Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 17
Текст из файла (страница 17)
р 2.2 ~ я|п хсоя ' хс(х„ — +1 ~+1 5|пР 'хсовп ' х ( в Ч вЂ” 1 — 21+ (р 1)('| 1) (( я(п|' вхсоя' 'хЫх. Ф 11 89> Т 214 (р+ о) (р+|| — 2) 2.511 51пр" х 1 ~ я|прх я "х|2 =, ) соя '+ 2п+р ( п — 1 (2п 1) (2п — 3) ... (2п — 2й+ 1) сов~" " х ( + ~+ + ' (2п+ р — 2) (2п-+р — 4) ... (Еп —,р — вй) | 1 (2п — 1) (! + (2п+р) (2п+ р — 2)... (р+2) „' ( —;, ~я)ппх(х. Эта формула применима при любом деиствптельвом о, за исключением следующих отрицательных четных чисел: — -2, — «1, ..., — 2п.
11рп р натуральном и и= 0 имеем: 2. ~ я(п2' х|(х = — —,' — ~ яш х+ совх Г 2( ~ у (2( — 1) (2Я вЂ” 3) .. (2Я вЂ” 2й+1) 2| в '( (2( — 1)!! 2„(( Ц(г 2) (( й, ЯШ х(+ 210 х (см. также 2.513 1.). Т (232) я( и" +1 х~х = — Я)н2' х+ сов х 1 2(+ 1 ( — 1) ° ° ° ( — ) я|п2| 25 2 х 1 (2( — 1) (2( — 3) ... (2( — 2й — 1) ) в=о (см.
также 2.513. 2.). Т (233) 2.в — 2.6 тРитономитРические 4РРнкции 4. $Б * н" *а= ' (.*.,- в1пн 1х 2п+р+1 + 2"и (п — 1) ... (и — 1+1) соввп еа х Х ( +р — 1)( +р — 3) ... ( +р —,И+1)) в=1 Эта формула применима при любом действительном р, за исключением ртрицательных нечетных чисел: — 1, — 3, ..., — (2и+1). 2.512 совп'1х 1. сов" х в)пвп х с(х = — е вшв" ' х+ 2п+ р + ч1 (2п — 1)(2а 3) ... (2а — 2(1+1) в!пеп ев е х~ с-! (2а+р — 2) (2п+р — 4) ... (2а+р — 2й) ) + а=! (2п — 1)!! ( + р) (2п+ р — 2) ... (р+2) Этв формула применима прн любом действительном р, за исключением следующих отрицательных четных чисел.
— 2, — 4, ..., — 2п. При р натуральном и а=О имеем: 2. совв'х Дх = - - — «сояв'-1х+ 'вы х 1 — 1 ~ч (21 — 1) (21 — 3) .. (2! — 2х+1) 21 2в 1 1 (21 — 1)1! 2в(г 1)(1 — 2)... (1 а) ! 2 ц (см. также 2.513 3 ). Т (230) 3. совв'+!ха =,— «совв'х + ьнпх ( 2С~-~ ( 1-1 ~Ы (2( —.1) (2( — 3) .. (2( — 2/с — 1) ( (см. также 2.513 4.); Т (231) ссвР1х ~ . и 4. сов"х вшв"+' х Ых = —, ' в(нвп х+ --З.(р+1 ', и — Мп(п — 1)...
(п — а+1)в!и и "х ~> (Лп+р — 1) (Ьв+р — 3) .. (2а+р — 2%+1)) Эта формула применима ~ри любом действительном р, За исключением следующих отрицательных чисел: — 1, — 3,, — (2п+ 1). 2,513 и-1 ~ в1нв" хдх= —.,„( ) х+ — „.,„, ~~', ( — 1)п( ") в" в=о (см. также 2.511 2.). Т (226) „зд 1, а 2п+1 сов (2п+1 — ~Ф) ~о (см, также 2.511 3.). Т (227) 10 тавннны н~тегвемзы 146 2.
ИЕОЦРнднлеинъ1Е интеГРАлъ1 От элнмептАРпые Ф1'пкций 5. Я1пзх сЬ 6. В1ПЗ Х ИХ хх 7. ВШЗХ 1ЗХ = 1 . 1 1 1 — — яш 2х+ — х = — — яш х сов х + — х. 4 2 2 2 1 3 1 12 — соя Зх — — соя х = — сояз х — сов х. 4 3 Зх в1о 2х вза 4х 8 4 32 — — В1ПХ СОЯ Х вЂ” — ЯШ Х СОЯ Х+ — Х. 3 з 3 8 4 8 5 5 1 — — соя х + — сов Зх — — соя 5х = 8 48 80 з.
4 — — вш' х сов х+ — совз х — — соя х. 5 15 5 5 15 . 3 . 1 —. х — — вш 2Х+ — яш 4Х вЂ” —, я1п Ох = 16 64 64 192 б 5 5 5 — Я1НЗ Х СОЯ Х вЂ” — ЯПЗ Х СОВ Х вЂ” — ЯШ Х СОЯ Х+ — Х. 6 24 16 16 8. Яш'х Ых = 9. Яшз х дх = 35 7 7 1 = — — соя х+ —, сов Зх — — соя 5х + — сов 7х 64 64 320 448 з 24 7 = — — ЯКЕ Х СОЯ Х вЂ” — В1Е~ Х СОВ Х+ — СОВ" Х вЂ” —. СОВ Х. 35 35 35 Я1Н' Х 0Х 10 СОЯ Х12Х совзхох соя' х Ых х 1 1 — яп 2х+ — = — я 11 х соя х + —, х. 4 2 2 2 1 3 ..
1 — вш Зх+ — яш х = вш х — — вшз х. 12 4 3 В 1 . 1 — х+ — яп2х+ — яп4х= 8 4 32 12 =3 3. 1 Х+Я1ПХ СОЯ Х+4В1ПХСОВХ 8 8 5 . 5 . 1 — яп х+ — яш Зх+ — вш 5х = 8 48 80 4 4 ° 3 1 4 = — яш х — — вш х + — сов х яш х. 5 15" 5 5 15. 3 . 1 — х+ — яп 2Х+ — яш 4х+ —. Яш бх = 16 64 64 192 5 5 5 ., 1 = — х + — я1п х сов х + — Я1е х совз х + — яп х совах 16 16 24 6 СОЯ' Х С~Х 14. 15. сОЯ'х Ых 35 7 . 7 .
1 16. СОЯ1ХЫХ= —.я1пх+ — Я1ПЗх+ —,яп5х+ — яп7х = 64 64 320 448 8 з 6 . 4 1 = — Я1В х — — я1п' х+ — яп1 х соя'х+ — Я1Е х сов'х. 35 35 35 7 3. ~ыв'"лы=, ( )л-)-~2 („) з-а (см. также 2.512 2.). Т (224) у оп+1~ впъ(2и — 21с.+Ц х 3 сОЯ'""х = —,.„, ~~ Ь 3 22+1 А=о (см, также 2.512 3.), Т (225) 2.2 — 2,В ТРигонометРияеские Функции 1 Г1 совв х я1пхсоя'хдй= — — 1 — соя Зх+соях~- =— 4 ! 3 з сов~ и 21пх соя х Ь 4 5 совв х я1пх соя Х1Ь= —— 5 5 1 г1 в)авх 21пв х соя х вЬ = — — 1 — я!и Зх — я! и х ) =— 4 ~З' ) з 5 Г1 яшвх сояв хдх = — — 11 — я(п 4х — х~ 8 (4 Ф 61п хсоя хдх= — — ~ — яш5х+ — яш Зх — 2яшх~ = 1Г1 16 1 5 3 вшвх/ 2 ~ в)нвх Г 5 = — ~СОЯВ Х+ — ~ = — ~ — — 21ПВ Хг! х 1 1 .
1 я1п хсоя'ХИй= — + —.я)п2х- — я1п4х- —,я)пбх, 16 64 64 192 = (- 1 Г1 в1па х я(п .х Ь= — ~ — я4Х 2 )= 8 ~,4 Г 1 1 я(пв х соя* х вЬ = — (, — соя 5Х вЂ” — соя Зх — 2 соя х 16~ 5 3 18 20 22 1 = — соя' х- — сояв х. 5 3 1 /1 3 я(п'х совах сЬ= — ~ — соя бх — — соя 2Х~) . 32~ 6 2 я1п хсоя хсЬ вЂ” соя х1~ 5 я1п х+я(п х~ Ф 1 в г 2 3 7 ~ 5 5 5 4 в)ив х яш хсояхсЬ=— 5 28 длн мого интеграла имеем: тельном 29. яшвх совах сЬ = — х- —.81н 2Х вЂ” — я)н 4Х+ — яш бх. 1 . 1 . 1 16 64 64 192 30. я(н хсоя ХИХ= — яш х~ — + — соя х — соя х~ .Ф в 1.2 .2,3 в в 7 ~5 5 ) е 3 1 1 31.
21н' х соя'х й"= — х- — 61п 4х+ —.6(п 8Х. 128 128 1024 и — 1 ~1 (2и — р — 2) (2и — р — 4) ... (2и — р — 25) ви ву, 1 1 + ~~~ (2и — 3)(2и — 5) ... (2и — 2й — 1) ) + и 1 (2и — р — 2)(2и — р — 4)... ( — р+2)( — р) ( + (2 — 1) !! ~ я(них НХ.
Эта формула применима при любом действительном р. я)п" ХЫХ прн р натуральном см. 2.511 2., 3. и 2.513 1., 2. 1)ри и=О и р целом отрица» 149! 2.3 — 2.6 ТРИГОЫОМЕТРИЧЕСКИЕ РЪ!УНКЦИИ 2.519 ах в1пх 1 1. 1 11 — — — [ веС" 'х+ ,)сов и 21 — 1 ( 1-1 аес2' — 2" — ' х1 (21 — 3) (21 — 3) ... (2р — 2й — 1) й=! Т (240) +~ ъ.р (21 — 1) (21 — 2)... (21 — 2й+1) вес 2 х!+ 2л(р — 1) (р — 2)... (1 — й) т(24Ц 2.521 Г СОВ!У х р1х СОВР" Х Г 1СОВЕС "Х+ + (2п — р — 1) (2л — р — 3) ...
(2п — р — 2й+1) 2, 2В . Ъ собес — ' х~ + 2" (и — 1) (и 2) .. (и — й) й=! (2п — р — 1) (2п — р — 3)... (3 — р)(1 — р) ~ сов!' х + 2" л! ,) в!ох Эта формула применима при любом действилельном р. При а "О и р натуральном имеем: совм рх ррх ср соврлх вшх й=! совр! х Фх т совр!у ! х х й=! 2.522 у $ в(п х сов~~'~ х ~ (2лр 2й+ 2) совит-рйрр . й=1 - =Х -р к —.. р и (2лр — 2й+1)сов! вй'ух 2 к=! сов х сов 1х 2.523 ~ . Нх = — . — (!и — 1) сов 'х !(х! в!в~х вшх рта ф~ру р ~ р лр р~~ еь р, )р "рра-' при р натуральном см. 2.512 2., 3.
и 2.513 3,„4.' При, п= О„и р щ(лом отрицательном для етого интеграла имеем: 152 а, нжопивдилкнныя интнг~ллы от алнмжнтлрных огнкцна ц. 35. 38. 40. 43. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. созе х Ых созе х зшх 2 -1-!в яш х. — — соя х+ааях-~-1в$8 соя х 1 — с1х = — —. зшя х я3Ф х соя' х ах = — сЕ8х — х. яшях сове х . 1 Их = — яш х — —.
еш* х ьш совв х 3 Ых=. — сВ8х — — я1вхсоях— з1пь х 2 2 ~в соя х 1 ьшьх 2з1явх соя'х сов х 1 х — Ых= — . — — 1вФ8 —. ь1пьх 2вшьх 2 о 2 ' сояь х 1 — Ых= —, . — 1вяшх. зшьх 2ешвУ соФх 1 соз х 3 х — — — — соя х — — 1в ь ешьх ' 2 йпРх 2 82 соя х 1 — — Их= з1п4 х 3 впР х ' совях ' 1 я Их —.— саар х. яшях 3 ссея х 1 1 Кт = —.
з1о4х яш х 3 ешь х соя~ х 1 — йх = — — сВ8я х + сйд х+ х. з1п~ х 3 йх 1в йих. з~п х сов х аЪ 1 х = — + 1вйи — . ьш х созь х соя х ' 2 Йх 1 = — +1п Сах, вш х созв х 2 совь х Их 1 1 х + 1в Фп' —, ешхсоя'х соя х Зсоьях + ~ 2 йх Гп х'1 = 1вФц ~ — + — )-сояесх. яшяхсовх - ~4 2 ) дх = — 2 ойдо 2х. я1п' х сояь х Ь У 1 З, 1.
З ьшвхсовьх ~ 2сояьх 2 /я1пх+ 2 ~ 4 + дх 1 я с1р2х. зшя х сояв х 3 яш х сояь х 3 5 дх 1 +1в нюх. ь1пях сов х 2 я1пях дх '1 У 1 3 ~ 3 х зшвхсоввх совх ~. 2зшвх 2./ 2 о 2 2соь2х 21в1 х. яшь х созь х з1пв 2х + 2.5 — 2.6 'ГРИГОНОМЕтРИЧЕСНИЕ Фр НКЦИИ (ьх 2 1 сова 5) х вшвхсов4х совх Зсоввх 2в)авх+ 2 й 2 6]Х 1 ( х .— — +1п Ви — + — ~. в)ньх сов х вшх Зв)авх 2 2 4 / (1х 1 8 — — с1о 2х. яшьхсоввх Зсовхвьпях 3 (1х ) 2 1 вша 5 р х )я~ ' вш~хсояя* вьа З~ш~х 2совв + 2 е (, 2 + 4 ~ (вх 8 = — 8 сааб 2х — — с1д' 2х. 60 61 63 2.527 — ') 16 «4* ]«~ 1], 12 ' *4«=2 ( — 1) ( „), — ( — 1)" 1« в*= 5=2 ( — 1)" 21а22) 2"'2 х — 2)6+2 ( 1) 1н соя х 5 г — гв+4 Сф хдх=~ (-1) +( — 1) х. ]6=1 с18Р 2 х с(6 *6«= — — ~ с16 «а* (РФ 1].
),12 ° *и=2 (-1)"с'с'(,") ',„+( — 1)" („ь = )(=$ ГХ1 [331] (12) =,)' ( — 1)... +( — 1) 1нвшх. ГХ1 РЗЦ (14) 2.53 — 2.54 Синусы н косинусы кратных дуг, линейных н более слон(ных функций аргумента 2.531 1 1. )«1 ( .~.д)4»= — -ссв(а«.(.Ы 1 2. ).«ав(«*-ЬЫ«.= — ! (м-рь), 2.532 ") «1 (а.+Ь)ж(с«-(-4)4 = в1га ](а 6) х+Ь вЂ” (Ц в1а [(а+а) х+Ь+(1) 2 (а+а) а с182 *"'1 х 6. ~ с(в-"~4~-2' ( — 1)" +( — 1)"*. А — 2 Формулы частного характера для р — 1, 2, 3, 4 см. 2.526 17., 2.526 33., 2.526 22., 2.526 36., 2.526 27., 2.526 43., 2.526 32., 2.526 48..
154 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕГвГЕНТАРНЫХ ФРННПИИ соя [(а — с) х+Ь вЂ” й) 2 (а — с) соя [(а+с) х-)-Ь-+а) г г г] 2(а+с) соя (ах+ Ь) соя (ох+ д) а)х = + ыа [(а+с) х-~Ь+1] г г г1 2 (а-)-с) я[п (ах+ Ь) соя (ох+ с() ах— 2, При с=а г1а (2ах+ Ь+й) 4а я[и (ах+ Ь) я[а (ах [- г() ггх =— 2 я[п (ах+ Ь) соя (ах+ Ы) (гх =— соя (ах+ Ь) соя (ах -[- с() г1х =— 2 4. 5. е. соя (2ах+ Ь+ ав) 4а (Ь вЂ” д " (2а +'+') 4а ГХ1 [332] (3) 2.533 соя(а+Ь)х соя(а — Ь) х я[пахсоя Ьхг[х — [а Ф Ь ]. 1 ) соя(а — 6+с) х я[и ахя1НЬхя[асхЫх= — — ~ + 4 [ и — Ь+с соя (Ь+с — а)'х соя (а+Ь вЂ” с) х сов (а+Ь+с) х [ Ь+с — а а+Ь с 1 г сог (а+Ь+с) х ооа (Ь+с — а) х я[аахсоя Ьхсоясхггх — — — ~ + + ) — ( + 4 [ а+Ь+с д+с — а оя(а+Ь вЂ” с)х оо~( + — Ь) П 37 а+Ь вЂ” с а+с — Ь 1 ( г(о(а+Ь вЂ” с) х я)п (а+с — Ь) х соя ах я[п Ьх яш сх ггх — — -[— + 4 [ а+Ь вЂ” с а+с — Ь П (379) а+ Ь+с Ь+с — а соя ах соя Ьх соя схггх — 1,[[аггг(а+Ь+с) х + 21п (Ь+с — а) х + 4 [ а+Ь-) — с Ь+с — а +" ( (' Ь) " (а-( Ь ') 1 П(377) + а+с — Ь а+Ь вЂ” с [2 = соя х + 1 я[п х].
соя г)х+сг[ггдх г, . (' гг)+а г П (373) аон юх ,) 1+ гг" 1. 2. 2.535 1. (вв~ *вшв*в)» ( — вш ооваа)-р) ш '.оо Г~ — 1) Ш), 1 л+ 1 1"Х1 [332] (5а) 155 2  — 2 6 ТРИР ОНОМЕГРИЯЕСКИЕ ФЪ'НКЦИИ 2. [ в!~"*н) (2 .)- () Ш вЂ” (2 -)-1)(~ в) "* (* )- я 1 а ](2п+1)2 — 12] ](2п+1) — 237 ... [(2п+1)2 — (2й — 1) ] (' . 1),+Р+1 ~И ( ) а~а! Т (299) и-( Г( — 1)" 1 Г ( Р ' + — Ы !'У ~ „, ~, ~ я1ои-2ахсов(2п — 2й+1)х+ Р-З, ]с~ ~ гх Г(р — га+1) Г [ +и — 2)с) +(-1)» ",, вши — 2п — 'хвш(2п — 2й) х + 2 2п Г(р — 2)) ') м -" ~*(*[. гы()и)(з,) 23Ч (р 2и+1) Г ь)иР+~ х 3.
в1в~хяю2пхИх=2п ~ + »-1 +~ ( — 1))) (4" 2 )(~п 4 ) '' 74" ~~~~ ] в(о 1. ' ].; Т(3О3) (2~-(-1) ( (2( -7- р]-2) а=1 — +и+1 ~ Р 2'и" Г (р — 2а+1) 2 ( — 1)" Г[ Р+и — Зй — 1) 2щ+,Г 2~) в]пР— 2"-' х вш (2п- 2Ь вЂ” 1) х 2 21"'1Г (р — 2й [р не равно — 2, — 4, ..., — 2п]. ГХ1 [332](5с) 2.536 1, ~аВ СОВ ы~ — (~ш ) ~ Р )1)~ иь( — 1) и~) г . Р-1 р+а ГХ1 [332] (ба) 2. я]ИРх сов(2п+ 1) хЫх= + и ), 7(2и+1)~ — 12] 7(2п+1)Я вЂ” 3'] ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
