Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 14
Текст из файла (страница 14)
сЬ ахи(х = — яЬ ах. а 9. с ЬЯ ах 4(х = — + — вЬ 2ах. а 1 2 4а 10. сЬ хйх — — йх+ —,йЗх=йх+ — йах, з 1 1 4 12 з з з 1 11. сЬ4хНх= — х+ — яЬ 2х+ —,, яЬ 4х= — х+ — зЬхсЬх+- яЬхсЬах. 8 4 32 8 8 4 ИО 2 неопРеделенные интеГРАлы От элементАРные Фрикции 10. вЬ х сЬ' х с(х = — сЬ' х. 4 11. вЬйхсЬйх4(х= — ( сЬйх-!- — яЬхх. 5 ~„ 12. ЕЬ'х сЬ'х с(х = — — сЬ 2х+ — сЬ 6х = — сЬ22х — — сЬ2х; 64 192 48 16 254х за'х са'х с54х — + —— 6 4 6 4 13.
яЬ х сЬ х~Ь= — яЬ х ~сЬ х — — сЬ х — — ~ = — ! сЬ х+ — ) вЬ х. 1 2 Г 4 3 й 2~ 1Г й 2~ й 7 14. !( яЬ х сЬ4х с(х = — сЬйх. 1 5 15. ~ яЬ'хсЬ4х Их = — —" — — яЬ 2х+ — яЬ4х+ — яЬ6х. 16 Й 64 192 16. вЬ'х сЬ4х Их = — сЬ'х ( вЬ4х + — вЬ'х — — 1) = — ( яЬ'х — — 1) сЬйх. 17. вЬ х сЬ х Их = — — — вЬ 4х+ —, яЬ Зх. Зх 1 1 128 128 1624 2.416 Г вЬ~'х вЪР'й ( и — 1 + '" яесЬ 2п — 2й — $х (2п- — р — 2) (2п — р --4)„.(2п — р 22) ° -Х (2п — 3) (2п — 5)...(2а — 2/ — 1) й (2п — р -2) (2п — р — 4)..( — р+2) ( —, р) (' (2п — 1) и ~ яЬРхс(х.
Эта формула применима при любам действительном р. ~ яЬРхИх при р натуральном см. 2.И22. и 2.И23, При п 0 и р целом и отрицательном длн этого интеграла имеем: 2. — — = — ~ — сояесЬ ™- х+ а* с) х 2ш-! вйхпх 2т — 1 + ~ ( 1)й-~ 2 (п4 ) (~" 2).. (™ Й) ОВЕСЬ2т-2й-1 (2т — 3) (2иа — 5)... (2п~ — 2й — 1) й=$ пх сйх з. 1 = — 4 — сояесЬ' х+ „„,.„. —,.„ Х ~ 1)1- .['" — Ц(2" — В'-.(2" — 2Й+с,Ь.-,) 2" (ж — 1) (пх — 2)...[гп — 74) й=! +( — Ц""" '"'(ПСЬ вЂ”. (2т)(! 2 ' 2,й ГИПЕРБОЛИЯЕСКИЕ ФиНКЦИИ 2.417 я)(хх 8)(1(~1х 1 и — 1 (2п — Р— 1) (2и — Р— 3)...(2п — Р— 274-(-1) Ь2п +", 2п (и — 1) (и — 2) .. (и — Ц й=! + (2п — р — 1 (2п — р — 3)...(3 — р) (1 -- р) Г еМх 2пи( — 1(т.
с(( х Эта формула применима при любом действительном р. При п =О и р целом имеем. "" " вЬ 4-( — (("(и,Ь,; с)1 х 2Ф Ь=1 2.' 2у, ~,)сЬ-'х+( — 1)™1псЬх [и> Ч. К=1 '(' Х 44 ~ '('" '*-(-( — ()" аГаьИ(ВЬ ~( (~~ (( и=1 ( — 1)» сояес)(и ь(( их 4. ~ ., „=~ ' +( и=1 ((-1 2.418 Г с)(((х Саи+1Х 1 4(х = — ~сояесЬ2" — 1х+ .) яЬ~ "х 2и и — 1 ( — 1)" (2п — р — 2) (2п — р — 41... (2и — р 2(4) (2п — 3) (2'4 — 5)...
(2п — 2а — 1) а=1 + ( — 1) (2п — р — 2)(2п — р — 4)...( р ! 2)( р) ( (' — 1) 3Г сЬрта Эта формула применима при любом действительном р. сЬРИ(1и прп р натуральт1оь( см 2.4132. и 2.4133. При р целом и отрицательном для этого интеграла имеем: 2. ~ — = 11яесЬ вЂ” ж+ Г Ы е)( Г ;) с)1ьиьх 2т — 1 1 ти — 1 + ~ ... яесЬ вЂ” -1х 2(4(иь — 1) (т — 2).. (т — (с) 2 — 2((— (2т — 3) (2т — 5)... (2т — 2а — 1) = — ~ яЕСЬ2(их+ йх япх ( с)4 т41х 2 ) т — 1 и (2т — 1) (2(п — 3)...
(2п( — 2)1+ 1) ь Ъ 2(4 (т — 1) (т — 2)... (т — й) и=1 +, ' агония(яЬХ. (2т — 1)!! 2.4 ГИНЕ РБОЛИтГЕСКИЕ ФУНКЦИИ 10 16 18 19 4 8 Таблицы интегралов — = 1ИЪЬ вЂ” = — 1Е Нх х 1 сЬх — 1 вЬх 2 2 сЬх+1 Их = — сСЬ х. 5Ьа х 0х сЬх 1 х = — — — — 1Е ВЬ вЂ”. вЬах 25Ьах 2 2 сЬ. 1 — = — — + — сеЬ х = — — с$Ьв х+ ссЬ х, вЬ4.= 3Ьа 3 — 3 Ых сЬх 3 сЬх 3 5Ьах 45Ьах 8 вЬах+ 8 2 ' 4Ы сЬх 4 в 4 — + — сСЬв х — — с1Ь х' вЬа х 55Ьа х 15 5 — — с$Ь х+ — с1Ь х — с$Ьх.
1 а 2 в 5 3 — ( ей сЬ х Г 1 5 15~ 5 х — — + — ~ — — Ь сЬ вЂ”. Ь 8.Ьах~,вЬах 45Ь * 8 ) 18 2 . вЬв х — =с$Ьх — с1Ь х+ — сЬЬ х- — сЬЬ х. Их а 3 а. 1 5 7 = агс18 (вЬ х) = 2агс1у (с"); = агсзш (СЬ х); =~1 . Нх — = СЬх. сЬ4 х И 5Ьх Ьа аЛ + 2 агс1~('Ьх)- дх вЬх 2 — — + — 1Ьх; сЬ4 х ЗсЬа л 3 1 а 3 = — — 1Ь: +1Ьх.
йх вЬх 3 5Ьх 3 — + — + — агсйд (аЬ х). сЬах 4сЬ4х 8 сЬах 8 йх вЬх 4 а 4 — — — йЬв х+ — 1Ь х; сЬ4 х 5саа х 15 5 = —,~Ь'х — — 1Ь'х+ йх. — — ( йх вЬх Г 1 5 15~ 5 = — ~ — + — + — ) + —. агар (вЬ-х). сЬ1х бсЬах~, сЬ4х 4сЬах 8 ) 18 — Ь' ' + 3 Ь' — Р саах 7 5 — 41х = 1и с Ь х. сах 5Ьа х йх = зЬ х — агсйд (зЬ х). сЬх вЬах 1 — дх = — вЬ' х — 1п сЬ х; сЬх 2 1 = — сЬ' — 1н Ьх.
я. нкопржджлкннык инткгжьлы от элжмкптАРпых е~нцции 20. ~ сЬ = — зЬв х — зЬ х -1- агсад 1зЫ х). Г Л% 3сЬх '=З " 5 — "-"= — '* Г в1Рх 1 23. ~ сЬ=сЬх+ —. 1 сЬвх сЬх 24. ~ Ьв с1х= — 2 х+ 4 зЬ2х+$Ьх. Г яЬв З яЬх 1 ,1 сЬвх 2сЬ'х ' = — вЬЯ х. 1 Г вЬвх яЫх 1 26. ~ в '"'х= 2.Ьях+ 2 вУД,~~зЬх1 27. ~ Их= — — Жвх-1-1цсЬх; Г яЬвх 1 ~ сЬвх 2 1 — +1цсЬх.
Г яЬ4х яЬх 3 28. ~ — Нх = + яЬ х — —, агсгд (зЬ х). 1 сззх 2.Ьх ' 2 яЬх 29. 1 — Ых= — — . ~ сЛ4 х ЗсЬтх ' 32. ~ — „, сЬ = — — $Ьвх — СЬх+х. Г яЬ4т 1 ~ сЬх ~ яЬх 34. 1 ' — ~Ь = сЬ х+ 1ц 1Ь -, вЬ х 2 Г сЬвх 1 35. ~ — с1х = — сЬв х+ 1ц зЬ х.
яЬх 2 Г сЬ4х х 36. ~ — Ых= — сЬвх+сЬх+ 1п ФЬ вЂ” . вЬх 3 2 Г с1Рх 1 39. ~ — -Ых=зЬх — —. .1 яЛ'* вЬх ' Г сЬ4х 3 1 40. ~ — Их= — х+ — зЬ2х — ссЬх. .1 яЬвх 2 4 Г сЬх 1 41. ~ — с1х = — —. ~ я1Рх 2вЬвх ' 1 = — — сФЬв х. 2 116 г. няопржднлжнныж интягяллы от элямянтлрных эвикции 62. 1ЬЬл-в[с 4 х — Х вЂ” +1исЬ . 2л — 2[4+ 2 а=1 ГХ1 [351] (12) С1ЬЬл ЬЬ ЬХ 4. ~ ссЬ »4»= — 2 2л — 2[4+ 1 [с=» 1 Формулы со степеннми 1Ь х и с1Ь х, равными и = 1, 2, 3, 4, см. 2.423 17, 2.423 22, 2.423 27., 2.423 32, 2 423 33., 2.423 38., 2.423 43., 2.423 48,. ГХ1 [35Ц(14) Степени гиперболических функций и гиперболические функции от линейных функций аргумента » Ъ Ъ 2.425 1 2 3 — + с1Ь 2х ЬЬ4 т сЬЬ х ЗсЬхеЬех 3 сЬ 2 1 еЬх б елехсЬех еЬх еЬех+2с[14х+ 2 + — агс$х еЬ х, еЬ4 х сЬ4 х = Оса ~х — — сьп х.
[1х». 8 е ар 3 сЬ»»Ы»- — * -1- ~ »Ь~~»Ы» [р ~ 1[ я ~ сь- ххх=~ ',","'("»)а~, .Ь1 .ьх; 5 4--.1 с1Ь1схЫх= — + ~ сИР ххах [рч- 1]. с1ЬР ьх ь' р — 1 сСЬ 'хдх= — '„~~ — ~ ~ — + 1няЬх; х 1»си~ 1 2 ~Ь~,Ь. [=1 ] ["+Ь>"[-+'['"= '. [+ *+' "[- 2 (а — с) еЬ [(а — С) х+ Ь вЂ” Ьс] [а' »- с']. 1'Х1 [352] (2а) 5 еЬ (ах+ Ь) сЬ (сх+ И) 4(х = — сЬ [(а+ с) х+ Ь+ 41]+ 1 — сЬ [(а — с) х+ Ь вЂ” 44] [а' Ф с']. ГХ1 [352] (2с) ]»4[~+4[»Ь[с».1.4[»* г — — »Ь[[~-Р»[х-РЬ-'»Ы[-~- +2(а — а) еЬ[(а, с)х+ Ь вЂ” 41] [а Фс]. ГХ1 [34 2](2Ь) 2 4 ГИНБРБОЛИНБСКИЕ ФЬ'НКЦИИ При а =с.
4. ~ вЬ(ах+ Ь) вЬ(ах+а) ах= — — сЬ(Ь вЂ” а) +4 зЬ(2ах+ о+а). 1. вЬахвЬЬхвЬс дх с)г (а+Ь+с) х с)г (а — д-~- с) х 4(а — Ь+с) с)ь ( — а -' Ь 4- с) х 4 ( — а+Ь+с) сЬ (а+Ь вЂ” с) х ГХ1 [352] (4а) 4 (а+Ь вЂ” с) 2. вЬах вЬ Ьх сЬ сх йх —— зЬ (а+Ь+с) х зЬ ( -а+Ь-)-с) х 4 (а -)- д+с) 4 ( — а+ Ь+с) сЬ (а — Ь+ с) х яЬ (а-$- Ь вЂ” с) х 4 (а — Ь -1- с) 4 (а+ Ь вЂ” с) + ГХ1 [352] (4Ь) 3. яй ахсЬ ЬхсЬ схдх— с)ь [а ) Ь-)-с) х сЬ( — а-) Ь-(-с) х 4 ( — а-,— Ь+ с) + а( — Ь+ ) + а( -)-Ь вЂ” ) 4 (а — Ь+с) 4 (а+Ь вЂ” с) сЬ сЬЬхсЬсхс(х 'Ь('+Ь+с) + 'Ь( — +Ь+') х 4 (а+ Ь-(-с) 4(- -а+Ь+-с) с)ь (а — Ь+ с) х сЬ (а+ Ь вЂ” с) х 4 (а — Ь+ с) 4 (а-~- Ь вЂ” с) ГХ1 [352] (4й) 2.427 1. я1Р х яЬ ах йх = — ( зЬх х сЬ ах — р 'ь в)Р ь х сЬ (а — 1) х Ых 1' )г+а ( х 2. я)РхяЬ(2а+ 1) хЫх= х Г (р+1) ] г(' Р+1+ 2ь х ~~ ~ вЬг'-в" хсЬ(2л — 21+1)х— 2'"+'Г (р — 2Ь+ 1) à — +а — 2й ) р — 1 вЬс — 2~-' х яЬ (2и — 2й) х 22Ь+гг (р — 2ь) 2г-Г (р+1 — 2 ) [р не равно целому отрицательному числу].
ГХ1 [352] (За) ь. [.ь~ .ьь~.Ы*.ьСа.--',вь~ь-с.ь — '.ь<г ьь+с. ГХ1 [352] (Зс) ь. ) *ь( *+Ы ь~ г-и>ш.= —, ць — С.ь,— ~ь(га*.ьььгЬ х 1 ГХ1 [352] (ЗЬ) 2.() ГИНЕРБОЛИЯЕСКИЕ ФУНКЦИИ Г ( — -1;и-)-! ) (,2 Г~ ' +1) »» Ь ' Ь(2 — Ь) .1-, „„~ Ь "*вЬ *а ~ 2"Г (рр — и+1) [р не равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] (7) и 2.432 вЬ (и + 1) х вЬ" ' х (1х = — вЬ" х вЬ пх. 1 вЬ (п + 1) х сЬ" 2 х йх = — сЬ" х с Ь пх. и сЬ (и + 1) х вЬ" ' х (Ь = — вЬ" х сЬ пх.
сЬ (и + 1) х сЬ" ь х с2х = — сЬ" х вЬ пх. Ж(2и+ ) Ь 2 С 2Ь(2и — 21()х з)ь х ) 2и — 2й и=о и — ! 2. а)ь 2их ~.) яЫ (2и — 2$ — 1) х (2Х» 2 ~~ з)) х ~1 аи — 2й — 1 и=о »в 1 с)ь(2и+1) х ( 2 ~~ с)) (2и — 2й) х ва х а-'- Ии — 2й а=о ГХ1 [352] (5а) 2.431 1. ~»Ь х Ьавав 1 Ь Ь -)-р~ Ь '* Ь(а — 1)хах). Р-1 (2 ( 2 х Ь " ГЬ(2 — Ь-)-1)х-1- „) »Ь» "»Ь( -Р()»Ыа) [р не равно целому отрицательному числу]. г(р+1) Г~ — +и+1) ), о л-~,- ..
[р не равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352](8) и 121 2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ При п 1и п=З: 23. 1 — '* ((х=2БЬЯх — 1нсЫх. сЫ х зЫ"'х (3 — и) зЫ" з х (1 — и) зьз Я х При и= 1 и п= 3: 26. ~ 0х= 2БЬЯх+ 1п з))(х. ("- сЫ Зх ~ зЫх 28. ~ ' '* дх=зЫ2х — х. ,) сЫх 29.
~ " с(х=4БЬх — Змса(н(ЬЬх). .) сЫЯ х ЗО. 'я ' Ых = 4х — 3 с)1 х. 2.44 — 2.45 Рациональные функции от гиперболических функций 2.441 А+В зЫх а — ЬА сь х (а)-Ь яЫ х)и (и — 1) (аз+ ЬЯ) (а+ Ь яЫ х)" (' (и — 1) (аА+Ьв)+(и — 2) (ав — ЬА) зЫ х + (и — 1) (аз+ЬЯ) (а-)-ЬзЫ х)" ) При п=1: А+В ял ~ в ав — ьА ~ '(х (см. 2.441 3.) а+ЬяЫх Ь Ь ) а+ЬяЫх а 1Ы вЂ” — Ь+ Ь' аз+ Ьз а+Ьз))* Уа+Ьз аЫх Ь,...+ .' 2 а 1Ы вЂ”,— Ь АгЬЪ 2 $Гая+Ья )(' аз-)-Ь" 2.442 А+Всьх ( В + ~~ )х (а — (-ЬзЫх)" ' (и — 1) Ь (а+ЬБЫх)" я;) (а+ЬзЫх)и ' При и= 1: 2.
') ~~ -Ш вЂ” 1п(~-)-Ь~Ь~)-)-А ~ ~, (~~ 2А4( 3) 43 А+В сЫ х ав — ЬА зЫ х ,) (а+ЬсЫх)" (и — 1)(аз — Ья) (а+ЬсЫх)и ' + '1' (и — 1) (аА — Ьв)+(и — 2) (а — ЬА) сЫх (и — 1) (аз — ЬЯ) (а+Ь сЫ х)и ' 122 2. неопРеделенные интеГРАлы от элементАРнь<х ФУпкпии При п=1: А+ВсЬх г< В а — ЬА ( «х (см. 2 443 3.). а+ЬсЬх Ь Ь ) а+Ь сЬх З 5,.. ° = """ ° <!г>" *<О<' «х 1 Ь+а сЬ х а+ЬсЬх )Гьс ас а+ЬсЬх '< Ь+а сЬ х — агсяи — [<<а > а', л > 0); $/ Ь~ — аг а ! Ьсвх а+ Ь+ 1< — Ь ЬЬ— 1в [аЬ > (<х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
