Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 8
Текст из файла (страница 8)
элнмннтАРВИБ Фъ~нкпии 1.332 4па — 2а . з (4па — 2*) (4иа — 4а! 1. вЬт2пх=2псоях~я(пх —, в!пах+ <ипах — ...~; 3! 5! А (3.171) = ( — 1)" ' сов х ) 2з" ' в1пз" ' х —: 2а" ' в!п™а+ 1< (2и — 3) (2п — 4) 2аи-а . зи-а 2! <2и — 4) (2и — 5) (2и — 6) 2зи ., 2" в!и" х+... 2и — 1)а — 1а з 2, вт (2п — 1) х = (2п — 1) 1в)п х — <ппз х ~- 3! [(2и — 1)а — 1а) [(2п — 1)а — Эа! ) + я<пах —... 5! зп-а .
и- 1! 1)и-а ) 2зи-а я!пап-ах 2зп-а в!пап-ах+ А (3,173) А (3.172) (2и — 1) (2и — 4) 2зп-а ° зи-а, 2' (2и — 1) (2и — 5) (2и — 6) я1п А (3.174)ц 3. сов 2пх=! — — я[п х+ 4иа 2! 4п' (4па — 2а) а 4пз (4пз — 2а) (4из 4а) и 2п 1! =( — 1)" < 2з 'я1пз" х — 2з" зя1пз зх-+ 2и(2п — 3) зп-з - аи-а 2п(2и — 4)(2п 5) пзи- 2! (2и — 1)а — 1$ . 3 4. сов (2ю — 1) х = соя х ( 1 — в1пз х+ 2! + [ 2п — 1)а — 1а) [(2п — 1)а — За] < я[пах —...
~; А (3.172) Частные случаи 1.333 1. я[о 2х= 2<пи хсоях. 2. Э)п Зх= Зя<п х — 4я!пзх. 3. я!и 4х = соя х (4 в[п х — 8 в1п* х). = ( — 1)" а сов х ~2з" з я1пз" з х — 2з" а в)па" 4 х+ 2п — 3 1! + (2и — 4) (2п — 5) 2зп-а зп-е 2! 2зи 'в!пзи 'х+. )- А (3.174) Пользуясь формулами и замечанием 1.30, можно для яЬ 2пх, вЬ (2и — 1) х, сЬ 2пх, сЬ (2п — 1) х написать формулы, аналогичные 1.332, подобно тому, как это было сделано в формулах 1.331.
4' 4. в1п5х = 5ь)а х — 20я1пвх+ 16ь1а'х. 5. я1 и бх = соя х (6 ь)п х — 32 я)пь х + 32 ь1 п ' х) . 6, в1 и 7х = 7 в)п х — 56 я пв х -~- 112 я1 и — 64 як'х, 1,334 1. ьЬ2х=2яЬ тсЬх. 2. вЬ Зх = 3 яЬ х + 4 яЬ ьх. 3. ьЫ4х= сЬ х(4яЬх+.8яЬ'х) 4. яЬ 5х= 5 вЬх+ 20яЬвх+ 16 яЬьх. 5. яЬ6х= сЬх(6 яЬх+ 32яЬ'х+ 32ьЬь х) 6 яЬ7х= 7яЬх+56яЬьх-+112 яЬьх-1-64ьЬ'з 1.335 ! .
соя 2х = 2 соь' х — 1. 2. соь Зх=4соя'х — 3 соях. 3. соя4х — 8сояьх — 8соя'х+1 4. соь 5х = 16 сов' х — 20 сов* х+ 5 сов х. 5. соь бх = 32 сов' х — 48 совах -+ 18 сов' х — 1. 6, сов 7х = 64 сов' х — 112 соя~ х ч- 56 соя" х — 7 сов .ю. 1. сЬ 2х = — 2 сЬ' х — 1. 4 сЬ'х — 3 сЬ х. 8сЬ'х — 8сЬ'х+1. 16 сЬьх — 20 сЬзх+ 5 сЬ х. 32 сЬ'х — 48 сЬ'х+ 18 сЬ'х — 1. 64 сЬ' х — 112 сЬьх+ 56 сЬ~ х — 7 с Ь х. 2. сЬЗх= 3.
сЬ4х= 4. сЬ5х= 5 сЬбх= 6. сЬ 7х= 1,34 Иекоторые суммы тригонометрических и гиперболическив фупкцпй 1.341 л — 1 ы( +а„~=а (*+ у)вп —." ~=о гВ-! + ау) = вЬ (х+ — у~1 яЫ вЂ”, 2,/ 2 у А-0 ьЬ— и — 1 п — 1 ~ . еу 3. '~' сов(х+йу) =соя(х+ — у~в(п —,сояес —.
2 ~ 2 2 в=о я — $ 4. ~ сЬ(х+йу)=сЬ (х+ . у)яЬ— а вл —, 2 вв-1 5. ~ ( — 1) сов (х+ Йу) — ил ~ х+ —. у) ь1п лу вес — . А (361.8) А (361.9) Жл (202) ~ ь — 1 4 тгигономктгичискик и гипкгполичкскик эункипи 44 элБмеытйРные ФтНКции л — ! Частные случаи 1.342 и и4-1 . ах х 1. '«~ в)пйх=в)п 2 х в(п — совес —. 2 2 А (361.1) и+1 пх и пх и+1 2. ~ сов йх = сов х вш — совес — + 1 = сов — вш — хсояес —. 2 2 2 2 2 2 а=о А (361.2) и 3. ~1~~~ в1п (2й — 1) х = в!п1 пх совес х.
А (361.7) й=! 4. У', сов [2й — 1) х = — в!п 2пх совес х. 2 а=! Жл(207) 1.343 г'2п+ 1 1 ( — 1)и гоп~ х ) 2 — — + 2 х 2 сов— 2 и 1. «~ ( — 1) сояйх= и=! А (361.11) и 2. ~~ ( — 1) ' в!п(2й — 1)х=( — 1)~ А (361. 10) и ,'~' в!п (4й — 1) х = 2пх+ вш 2пх) (соя х+ вш х) совес 2х. 3. ~~)~ сов (4й — 3) х -1- = в!И 2пх (соя Жл (206) ! .344 лй н 1.
~ я1п — =сФс —. и "2а и-1 2ка \lп г пн па~ 2. ~~~" в!и — = — ~1+ сов — — в1п — ). и 2 2 2 ) и=! и — ! 2пй1 )Га г пж . пк ~ 3. ~~~~ соя = ~ 1+соя — +я1п — ). п 2 2 2). А (361. 19) А (361. 18) А (361. 17) 1.35 Суммы степеней кратных дуг 1.351 и 1. ~ в(пп йх = — [(2п+ 1) вш х — в(п (2п+ 1) х~ совес х; а=! а сои (и+1) и и!и ах 2 2ьш и А (361 Л) 6.
'~~ ( — 1)" вш(х+-йу) =в!п~х+ —,(у+и)~в!и "~~,+ ~ весф. й О Жл (202а) Х п — 1 1 сов'йх =- — + —, соя пх явп (п+ 1) х сояес х 2 2 ) 1=1 п сов (и+1) т в1п пх = — -1- 2 2в1п х А (361.4)и и 3 . и+1 . их х 3. ~ Я1п йх= — я)п —,х Якв —,сояес —., 4 ' 2 2 И=1 1 . 31п-)-1) х . Зпх Зх — — я!и . Я1а —.сояес —,. Жл(210) 2 2 2 3 +1 .
пх х 4. У соявйх= — соя х я1и — совес —, + 1 4 2 2 2 и 1 + — соя . т ЯГП вЂ”, сояес —. Жл (211)и 3 (и+ 1) . Зпх Зх 4 2 2 2 5. > Я1п' йх = — )Зп — 4 соя (п+ 1) х Я1п пх сояес х+ т-1, 1 ь и=1 + соя 2(п+ 1) х Я1п 2пхсовес 2х]. Жл (212) 6 ~)', соьв йх = — (Зп+ 4сов (и+ 1) х Я1И пх сояес х+ Ь в=1 + соя 2 (и 1- 1) х Я1п 2пх совес 2х]. Жл (213) 1.352 2п — 1 псов х В1П ПХ и — ! 1. '~„й Я1п й* А (361.5) х, .
х 4 в1п* —,- 2 91п —. 2 2 2п — 1 и в1п — х 2 1 — сои пх 2. ~~~~ йсояйх А (361.6) х 2вш 2 4 в1пв —, 2 и — 1 р в1п х — р" в1п дх+ ри" в1п 1п — 1) х 1. р Я1пйх— ° Х' 1 — 2р сов х+ р2 А (361. 12)ц и — 1 2, ЯЬйх— ° Х р вЬ х — р" ЯЬ пх-+ р и+1 вп (п — 1) х 1 — 2р ~.Ьх+рв с1 В 1 — рСОВ х — риСОВпХ+ри" СОЯ~и — 1) х А (361. 13) и «=в и — 1 с)1 йх= 1 — р с Ь х — р" сь пх + р"'1 сЬ 1п — 1) х 1 — Зр сь х-)-~, Жл (396) 1.З вЂ” 1,1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 45 1.
ЭЛИМВНТАРНЫК АМУНИЦИИ 1. '«~ я)в !!=! йх яш (й+ 1) х = — [(и + 1) я1и 2х — я(и 2 (и+ 1) х] сояес х. 4 Жл (214) 2. ~~~~ яш и 1 йх я!п (й -(- 2) х = — соя 2х — — соя (п + 3) х я! и пх сояес х. 2 Жл (216) Йх соя (2к — 1) у = я1п ~пу + — х «я1н е+1 1 . и(х+2у) х+2у 2 ( 2 сояес —— 2 3.
~~ я1!! х=! х+ 1 1 а(2у — х) 2у — х — Я1П ~ПУ вЂ” Х~- Я1Н " СОЯЕС Жл (217) 1.362 1. ~~ (2 я(пх — 1) =-(2"я!в —,) — я1в'х. Х=1 х 2. ~' ~ — вес — ) = собес*х — ( — сояес — ) . с~ ~2~ 2") (.2и 2" ) ' А (361.15) А (361.14) 1 37 Суммы тангенсон кратиыл дуг 1.371 Х 1 х 1 х — Ьд — = — с1д — — 2 с1д 2х, 2!! 2и 2и х=е 1 х 2!и и — 1 1 х К 3 2ви ' +4Щ 2х — — „, с1~, х=о А (361. 16) А (361.20) 1.38 Суммы, приводящие к гиперболическим тавгевсам и к гиперболическим котангенсам 1.38! 1 2У+1 п 1 ЛЯ!Ли ~ К 1+ Сух к 1 !ах !!а и — 1 и я(п"— = с(,)! 2пх — — (ВЬ х+ с1Ь х).
~и 1 1(их 2В 1+ ай 2ю Жл (402)и Жл (403) 2 1Ь х 2А — г1 и-1 (2а+1) и! пи г !! 2(2а+1) ц (2п ) ц Сих ьь! .. 2 +1 + 2У+ 1 2 (2х+1) Жл (404) 1.36 Суммы проияведеиий тригонометрических функций кратных дуг ! .3о61 1з — 1 а теигономжтгичискив и гиимрьоличьькив пункции 47 — сЬ)1(2п+ 1) х — —, сЯ и 2п+1 ' Жл (405) 1 г 24+1 «=и е1п~ 4В 1 х вью 2 2 + — *1Ь— — 2п йь пх. Жл (406) Ап е1пг— 2и 1 + — 1Ь— вЬз 2 2 = 2п сьЬ пх — 2 сьь х.
Жл (407) 1 К=О 2 (2л-~-1) 1 л + — 1Ь— ььх 2 2 =(2п+1) с() ('" 2"* с1Ь вЂ” "„. м=! ь' Ь+1 1 пью 2 2 + — ~ь— Жл (409) 1.39 Представление косинусов и синусов кратных дуг в виде конечных произведений 1.391 г1пг х 1, яа пх = и як хсоь х Ц 1 — ]п — четное], ь яп'-— Жл (5бц) г е1п~ х *= П]'1— в=~~ вий у~ — 1 г 5!п к 3. яппх=пяп х Ц 1— , йг~ а=~ Ь1Д и — 1 япй х 4, соъпх=соехЦ 1— 61 аз Жл(550) [и — четное].
] и — нечетное]. Жл (570) '(и — нечетное]. Жл (571)и М ~ 1. яа пх = 2" ' Ц я а ~х+ — ) . 2й — 1 2. сое пх = 2" ' Ц яв ~х+ — н ) . 2в Жл (548) Жл (540) 2 йа 1Ьх (2п+1) е1п* (2„,+1) 4. 1Ьг »=~ 1+ (2л+1) — (2п-(-1)1Ь( ~+ )" — Мъ —. Жл(408) 1,6 — 1.а тригономктричискиа и гипгриоличискии Фа икции 49 00 «=4 2 17 , , 21« (21« — 1) ... Г , 6.
(Ьх=х — — + — — х'+... = ~ 3 15 315 ~ (2Й)! а« ~ 4 1 В х~' ' ~ха с,— ]. «=4 ФП 523 Ф'11 523и О» х (2Й) ! ... = — + ~ '«хв« ' [ха <лв]. Ф П 522и «=1 хы 2хо 45 945 8. сйЬХ вЂ” + 1 9. яесх=,~ — -х !1х ( — ] ~-н (еа«! а«Г и 441 Я (2Й) ! 1 4 ЧЗЗОи.. .е' 5хы 61х" ~н Е « 2+ 24 720+' ' +~ (2й)! «=$ [х < — ].
10 яесЬ х- 1 Ч 330 Ч 329и 1.412 я1иах =,)~ ( — 1)"' Жл (452)и 2««1ха« соя« х= 1 — ~~ ( — 1)"' (2й) ! «=4 жл (443) „, з*«. — з я1п х = — ~~~ ( — 1) (2й+1) ! х «! Жл (452а)и 1 у (3*«+3) х'« 4. сояах -- "~ ( — 1)"— 4 .4-' (2Й) ! «о Жл (443а) 1.413 О» 21«х4« -и яЬ х = сояес х ~ ( — 1)"' «=! Жл (508) сЬх=яесх+яесх "«~ ( — 1)" (4Й) ! " Жл (507] «=! Со 00 ГИ 2"ха«'1 л(2) 2" 'ха" ' яЬх=хяесх — яесх,)~~ „, =яес х ~ ( — 1), Жл(510) (2Й+ 1)! «=1 4 таяииц»4 иитсгрыавв ./ 7. сСдх= — — '«,' '" ха« ' [ха ( лв].
1 21"!Ва«! (2Й) ! «=1 1 т-4 2(21«1 — 1) ! ВЯ«! ха«1 11. сеяес х= — х+ ~ 1 1 7ха 31ха 12. сояесЬ х = — — —. х+ — — — — + ° х 6 360 15120 1 - 2(2 "-' — 1) В, х -! (2й) ! «-1 [х' с л']. Жл(418) 1. 9ЛЕМКНТАРНЫБ ФРНКЙИИ 2" ха»" 4. сЬх=-хсоеесх+соаесх~ ( — 1) (2»+1) ! »=1 О» $» — 11 А 1 — у 2»-сха»-1 = соеес х,'~~ ( — 1) А=! Жл (509) 1 42 Разложение и![! простейшие дроби 1.421 хсх 4х с-! 1 2 я ~ (Зс — 1)х — хс Вр (191), А (6495'.1) 2.
~Ь вЂ” = — ~~ кх 4х ~~р 1 сс а ! (2)с — 1)х ~-хс А=! 1 2х 1 1 х 1 А — 1 а — о» А (6495. 2), Жл (450а) 1 2х 1 4. сФ мх — + —,~~ — — (сравни 1.217 1.). Их Л ха+ (с* !с=! 11Х 2 (2(с — 1)* — х» '-! (1 )*(2 и)* .. (Р~ — 1) — Р- Жл (450) »=! 1.422 1. вес — = — ~ ( — 1) А (6495.3)и А=! сю алх 4 у 1 1 1 ях ~-~ ! (2» — 1 — х)* (2» — 1+ хД »=1 Жл (451)и 3. совес 1!х = — + — «~ — (си. также 1.217 2.). 1 2х ( — 1)" ссх сс х* — »х А (6495,4)и А ! Жл (446) 1.414 1.
сов[и)а (х-)-ф~1+хх)] = =1 — '«~ ( — 1)А( + )! + ) '" "+( ) х'"' [х' Ц. А(6456.1 - ) А=О 2. 9!в [и 1н(х+]/1+ хх)] = о» ( 1)» ! (» +1 ) (» +3 ) .. (» +(2» — 1) $ х [хх ( 1] А(6456 2 (2Рс-+1) ! . ) а=! Степенные ряды для !и е!ох, )всоех и )п$у х см. 1.516. 1+х соеесх 1 тз 1 — 1]»" г а ~ < — йЪз) 4=1 жл (449) 6. сояес ж: = — + —,т ( — 1) ( — + — у. 1 1 й" 1 1~ дх и ~ х — й й.). Жл (450Ь) юР д я л 1 1 — сояесе — + — с19' — — — = 4иР ав 4ва ш 2 а'.) (1 — йата Р й 1 Жд (477) 1.423 1.43 Нредетавдеыие в виде бесконечного ирои.сведении 1.431 а» =*и (1- — „и.). ьЫ =хП (1+, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
