х — а « зз Зьа( 2 х' — ах+а* е а )ГЗ) (см. таВке 2.1453. и 2.1457.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
