Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 6
Текст из файла (страница 6)
23 ГК 1П (94)и 2 3 1В 3+ " . ГК1П (95) 12 $~3 0.239 ГК 1П (85), Бр„161(1) Бр 161(1] Бра~ 161(1) ГК П1 (87) ГК П1 (88) Х (8й — 1) (8И-)-1) 2 18 [ 7 0.241 0:» — =]В2. 2А/а Ь=! — — — (1п 2)'. 22АА)!! !2 2 А=! жл (1720) 1 2 Жл(174) Ж ( — ')' —,', =.*"+1 !|!А А=О 0.242 0.243 1 (р+(й 1) д] (р+Ад) ... (р+(й+!] д] 1 1 (!+1) д р (р+ д) - ° (р+ !д) А=! (см. такжо 0.141 3.) БР,„161 (2)и, А (6.7041 1 2 3 4 5 6 0.2 ЧИСЛОВЫЯ РЯДЫ И БЕСН011КЧИЪ|К ПРОИЗВКДКНИЯ вЂ” — — 1 — ]п2.
( — 1)А+' 1 (2й — 1) 2й (2й+.1) 2 ( А — ! ! 1 (3)!+1) (3)!+2) (3)1+3) (3)1+4) и А=О ~ » — !»» = — (»-1 2). »!=-! СО А=.-! ')„'( — )"+' . = [ + 2 Ь (~/2 1)1. А=! ~ ( — 1) а — = — "+ — ]и 2. "(Ж й 4 2 А=! со [»»+д~ А Х ~А †! (р+(А — 1) д] (р+ (й — 1) д-]-1] (р ] — (й — 1) д +-2]... (р ! — (й — 1) д+! — 1] А=! ! ,', 1'",'(' — „')',и (д>0,,2<1). о е.з числовык гнцы и висконя гныи пвоизвьдиния )д и (А-!-1)! ° О 6 Х1 ( 1)» д! ()»+и)! »~ ~ (~+~ — 1)' д=1 0.248 '~~ — „, = 5„, д-т = l, (2) = 0,57672481 ...
Жл(159! (я — 2)-(д — 1)! Я» = 15е, Ю =4140е. Ю, =е, Ю»=2е, Я,=5е, Я»=52е, Ь =203е, Ют=877е, 0.249 ~' ( + ) =15е. Жл (185) Жл (76) 0.25 Бесконечные произведения 0.250 Пусть дана последовательность чисел а„а, ..., ад, ... Если сущел ствует предел )гш И (1+ ад), ковечный или бесконечный (но определенного анака), то этот предел называют знечеыием бесконечного произведения Ц (1+ад) и пишут. И(1+а)=п(1! ) гь сю »=3 д=! Если бесконечное произведение имеет конечное о т л и ч н о е о т н у л я, значение то его называю1 сходяитилсся, в противоположном случае бесконечное произведение называют расходящимся. Ф П 400 0.251 Для того чтобы бесконечное произведение 0.2501.
сходилось, необходимо, чтобы )!шад = О. Ф!1 403 0.252 Если для всех значении индекса й (начиная с некоторого) все ад) О или все ад ( О, то для сходимости произведения 0.250 1. необходима и достаточна сходимость ряда .~, ад. »=$ 0.253 Произведение Ц (1+ ад) называется абсолютно сходли!и.вся, если »-1 произведение Ц (1+ ~ а» !) сходится. Ф11 406 0.255 Произведение Ц (1+ ад) сходитси абсолютно догда и только тогда, д=! когда ряд .Я ад абсолютно сходится.
Ф П 406 »=1 0.254 Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его сходимо сть. 1> 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ то рнд 0.3011. сходится в М равномерно. (Вейерштрасс.) Ф11449 0.304 !!усть ряд 0.301 1. сходится равномерно в области Лг, а функции Р„(х) (при каждом х) образуют моно>онную последовательность и ограничены в совокупности, т.
е. для некогорого числа г', и для всех п и х выполняются неравенства 1. ~ д„(х) [ с г'; тогда ряд СО (х) д (х) сходится равномерно в области М. (Абель.) Ф11 451 0.305 Пусть частичные суммы ряда 0.301 1. ограничены в совокупности т, е. пусть для некоторого г' и для всех гг и х из >31 выполаяюгся неравенства ~ Х у,(*)~ < л; пусть, кроме того, функции а'„, (х) (при каждом х) образуют монотоннун> погледовательпогть, которая сходится к нулю равномерно в облзсги М.
Тогда ряд 0.304 2. сходится равномерно в области ЗХ. (Дири хле.) Ф !! 45! 0.306 Если функции ~„(х! (й=1, 2, 3...) интегрируемы на отрезке [а, Ь) и составленный из яих ряд 0.3011. сходится па атом отрезке равномерно то ого мозно по член но интегрировать, т. е. ~ (,~ ~ь(х)) г(х= ~~~~ ~ ~„(х) г(х [а.-х~ Ь!. Ф Ц459 а А=! А=1 а > 0.307 Пусть функции,'„(т) (й= 1, 2, 3, ...) имеюг на отрезке [а, Ь) непрерывныс производные ~„'(х). Если на этом отрезке ряд 0.301 1. сходится, а рпд ~ Д (х).
составленный из производных, сходится равномерно, то А=1 ряд 0.301 1. можно п о ч л е н н о д и ф ф е р е н ц и р о в а т ь, т, е, ОЭ Ю,'Ъ Я!.(*)Г= Х а(*). 0.31 Степенные ряды 0.311 Функциональный ряд вида ах (х — $)" = а» + а, (х — $) + а, (х — $) з+ А=О называется степенным рядом.
Для каждо>о степенного ряда 0.311 1., егля только он не является всюду расходящимся, обласгь сходамости представляет собой кр у> г цептром в гочке а и радиусом, равным Л, в ка'кдой точке внутри згого круга стопеннои ряд 0,31 ! 1. сходится а б с о л ю тн о, а вне его расходится. Круг этот называют крузом схадимосгли, а его радиус — радиусом схадимости. Если ряд сходи гся во всех точках комплексной плоскости, то говорят, что его радиус схадимости равен бесконечнос>г>и (В = 4- со!. О ВВЕДЕПИЕ 0.312 Степенные ряды можно почлонно интегрировать и дифференцировать внутри друга сходимости, т.
е. (': "~*-и') ~=2,", ('-и*" А=О а=о — ( «~ аА(л — $) ~ = «, /саА(а — $) А=о А-1 Радиус сходимости ряда, получающегося в результате почлепного интегрирования или дифференцировани'я, совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Операции над степенными рядами 0.313 Деление степенных рядов. ЬАХ" А=О У сАжА, А=О иАХА А=О где с„+ — ~ с„а„— Ь =О, оо нли ( — 1)" с а" г А (6360) а„1Ьо — а, Ь„, а„оа„з...
а„ а„Ь,— а,Ь„а„,а,... а, 0.314 Возведение степенных рядов з степень ( ~ аАх')" = ~~'„сАх", А=О А О где с,=а„с = «(lсп — т-)-й)а,с „при т-. 1 л'оо А-$ (и — натуральное число1. А (6361) 0.315 Подстановка ряда в ряд. с, = а,Ьм с, = а,Ь, + а,'Ь„с, = а, Ь, + 2а~аоЬ2+ а,*ЬО, с, = а,д, + а,'Ьо + 2а,а Ь, + 3а,'а Ьо + а',Ь, ... А (6362) а,Ь,— а,Ь, доЬо — аод, аоЬΠ— аоЬ, а О ... О а, а, ... О ао а, ... 0 29 0.3»въ'нпционАльныи Ряды 0.310 Умножение степенных рядов. ~ а„х>» ~, Ь>,х~= ~~~~ сах~; ><=<»<=о «=О с„= ~~~, а~6„ й=а<> Ф11372 Ряд Тейлора называемый рядо.»< Т<>йлора для <(>чнкцвя 1(х). !'яд Теплора сходятся к функции ~(х), если оса>а>лочный член 2.
Н„(х) = Дх) — ~($) — 'Я (" ( Р<'>(~) >»см 1 стремится к нулю при л-» со, Выражения для о г т а т о ч н о г о ч л е н а в ряде Тейлора. 3. Л„(х)=( „,— /<"+'>(~+6(х — Ц) [0<6 '1]. (Лагранж.) 4. Й„(х) = — (1 — 6)" р"+<>Я+6(х — Ц) [0 < 6 < Ц. (Коши.) ( ) Ф ( ~ ~ ) ~ ( О ) ( ~ ~ ) 1 1 ~ ) Р ~ ~ > < ( ь + 6 ( Ц ) [ О < 6 < ~ ] <>>' [(а — С) (1 — (>>) а> (Ш л е м и л ь х.) где >р (х) — произвольная функция, удовлетворяющая следующим двум условиям: 1) она вместе со своей производной >р'(х) непрерывна в промежутке (О. х — $)> 2) производная >р' (х) ке а>еняет знак в том же промежутке; положив ф(х) =х"", получаем следующую форму остаточного члена: (х — ~]" ~(1 — 6>а г ~ ~(„(х)= — — —, Р"+" ($-Р6(х — Ы) [О < Р<и; 0<6<1].
(Ро ш е.) 6 Л (х) = — Г Р"+'>(1)(х — ()" Ж 1 Г 0.318 Другие виды записи ряда Тейлора: 1. 1(а+х) =~~~~ —,~"> (а) =) (а)+ —,~'(а)+ ~, 1 (а)-(-... а — о 2. У(х) — ~; У' '(О) — У(О)+ — -У (О)-,— > У (О)-(-... ь о [Рнд Маклорена.] 0.319 Ряд Тейлора для функций многих переменных; ~(, р)=1(Ь ))+(* — и '" ")+(у — О '" "+ <>. ~'<<<.ч) 2( <><„„>~Уч) ><„„> ~'ХБ»»)» 0.317 Если функция ~ (х) в окрестности точки ~ имеет производные всех порядков, то можно написать ряд: ~Й)+ 1< У®+ „У®+- З, ~ ®+ --, 30 э ыведпник 0.32 Тригонометрические ряды 0.320 Пусть ~(х) — пери одяческа я функция с периодом 21 абсолютно интегрируемая (хотя бы в несобствгн гом смысле) в промежугке ( — У, (). рядом Фурье эгон функцин называется три~ ономотрпчеькяй ряд ве 'х1 хях хях — + ~~ ал соя ( + Ьлв1п коэффициенты которо1 о (коэффициенты Фурье) ппределяютгя по формулам а-+ 2~ А а„= — ~ ~(8)соз — сИ= —, ~ /(1)соз — Ю (Й=О, 1, ~, ...), а а+2~ 3.
Ь„= — ~ ~(г)згп — сй= — ~ ~(е)з1п — (й ()е=1, 2, ...). г йяг ( хя~ а Признаки гходимостя 0.321 Ряд Фурье функции ) (х) в точке *„сходится и числу г'(х„-(-О) + г (х„— О) В если при яекотором Ь) О интеграл л ) Г(ха+2)+Г (х„— Г) — Г (х„+О) — Г(хь — О) ( о существует. При атом предполагается, что функция ) (х) в точке хе либо непрерывна либо имеет с обеих с~оров разрывы перво1о рода (скачки) и что оба предела 1(хе (-О) и ) (хе — 0) существуют. (Дини.) Ф П! 524 0.322 Ряд Фурье периодической функции ~(х), удовлетворяющей на отрезке [а, Ь] у словиям Ди рихле, сходится в каждой точке хл к значению 1 (~ (х„+ 0] + ~ (х — О)]. (Д и р и х л е.) Про функцию ~(х) говорят, что она удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [а, Ь], если она на этом отрезке ограничепа я если оз резок [а, Ь] мол,но разбигь на конечное число интервалов, внутри каждого из которых функция ~(х) непрерывна и монотонна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
