Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.211). (см. 2.211). 2.202 и о р ~ оод 1о ( -рр~ ) ы (о р~~ро<о< о* бо<»~~о~ р р ференциалов), где ж, и и р — рациональные числа, выражаются через элементарные функции только и следующих случаях: а) когда р — целое число; тогда етот интеграл имеет вид суммы интегралов, указанных в 2.201; т+1 б) когда ' — целое число; подстановкой х" а зтот интеграл прв- 1 à — 1 <в+1 образуется к виду — ~ (а+ Ьз)рз " Из, рассмотренному в 2.201; хр+ 1 в) когда +р — целое число; при помощи той же подстановки х»=з 1 ~ ( а+Ьх о т — +х-1 »<+ 1 данный интеграл ттриводятся к интегралу вида — ~ ( — ~ 2» аз р рассмотренному в 2.201. Формулы приведения для интегралов от биномиальных дифференциалов см. 2.110.
2.221 2.222 2 = — )~г. Ь Ы* Ь' з х~ их Ух 2.223 2.224 Ь 1 зтп Нх 5 в-2 )-1) дй ай+ 1 Ь" й (' ххах ии-й 2" й(и — 1)! х При и= 1 1;~™; 1 2 з 1 2 3 2.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ <ЬЪ'ННЦИИ Квадратный корень '-"" Г)'" "" ~=й-* Ь вЂ” 2Й.~-Ы..1 1 1 " =Ы вЂ”.) "' 2 ~ 2)lл = ( — зй — — аз+ а~) ~5 3 ) Ьй ) ";--дг. 5 '"-- =(я+а)=. У йй Ьй у'з ) ==( — * — 2 — ~') —, х~ах з'" ф~ з 2т — 2п+3 хи уГз (п — 1) ахи й 2(и — 1) 5.'Л- -' ~(.-' *.-' + Х (2т — 2п+3) (2т — 2п+5)... (2т — 2п+2Ь 2й (и — 1) (и — 2)...(в — Ь вЂ” 1) хи и ~ + (2т — 2п+3) (2т.
2и+5)... (2т — 3) (2т — 1) 2йт Г л™1 ~Ь вЂ” — =-+а ~ Ыж. (2т — 1) )/ л х )Гз й=$ )à — Уа оф агс1й [а < О]. (см. 2.224 4.). (см. 2.224 4.). (см. 2.224 4.). 2.232 2.233 2.234 з'" ф зз За — Зт+5 Ь (т — 1) ах"' ' 3(т — 1) а + ' 5:-'"-. При ш=1: за дх х~з 1~) з 2.235 2.241 1. (2 +2 +1)Р г (г + (2 +2 +1)Р 5 Аа $76 (1) =2)/Я'""'.'Е (Д Ы*" Х ( — ')'Я 2 2р-(-2 -(-1 з а а 1 2 3 4 2.2 АлГкБРАичкскик Ф~нкции 1 Г 3 Рз — Ь~а У ЗЬ'з ~ —,1н ~ — )/3 сна, зад За за-1,(х -~-а ( Йфз (Зп — 1)багз ) хауз йх ЗФ'зз 1 ~ ~Узза а ф (Зи — 2) аза а ) хза Нх 1 3 ф з — фга ° 1г Зфз 1 — ==( —,1 +~ зам~к ' )~'зз дх 3 зг — С Нх = — Ь за+а~ х 2 3 хфз "+ Р ззЫх ~зз Ь зг з 2Ь ( ах 5 2.24 Формы, содержащие (га+Ьх и бином а+~я Обозначении: а=а-(- Ьх, 8=а-(-рх, (з ар — Ьа. (см.
2.232). (см. 2.232). (см. 2.232). (см. 2.232). (см. 2.232). (см. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). (см. 2.235). 92 й. НЕОПРЕДЕЛЕННЫК ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРННЦИИ При и=1 рв,~ 2 з'в Л (' зх' в г7х Юу"з ( — 1)Р уз 0 3 гу' та — 1 два,У~ =='2 ~~ лй л г « —... з=' ~ (2. - 1)Р'* У;+ 6" 3 — „,;з. в=О ь 1 ЗУ з — )ГРл с Ь~. УРь ЗЬ +Уел 2 р)/з агс1д 2):з РЛ> 0); (рл < 01; (Л = 0~.
П1 Х— Их 2 с~ ф' 'зв р ИŠ— + ~~ ( — +1)+ л"' ~,, (см. 2.246). вы=в 2.247 Юх 2 2~1 ~Р 1 Ых — — (см. 2.246). Ых 2 2~ 2~в Яв Г Нх $,—, Ф вЂ”, + 3 .,Ф,-, + ~,$ -, + ° 3 „у-, ('м 2246) Ых ф' з Ь Г Нх == — — — — ~ = (см, 2.246). ю у'з Л~ 2Л 3 ю~Г. — ) —.. -'" ах 1 ЗЬ ЗЬР Г хх . в.иь. зз 5Ь 5ьр 5ьрв ~ Нх — (см. 2.246). ( . 2.246. Нх 1 7Ь 7др 7ьрв Звзв ~/з Язв ф' з 5Лвзв )~ з ЗЛвз )/з Л4)/з 7ьрв Г Ых — — — (см.
2.246). 2Л4 ~ (' Нх ')~з ЗЬ ф з ЗЬв Г Ых = = — — + + —, ~ = (см. 2.246). 1в у'з 2ЛЗв 4Ы$ 8Лв ~ З )/з 7Ь ~ 35Ь Мз~~/ з 2М~з )/ з 4Лввз $/ з 12Лвз)/з -+ ЗЬЬ8 ЗЗЬзв Г И Ых 1 9Ь 63ьв ввзв .р'з 2Лввзе )/ з 4ЛЧзв у"з 26Лззв у"з 21ьвР 63ьвРв 63ьв(Р Г ~г~ 93 2.2 ЛЛГИБРАИЯБСИИБ ФРНМЦИИ 12. ~ =- — + — ~ —. (см.
2.246). Г зНх 2Уз Л Г 1з 1 "'2' 2 у'+ 2л)~'+ лз 1 ~* (см 2.246) ,) к У з ЗР 0' Г 5 з у'з 14 ~' з ~"х 2з У з 2Лз Уз 2Л ~з Л Г '"х ~, )/-; — 58 З()з + Зз + ()з ~, уИх з ф~з уз '.)лу'. ж 0~ ~Р 5 ~)/~ ззпх з~зГз ЬзЪ з ЗЬ у з ЗЬЛ Г дх ~ ззу" Лз рЛ рз 2Рз,) з у зз ~/~ Ьзз Уз 5Ьг У з 5ЬЛ Уз ,) ру ЛЮ ДЛ Зрз 8 Г.ы- .у' ы~ у ь' Г ~ зз у" з 2ЛЗз 4ЛзЗ 4~Лз 8()Л ) З у'з "у Ь" у з Ь*з)~з ,) Зв у'з 2ЛР 4Лз2 4~Лз ЗЬ* У з ЗЬз 4рзл 8Рз,) 2 у'з зз У з Зьзз у з Зьззз Уз 5ьззУ з 2ЛР ЛзЗ 4~Лз 4РзЛ 15ьзУ з 15ЬзЛ Г Йх 4Р' Ф' 5 Юуз (см. 2.246).
(см, 2.246). (см. 2.246). (см. 2.246). (см. 2.246). (см. 2.246). (см. 2.246). 2.249 Нх 2 Ь~з (2п+2ж — 3) )) дх ,, „,-— Р ~~а ю-~ Р— 1)Ь Ли 177(4). 1 Уз (2п (-2ж — 3) Ь ~ пх (а в 1) Л з"Чп 1 2 (и†1) Л ,) Юв-зЗ~» у/з йх уз 1 — 1 1 ув1п у"з з™ 1, (и 1) Л зп 1 + ( — 1) Х (2а+ 2ж — 3) (2а+2ж — 5)... (2а+2ж — 2)з+1) Ьз з 2" з (а — 1) (а — 2)... (п — Й) Лп З=з 1 зп-д~ + При Ых 2 пх ,,У; (2ж — 1)Л, -1у.;+ Л 3 „-.
у. (2а-(-2ж — 3)(2п+2ж — 5)...( — 2ж+3)( — 2ж+1)ьп 1 Г дх +( — 1)" ' 2п з (и — 1)) Лп з ь,;у-.. 94 2. НеопРедел енные интегРАлы от элементАРных ФРнкций 2.25 Формы, содержащие )/ а+ Ьж+ ежд Способы интегрирования 2.251 Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида / В(х, Ь/а+ Ьх-)-схз) с(х достигается с помощью по крайней мере одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера: 1) 1/ а+ Ьх+ схд = х2 + 1/ а при а > О; 2) 1/ а + Ьх+ схд — ~ ~- х Р'с при с > О; 3) ?/'с(х — хд)(х — х,)=~(х — хд) при условии, что корни х, и х уравнения а+ Ьх+ сх'= О действительны.
2.252 Броме подстановок Зйлера, существует еще следующий способ вычислевия интегралов вила ~ дд (х, )/а-~ Ьх-)-схз) с(х. ??рипочощиуничтожения иррациональности в знаменателе и простейших алгебраических операций подынтегральное выражение может быть сведено к сумме некоторой рациональной функции от х и выражения вида Р, (х) где Рд (х) Рс (х) 1/а-)- Ьа )-схд и Р, (х) — два многочлена. ??ри поддощи выделения из рациональной функции Р' (х) ' ( ) целой части и разложения остатка ыа простейшие дроби интеграл от последнего выражения сводится к сумме интегралов, каждый из которых имеет один из следующих трех видов.
1, — -, где Р(х) — мяогочлен некоторой степени г; Р(х) Их 1/ а+Ьх+схд ?1. (х+р)А )/ а+Ьх+схд ~а -~.а~а. ° 1 .1 (а+рх+хд)х )/ с(ад+Ьдх+ха) ~ д с ' д с / ФП77 Р(х) а'х Интегралы вида (при г ~~ 3) можно также вычислить )/ а —, Ьх+ схд пользуясь формулами 2.26. ()~ 11. Интегралы вида при условии, что степень и (х+р)" )/ +Ь + 1 многочлена Р (х) ниже /с, с помощью подстановки ~ = приводятся к х+р интегралу вида ~ (см. также 2.281).
Р(Д) а )/ а Р+уд* (Мх — ( д)/ Ых 111. Интегралы вида ~ вычисляются сле- (п+()х+х*)™ )/с (ад+ Ьдх+хд) дующим способом. ' ),...'-';;.-О*Р'+'* -' '1 .", — """С— многочлгн (с — 1)-и степени. Его коэффициенты, а также число Л вычисляются по методу неопределенных коэффициентов ид тождества Р (х) = Д' (х) ( + Ьх + схз) + — ~ (х) (Ь + 2 х) + Л. 2.2 АЛГМВРАИЧВСНИЕ ФМНКЦИИ а2 — а 1 — 1 Ъ' (и, — а)2 — (аЬЬ вЂ” — адр) (р — ЬТ) )) — — Ь, 1+1 8- Ь, Р(С) 1й втот интеграл приводится к интегралу вида ~ ),, гдео(1)— (Р+р) ')г е(12+у) Р (2) гй многочлен степени не выше 2228 — 1.
Интеграл 1 сводится (22+р)'" )Р 22+а 2 дй Г вй к сумме интегралов вида и (Р+р)" 1р т'+Ч ЬР+р)п ~'2'+Ч 8 лл Ь,-8, л ллгвгр лвл лд Р(1) 1й приводит под(Р+ р)ев ЬРс (Р+ д) ЬТ становка 1= х+ —. 2 Тй Интеграл 1 берется с помощью подстановки 12+ д = и'. Э (Р+р)")' с(Р+т) й Интеграл ~ беретсн с помошью подстановки (82-~-р)д у е(Р+д) = о (см.
также 2.283). с Ф11 78 — 82 У'22+ 2.26 Формы, содержащие ]Р а+ Ьж -)- сж2 и целые степени м — г'л-- С -Ьв -~~ь (рп+вп+2) е 2 (т+2п+2) е .1 — ' Ь Д'г" 2 Л*. Т 11221 2. )Ьгп 'ел= " 2/В'".Ь вЂ” 'гс' 'Ыл. 21188 4 (п+1) с 8 [и+1) с 6 ~ рГЛ2пл1 ( (2ст+ ь)1, и ~ди+ 4(п+1) с (2п+1) (2а — 1)...(2п — 2Ь+1) ~ А ~IЧ-2 8п Ьп(п — 1)...(п — Ь) ~ е / 2 — О (2а+1)О Г сЪ ~ +2 (' а +3".(п 1), ~ —.Г Г Л. Т (190) Если ЬТ рь [), то при помощи подстановки О б о з н а ч е ни я: Л = а+ Ьх+ сха, Д = 4ас — Ьа Упрощенные формулы для случая Ь= О см. 2.27.
2.260 2.261 При и= — 1 = )п(2УсИ+2сх-+ Ь) [с > 0]; ф~ Л 'Ьре АгвЬ ' ~ [с>0 Д>О]. )д' с фь агой(п [с ( О, Д ( 0]- — 1 . 2 +Ь ф~ — с )п(2сх+И [с>0, Д=О]. 1 Т (127) Д (380 001) Т (128) Д(З80 001) 2 2 АЛГЕБРАИт1ЕСКИЕ ФРИКЦИИ 2 (2сх+ Ь) 8 (п — 1) с (' ~Мх .) у'л Т (189) 3 4 (2п 1) Л )/дзп 1 (2п — 1) Л - — — -+ 2 (2сх+ Ь) х (2п — 1) Л )т'Лзп г 2.264 = (~~.
з.зат). уЛ вЂ” — — — = (см. 2.261). хт(х ф' и Ь Г т1х )~л = ° 1 у~ т в (3 ттв ~ 8Ф В )~ (см. 2.261). (см. 2.261). 2 (2сх+ Ь) л)'Л 2 (2а+ Ьх) Л )'Л (Л вЂ” Ь ) — 2аЬ+ 1 '1 — '(х — (см 2.261) м) л .) )л сАхз+ Ь (10ас — ЗЬз) и+ а (8ис — ВЬз) сзтз )т а( ) !-. 2сз з, "д = (см. 2.261). тт' ттзтттт 1Г~ = х'щ 2.265 (2,— т .тот ~ т'в" + 2(тп — 1)а хат г + г1х + -)тг дзп+з (т — 1) ахти т +(2 — +4) (' Р )('"'с . Т(193 (т — 1)а ) хат з При ти= 1 т'в", т'в- ь ~ .,„, ~ т'в При а=Π— '+ У (Ьх+ схз)з" ' 2 р~(Ьх-1- сх')з"'а с(х = , т (2п — 2тп+8) Ьхтп Т (198) (тп — 2п — ) ~ ф (Ьх-т-схз)~~" Л 169 ~31 + (2п — 2т+8) Ь,) хвт з При т=О см. 2.260 2.
и 2.260 3. 7 Таблицы интегралов 1 2 3 4 6 7 8 тт'х у дзп. а т(х у Дан+1 и — 1 х(1+ Х 4=1 8й(т — 1)( — 2)...( — й) сй Ла) 1 (2п — 8) (2п — 5)...(2п- 2й- 1) Ла ( г 1 ( ) 2,2 АЛГББРАИВВасКИИ ФВ ННЦИИ 99 При а=О Ш (В- — )1'Ь -1- ~-~- — ~, (В . 2.241). 2.268 ВВ'х 1 хсВ УЬВав..а (Вд 1) ахВВВ-В УДВВВ 1 (2а+ 2с — 3) Ь 1 ВВх <2а+2 — г)с ( х 2(Вп — 1)а а хаВ-а уЛВВВ+В (Ва — 1) а ) хВс — а удааВВ ' При т=1 ВВХ хУВВа"" (2п — 1) а УК'" ' При а =О Йх 2 хаВ у(ьх+ сха)аа ' (2ВВ+ 2ВВ — 1) Ьх™ 1/ (Ьх-+ сха)аа — 4 (4в+ 2аа — 2) с 1 ВВх (~ +2 — 1) Ь ) у(ь ~, *).' - (сР'иии 265). 2.269 1. 1 — * (см. 2.266). 3 х,/-л В)х УЛ Ь С В( (см.
2.266), ~УЛ 2 а хУВ При а=Π— ( ВВХ 2Г 1 2с = — ~ — —,, + — а( рх-)-сха. Уь+ . З ~ Ь' Ьах/ При а=О ')> 11х 2 Г 1 4с Яса = — ( — —.+ —,, — ) 11 Ьх+сха. ха Уьх+сха 5 ~ Ьха 3Ьаха ЗЬах / В йх 2(Ьсх — 2ас+Ь ) 1 ~ ВЪ аа Уд а ) хУд При а =О дх 2 (' 1 4с зсах ~1 1 У(Ь ( а)а З ВВ Ьх Ьа Ьа /УЬ ДВ ( 1 В 1 ~В )ВД 1 ~ В (смВ 2,266). При а=О 1. -... =-(- — — — — ) 4)х 2 ~ 1 2с 8с~ 16Сах ~ 1 х* ф~ (Ьх-) сх')4 5 ~- Ьх Ь а' Ь " / Уьх+саа 6. -( Ых Г 1 5Ь 15Ь4 — 62асЬа+ 24ааса = — — +— а У да ~ аха 2аах са"Л дс(15Ьа — 52ас)х"~ 1 15ьа — 12ас 1- В)х —,+ ... ~ у, (С~. ~.~).
При а=О ..., =-(-- "- + — —.) В В1' 1 В 1ВР Ы 111 В'11 1 ~В 1( В* 11** 11 11 11 )ВВ 100 2, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2.27 Формы, содержащие ф~а-г схс и целые степени х О б о з н а ч э в и н: и = фга + схс. 1, = = 1в (х ~ с+ и) 1Г с [с> О); фà — с 2)I а 1 с 1 1 г д — — агсяесх ~ — — = =агссов — 11 — — [а (О и с > 0). У" — а а у' д х 1~ е 2.271 хдх 1 иеи 1 (2в — 1) сисе 1 Д (201.9)и Д (203.9) и агсяпх 1г~с [с ( 0 и а > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
