Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Прв этом пользуютсн формулами: лх 1 Г 1 1. ~ = — — Гаагов)п(рсовх), — ~ [р> 1]. ) )/ 1 — Русозух Р Р откуда получаем: св х 1 1п )в а~ — 1 +)/ а* зрну х — 1 з)в хсоз х )с ар зйвзх — 1 2)Гау — 1 )лаз — 1 — )/арз)пух — 1 — агсв)п . [аз > 1]. 1 аз)их 2.612 Ы р лы ви в )Н(в!пх. совх, Р1 — Й'шв' )Лп Для нахойщеиия интегралов типа ~ Л (вшх, совх. ]/1 — кзсовзх)сЬ следует сначала сделать подстановку х = — -у, которая дает В (вшх, юп, у1 — Й' ш**)Л*= — (Н (совр, в!пу, р ) — Й' !в'р)иу н рвлы (В(со у, шу, Рс! — Й'вш у]лу шволввс Рср !- лам 2.583, 2.584. В результате использования этих формул (предполагается, что исходный интеграл приводится только к интегралам первой и второй лс)кандровой формы) после замены функций Р' (х, /с) и Е (х, )у) соответствующими интегралами получится выражение вида — 2!совр, ыпу) — Л ( ", — В ] Р!! — и'Мп'у Лу.
.) ~' 1 — )лу з1ву у Переходя обратно к переменным х, находим; З.Ь вЂ” З.з ТРНГОНОМНтРН'ЧБСКИЕ ФДРНК14ИИ 2. ~ )т1 — р Феи = — и) в св!«]рсш*), — г 1 ~ Р Р 1 — рГ ~агсв1п (р сов х), Р 2614 И Ра т ]В( Ъж ш, Р 14рр~' ]Ив, Д в хс и ит ра т ~В(сшв, в, 61-).р, ],! следует сделать подстановку х= — — у, которая дает В (в1пх, совх, ф'1+рзсовзх) 21х= — ~ Я (сову! в1п у, ~/1+рзв1]]зу) Ыу. Д ш ~ тжра ~~-']В(ы~у, )пу, У)Хр'и ".т] пользоваться сказанным в 2.598 и 2.612, а затеи, после обратного перехода к переменным х, формулами: ф следует 1. ~ = — р(атсвш ) [ Пт] аз!ах 2 а* — 1) 2. ~]Г севе.— 16.= Р(атш! 1етау 1 ' а ) 1 !' .
аз1вх 1 ар — 1'! — — Р~агсв1п, ( ~а ) Ц. Р аи — 1 2616 Ии рав в а ]В(в!пж в.]~Т вЂ” р всп'в ()т 1 — РИ з) и х Обозначение: рь=агсв]п р' 1 — Р'61з2 х 1. 2 рр(1 — Р' агап х] (1 — ап ив!2 х) 1/1 — РИ х ° 1 — Р р' ~ 0 ( р' ( д' ( 1, 0 ( х ~. — ] . БФ (284.60) , ~г'1 — ~зв1п2х) йх (7 Ф ! 1. Нх 1 в р 1~ 1+Рр сазу х 1)т 1+ р2 1; 1у 1+ рр ) 2. ~ )'1-)-р' '*ив=]'1-)-р' В (ж — в ) . 1+ Р' 2616 И р * ]В(вШ, с вв, У 'сев'в — 1]6* (~) 1]. Д ашжиеиии в штрашп типа ~ В(сша, ш*, У ' ' — 1]6 следует сделать подстановку х= — — у, которая дает В(в!», ЕШВ, Ут Сс * — 1]пи= — ~В(еееу, вс у, Р ' у — 1]уу. дв в е питер ис — ]В(ешу, 1 у, р ' ! 'у — 1]уу шшует пользоваться сказанным в 2.611 я затем„после обратного перехода к переменным х, формулами. 192 в.
ниопиидилкнныи ннтигрллы от влкмкнтлгных е~нкции сто х с)х Сд х ф~ 1 — уо в) пв х ф» (1- — Ро вшо х) (1 до вшо х) (1 дв) )У 1 — Ро вшо х — в (и ~«»', ' ', ) (о < «' < о < 1, о «-," ] . БФ (284. 07) ВИо х Ых х ~» (1 — р' вшв х) (1 уо вш' х) 3 (1 — у')'(1 — р')»' х 2(2 — р' — дв)Е св, д Р— (1 — Чв)р' св, 1, + ирв+дв — 3+вш" х(4 — Зро — 2до+ родо) вш х °,/1 — ув вшо х 3 (1 — Рв) (1 — дв)в соРт в» 1 — ро вшв х [О < р' < дз < 1, О < х < —" ~ . БФ (284.07) 4. вивохНх $» 1 — Рв ( / до — ро~ 'у»»(1 — Рв в(дох) (1 — дв зшвх)в (1 д )(д Р ) ~ ~ 1 Р / ГО<рв<дв<1 0<х<и ] .
(1 — ув) )l (1 — ровшох)(1 — довшвх) [ ~ 1 БФ (284.06) сово х Нх 1»(1 — р* в шв х)о (1 — д* в(во х) — РЕ а, — Р,— - =-р" и, [0 < рв < д' < 1, 0 < х <- —" ~ . БФ (284.05) совв х Нх 1» (1 — Ро в(юо х)о (1 — у' ыоо х) (1 — рв)»в ( (2+ро — 3ув) (1 — ув),(,/д* — рв'1 2уо — рв — 1, ( .,» до- — ро~] (1 — Рв)вш хсов х1» 1 — дов1а*х Р 1 Р 3(у' — р') ф» (1 — р' [О < рв < дв < 1, 0 < х < — 1 .
БФ (284.05) 1 — рввшо х 1» 1 — ро вшо х 1«»1 рв ~ ' 1» 1 — Ро/ [ 0 < рв < д' < 1, 0 < х < — ] . БФ (284.01) » 1 — «" ь'* «. «'~ — ~в (»«' — «'] у Р БФ (284.04) 193 2.5 — 2.6 ТРИГОЬИОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ 9. Ь,Г1 — ро 0111 х 1+(рвгв — рв — г*) з1212 х У 1 — 22 з1изв х П(а,~, Г2', '„) ~О<О'<а <1, О<*<-",). БФ (284.02) У ьв+ са — ь 5111 х — с соз х 2.617 Обозначение: а=агся1и~у 2 У Ьо+св 2 ф/ Ьв+ са Гшш а а+ У'ЬЬ-~- сг г 1' а+У Ьо+св Р(а, г) 2. — — 12Е(а, г) — Р(а, гЦ+ ЬГа+Ь зш х-~-с соз х у'(Ьв+со)в 20 +,, У а + Ъ яи:ь х+ с соя х с О < ~ ~ < У Ь .Ь, ашаШ вЂ” —,аш, ~— У Ь'+св )ГЬ2 Фс" / <х < агся1И 1 .
БФ(293.05) У Ьв+ев а = 2 )"а +- Ь я1и х + с сея х. У а+ Ь зш х+ е соз х х *а* — 2~/ -Ь7ЬВ-~'ЕЬа, )-Ь ф с+Ь свох+с созх 2(а —" Ьо+02) г Р(а, г) ~ 0 < У Ьз + сз < а, г' а+ У Ьо+ со Ь Ь агсяш — 02 < х < агся(и 1; БФ (294.04) ЬГЬ2+ с' ~Ь+СЛ = — 2)Г2У Ьз+сзЕ(а, г) с 0< ~а~ < У Ьз+сз, агсип — ягссоя( — 1< х< у Ь2+ со )/Ь2+ ев/ < агся1п 1 . БФ(293.01) ф' Ь2+ сои 13 Таблипьа иитегввлов 1. )Га+ Ь з1о х+с соз х с 0(О Ь'-Ьа~(а, ваааш — (а<а ', ~; ВХ(202001 Ь Ь ЬГЬ2+ев Ьг Ьв+ со 'У 2 з/ дв+ со с 0(/ /(фв'+Р, ышш — шааа ~- 1(а< Ь/Ьв-~-СЬ ~'Ь'+" / Ьа Ь < агсыи 1) . БФ (293.00) ф' Ьв+-св ) 2.5 — 2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧБСХИЕ ся2сНКДИИ ')»'-вр .Ь-»ва(а, ' с)- ' Р(а,— ') ~О~ ~Ц.
+ — Сцах~гсов2ах ~0<х< ~~ . 2.619 ах 1 1Г2 Г 1 = — с1дах — сов 2аХ вЂ” — Е ~62, — ~ . 61ия ах )à — соя 2ах а,Г2 Ы» — *2 В»2~ (»2) (»са)а -1- — ~,* )бв~ аа-Р1)Д вЂ” ~~ — 2»2с (»2) ( )а)а + — сВа ах ~ — сов 2ах. Нх ( 1 П (а, гя,— ~.
)1 — 2г2 сояп ах) )/ — соя 2ах а )с' 2 2. 1»2/ 1» — а* ~йс (»2) ™( »а)1» — а я(, ). сояп ах Нх я)в 2ах .Е (а, = 2) . $' — соя22ах 2а у' — соя 2ах а 1»2 ~ ~2/ Нх 1 Р( 1 я1п 2ах Р(а,= 1— 1/ — сояб 2ах За 1/2 ~ ф»2/ За 1' — сояб 2ах ~ р' — а 2 па*==(Р(а,— ) — 26(а,=)) . 9. 10 11 Интегралы типа Л(в1пах, совах, — сов2ах)66 1 Г = — ) Л)в!~а ва, )/2ава1-~)ср. Обозначение а=агсвшД~2совах). я р )я)в!ад,сю~а) 2спв~ — 1)ба р асж~~юс с б а сваппаб вид (а=2) интегралов 2.599, 2.611.
11риведем некоторые формулы; 1. ах 1 ( 1 = — — Р(а, — 1) . 3à — соя 2ах а 1б 2 ~ 12~2/ 1 — — в1п 2ах 7 — сов 2ах. 12а 1а6 й. неОНРИДеленные интегРАлы От элементАРных ФУнкЦий Интегралы типа Л(в1пах, совах, е1п2ах)Ыхв Е з(а ах Обоеначвние[ а=агсв(н 1+зш ах+соз ах 2.621 )« * «,(.«-,) БФ (287.50) ' П (а, ', =) -[-Р(а, — ) — 8Б (а, =) ) . Ба [887.57) ) „+.. ','* )«...=«'('С' «и)-. С. — «',)1 БФ (287.54) -«'(«' Л-'( «.-)) (" —."] БФ (287.55) 8.
~ ' 8[', —,'1 (1+сов ах) [[х у"2,( 1 (1+З1П аХ+СОЗ аХ) )ср З!П ЕаХ а ~ 8' 2.в) (1+соз а*) ах ,) (1 — зш ах+соз ах) У' з)н 2ах (Р(, =-) — Б(а, =)-[-«18 ~) (авФ "1. БФ (287.56) 1 " -. «.. ~'( '('«Г) ('«)) БФ (287.53) 8. — П ( а, гз,— 1) . БФ (287.52) а [1+соз а +(1 — 2ра) з1а ах! ))7 з1гв 2ах ~ 1«2./ БФ (287.51) 2.63 — 2.65 Тригонометрические функции и степенная функция 2.6!31 ! 1. ) х'в!и с в 1 —, [[р.рд)*'в[ "*с в' 'х.!. (Р+Ч)" 'в!и *ссх* — [ — 1) )хп 'в! * ав а*в -') *"-" '* ""*'* [ -') [ ) ) *' "* ""*'*[' (Р+Ч)' [- , ~ — (р+д)х'йп" тхсовч"х+ -[- ' 'апвхсю~~ — [и — 1) ~ х' 'ип х в хах-р +" )*'"-"* '* +о-!)[ -~ ))*'""'*-"*Ч ГХ1 ~333) (1) 2.5 — 2 б 'ГРИГ'ОНОМЕ'ГРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ хвП 1 Б1ихх 1 х Х Яа" Х(ЗХ =, (Пг В111 Х вЂ” ПХ СОВ Х)+ вп вв — 2 «3 (>П вЂ” 1) + — ~ х яи" х(1Х— П П3 Х" 1 СОИ« ЗХ х"' сов" х Гзх =, (т сов х+ их в1н х)+ П вЂ” 1Г «3 (рп — 1) + — ~ х сов хбзх— П Пб "*-( )х-*"' х * в1д" х (зх.
Х СОВ Х 4(Х. Х СОВ ХЫХ= «3 0303(п ~ ц+ 7(в-1 ~-,~, Т (~) 5 ~а в(2вв — 24)*З* (е . 2.633 2.). ТЗЗЗ И=О ~ ~ в х" сов' 'ХЫх= —. '), '~ + ~ ~ х"сов(2т — 23+1)хнах. (см. 2.633 2.). Т 333 7. Х>4 — 1В1И рХЗзх 2 11Р1 1 )7 (~3' вза~) 2 [Пе р > — 1, х > О]. ИП1 317 (2) хн — 1 вн1ах(КХ= — — ~~ехр [ — ((а — 1)11 1Г(р, — 1ах)+ ~а(и ~( [ 2 .). хр( (1 — р)) Г(р, ва*)) (Иер(1, а)0, *)О>. ИП(317(3) 5 хн-1совДХ(Ы= —.((4) — иу((2 Фх) +(- Ф) "у(~1 — Фх)) 1 [Ве)3) О, х 3 О].
ИП1319(22) 4 5 +-' вша За — — В ~хр ~(р — > Г ((в — 'а*Н В- *р( — (р — )Г(р, вва)). ИП(310(23> 2.633 1. -- (). ( — 1 )а аза 2 3)( ) — в в(а~4- —.Йа). ~а) ~о Т (487) +';."; 2 — >'(.)5*- "-'"* 3=0 ' 5 " "'*3*= ' ' 2 -'>'( ") 5 *" ' ( -"+'>*"* (си. 2.633 1,). Т 333 198 г.нноптелеленныиннтнГРАлы от з2темннтАрнттх фУннпнй т (486) 22 Х212 х совхйх (2о)~ (~( — 1)" * .„,в!пх+ в-1 Х .(- хх ( — 1) ( зз 12 сова) Й=О вв 6. ')хза" совхИх=(2а+1)!(~' ( — 1)" д „,з!пх-)- 22 Х2 22 вз2 сох х) Й=О 2.6М Р22 (х) зЫ тх (~х = (т) сон 222Х т~~ 2( х2)» й=О Р (х)сеящих(Кх= ( 2 ) цй-1 Рвв (Х) <2» — 1) 222 а»2Й-Й й=1 ~,<гч( 2 Е( — ) ( 221»-2 ~вз (Х) ° <2» — 1) т ,,22й-2 Й=1 и-и степени, Р„(х) — его й-я про<Й) ( вв ) Х ( — ц" ~<гц ( .~ В формулах 2.634 В„(х) — многочлен изводная ыо х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
