Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Обозначение: 2.635 г =а+ Ьх. гй з1н Ыйх = — — г, сов Ах+ —, з1н йх. 1 ь ь гд соз|сх(Ь= —,гд йп йх+ —, соз йх. )2 2, ~ х"совахзсх=~' 1!(„) — воз(ах-)- — )хз). вв Х2вз — 2» 2. ~ х'" в(п хааа=(2п)( ~~ ( — 1)"' „сова 1- й=о 2з — 1 222 2» 2 ) хз ( 1) (в вв 1)1З(ПХ) . й=О 2З ( Х25-2»+1 4 ~Х"'~в(ПХаХ=(2П-(-1)~~~ ( — 1)всв 1(СОВХ+ тз + ~ ( — 1), ввпх). Й=О 199 2.$ — 2Я ТРИГОНОМЕТРИавЖСХИБ ФЪ'НХЦИИ 2.636 ~и -1 1 х з1В хгх 2( +1)+ «=О ( — ".') Х ( 1)-.-"-1 соз2х .
2а"'1 (и — 2й — 1) ( ГХ1 1333] (2е) ~и+1 2 (и+1) ( — "') 2аа 1 (и — 2й — 1)! ГХ1 [ЗЗЗ] (Зе) Е( — ) Е и) ( — 1)" 1ю" а" — в)н 2х+ 4 2а" (и — 2«)! ;аа ю 1. 3. х вша х йх = — — — зш 2х — — сов 2х. 4 4 8 1 Г26 26ла 3. 2-ванйхйх= — ~ — — 21) созйх+ — 'ванйх. 1 й~«а ) йа 1 Г а 2«а~ . 26л1 4. ~ в', соз йх дх = — ~ ва — — ) вш йх+ — 1 соз йх. «~ йа) йа 6.
~ л" совйхГах= — ~л — — ~ в)н йх+ — ( в — — ) созйх. а1 Г, 66а "1 ЗЬ Г д 2Ьа' «~ «а «а (, «а ) Г 126 246 ' 7. ~ х," ван йх свх = — — „~ 2', — —,, ла, + —,) сов йх+ 4Ьа1 Г, 6Ьа ~ ) — ' ~в'- — ) зшйх. «а ( йа ) 1 Г 12ЬВ 246в'1 8. ~ л',созйжйх= — ~2в~ — —,л,'+ —, ) в1нйх+ 5Ь Г 126а в 2464' 9.
~ л,'зшйхв(х= — ~л',— —,в',+ —, ) в)нйх— аа Г в 20Ь* „120Ьв ~ ( 2 — — 2" + — ) совйх, « ~, «а 1 «в 5Ь Г 12Ьа, 246в~ 1В. ) В с в Вс В» = а1 Г 20Ьа а 1206 в ~1 + ~ вв — — в + — ) в1н йх. «~1 йа 1 й ) Г 66л1 Г 20Ьа, 120«в ~ И. ~ ла,з1нйхЫх= — „—,'( ~ —, в',+ —,) в)нйх— 1 Г ЗОЬа 360Ьв „720Ьв 1 ~ иа — — в + ва — — ) созйх. «~.
«а «,,) 6621 Г, 20Ьа а 120«в ~ 12. ~ л',совйхс(х= — „~в,' — —,в,'+ —, ) совйх+ 1 Г в ЗОЬа 360Ьв 720Ьв, + — ~2,' — — л'+ — га — — ) в1о йх. « ~, йа йв 1 «) 203 2.$ — 2.6 ТРИГОНОМЕТРИзХЖСИИИ <РЪ НКЦИИ зи (' созвги*зх 1 ~у <Г2зи+1'~< ~ сов(2из — 2й+1) а й=о + (2и — 2Й+ 1) я [(2пз — 2)с+ й) х]) хв з (рв!их+(<з — 2) хсовх) (и — 1) (д — 2) в!пЧ з х + ~ — 2 < хиг<х Р(Р 1) <з хп в<(х в — 1 з< в!пз зх+(д — 1)(д — 2) ~ вшз зх хР<зх хР 1(рсовх — (д — 2) хзшх) .) совв * (у — 1) (у — 2) савв з х + у — 2 (' хР <)и р(р — 1) (' хР-з ~х <з — 1 5 совз зх (1г — 1)(<з — 2) ! совз зх 3 — 1~ = —.+ '~~', ( 1)»" (' ') двйхи-)-вй ) в1п х и (и+ 2й) (2Й) ! Вй й 1 [[х ~ с." я, и > О]. ГХ1 [333] (8Ь) — - — —.-«+< — ц"<< — 'ц, в„< *- г!х 1 2 2" 1 — 1 — ~ ( — '() 2й 2й, В„рв" " [и> $, [ж~ с" зв].
ГХ1[333](9Ь) й 1 Оз 5. 1 — Х 2а+1 )! ~!Я!С 2 и>03 ° ГХ1[333](10Ь) й=о Оз б Ж = — 1 Ч вЂ” 1 — ("] (~ -1! )Бх+ у < зй< хи сов х 2 1 ( ) (и — 1)! ~ (2й — и-'<- 1) (2й)! « — 1 и†'(<*<с "]. гз«<ззз<<ззьз х и,У +и~ ( — 1) 2у, 1) (2й)! Ввй [! ж3 (а, и> 1]. ГХ1[333](8о) й=1 ) <!х сфх и хи в(пзх хи (и+1) х"+з а+1 Оз й-1 и+1 [[ ю ~ ( л].
ГХ1 [333] (9с) ОЭ хи ~(х «2««(2!«1) хи'!«! «=! ~!1) 1, ~ж] < — ~ . ГХ1 [333] 1()с и+1 Нх 1дх в в 2 п х" сов* х хи = — — [1 — ( — 1)в] ( — 1) (2в'1 — 1) В !п ж— (и+ 1)! и+1 С! ( — 1)" (~« — 1) (2х)х«В х" с.'~ (гй — и — 1) (гй) ! «=! «~ и+1 2 ГХ1 [333] (11с) 2.644 х «!х в1 а«и х в — 1 чр (2а — 2) (2п — 4)... (2а — 2й+2) (2а — 1) (2а — 3!...(2а — 2й+3) в!с х+ (2а — 2й) х сов х + (2а — 2й+1) (2п — 2й) в)п«и ~«+! х 2" ! (а — 1)! + ()д з)1н ж — ж с(д ж). х Нх вш«иФ! х в — 1 (2и — 1) (2п — 3)... (2а — гй+ 1) 2а (2а — 2)... (2п — гй+ 2) =-Х з!а х+ (2а — 2й — 1) х сов х + (2п.— 2й) (2п — 2й — 1) з(с«и !" х (2а 1)!! ~ х~х (см 2ип! ) в!а х 3. сов«и х и — 1 ~ц (2а — 2) (2и — 4)...
(2п — 2й+2) (2и — 1) (2и — 3)... (2а — 2й+ 3) «=о (2а — 2й) х з(а х — сов х + (2п — 2й+1) (2и — 2й) сов!и !«'! х +, (х Сд х+ )и сов х). 2и — ! (а — 1)! х дх созхи ! х и — 1 (2и — 1) (2и — 3)... (2п — 2й+ 1) 2а(2п — 2)...(2п — 2й+2) (2а — — сов х «о (2а — 2й+ 1) х з(и х — соз х 2й) (2и 2й 1) (2п 1))! (' хНх 2" и! ) соз х (см.
2.644 6.). ОЭ х с(х ~у 1 «1 2(2!«! — 1) в1и х ~-1 ! ! (2й+1)! «=! ~ ~1 <-~><~*Н «=о 204 в. ннопгедкленные интмгрллы от алммкнт«иных егннций 205 — х сйдх+1п в(пх. х 1д х+ 1И сов х. 1 2 2 6 в1пях 3 — х с1дх+ — 1п (идх). 3 1 2 2 6 2 +3 х1ах — 3 )п(совх) Зхсовх 12вшвх 8в1аях 3 3 (' х4)х — — +— 8я1ах 8 ) в»пх 1 Зхя1а» 12 со»3 х 8 сов3 х 3 яшвх х я)ах Зсоя3х х сов х 4в1пбх (см. 2.644 5.). х)2х хяшх соя6 х 4 соя» х (см. 2.644 6.). 2.645 64 1.
~* 4. У, 4 — 1)" ( )~, )с~. 2.6432.). ))=О 2. ) * „4*= 2 1 — 1) ( ) $ — „', аа )са. 2.6463.). в о 6) вшхдх х)' 4) Г х)) ' посох (а — 1) соз" 'х и — 1 ) сов" 2х ~п > 1] (см. 2.6432.). ГХ1 [333] (12) 4. ~ И „*4а= 2 4 — 1)" ( „) ~, )аи. 2.6сс31.).
в=о 2 4 — 1)" (",) $ "'"', )а~. 2.6436.). в=о [и > 1] (см. 2.643 1.). ГХ1 [333] (13) 1 .' *Ь= — +Ы1д —. , Д 61а2х 62п х 2 2.646 ОО 23)4 (22)4 1 — 1) х~й8хс(х= ~ ( — 1)"" +,, В2))х~~~ Ь.=1 ~р,» — 1, (х~ ( — ) . ГХ~ [333] (12а) 5 х Их сов» х Х 4Ь В1ПЗ х с))зз х хЫх совв х х дх вш' х 2.5 — 2,6 ТРИУОНОМН4'РИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 24пх+хсовх ( 1 ~ х У (с, 2644 5 ) 2яш»х 2 ) в1п х хв(ах — совх + 1 1 ~х (с 2644 6 ) 2 сов»х 2 6 созх 207 2 6 2 6 ТРигопомгвгРичжскии юупкции = сояес21 ~х !п ~ — 1.(х+1)+1 (х — Г)~ з 2.652 межутку 2 ' 2 2.653 Ло Ш 288 — пх = ф7 2а Я ~~~ х) (сравни 2.528 1.).
2. 1 =с(х=]/2лС(Ух) (сравни 2.5282.). 2.654 О б о з н а ч е н и е: Ь = '$Г1 — 7Р я1п э х, 76' = ]/ 1 — 7авэ Г хзэпхссвх хй 3 — э -- — + — „э(*, а~. Л 1 9)4 Р(з л )х+Й~я1пхсоях]л Г" '-Б й'э з(х = — ду ~(х* 76)+ 9й Е(Х1 76)- — Ей, [3(Лэ — 376")х- 7вэ Я1п хссах] Д. — + „,, агся1п (76 яш х). эв хсовхбх хвоях+ 1 Аэ — Ь й х 61п х соз х 0х х 1 Аэ йэд йэ 5 х 61пэ х сов х с7х 2 — йэ 61вэ х 1 Лэ йэй йэ хвгахсозэхдх йэв1вэх+йэ — 2 й'э 1 ,$3 й4Д, Хэ Интеграл;ы, содержащие я(пхв и сояхв В интегралах, содержащих яшхв и соях*, полезно сделать подстановку хв = и. ххя1пхвдх= — — соях + — ~ ХР соях 67Х.
р — 1Г 2 2 х1'1 . р — 1Г ХВ соя х пх з~~ — я1пх — -~ — ~ х1 ягпх Ых 2 2 (~ х~*~<! — "„— ~с.~Ц, гДе Гэ-значение аРгУмспта 1, пРивсДенное с помоЩыо аРгУмента и к пРо- 208 г. нжопгкджлкнныж инткгрллы от элкмзнтАрных агннций д х"-'» Зсозх3 х" яш х8 д(х = (и — 1) ! ! ф ( — 1) ! 23)д 5(35 — 4й+3)(! )=] хвв 8~ 1 81о хх ( — 1!н 1+,„' " 1 х"-~ я1нх'Ых1 231(а — Ы+Ц(! ! 23" (11 4г Ц(! Д [ -Е (-)» . ГХ1]335]]1~) Г хд~-5)Н "3 я]]] х3 ~нюх дх ]» — 1)11(~ ] — 1) "' ! 2*" '(и — 4й+3](! ос=1 284(а 4(д .
1)(! ~ 28Г(п — 4р — 1)(! ~ [ =Ь'( — ) ! . ГХ1[338]15 ) соя х8 х я1п х835х= — —. 2 81п ЯЗ х соя хХЫх= 2 5 х'я1нх Их= — — соях + — ~ — С(х). х х 1,Р 55 2 2 р' 2 8. ]*вове* Ы~= — Ы* — — ]е — 8]о). х . 8 1 /35 2 2 р 2 9. х8з(нх Ых= — — соях + — я1нх. 3 — 2 1 ' 2 2 2 10. хя соя х' дЬ = — зш хя+ — соз хя.
2 2 2.66 Тригонометрические функции и показательная функция с я(нд'хсоФ х Их = , ~е я(нР х соз' ' х (а соя х 4- (р+ ~у) я(н х]— 1 — р (е ве ' 'хо в 'хд*-)-11 — 1)]р-;д) ) е в1онхсо 'хШ1; Т (52~! 2.661 1 , ~ е'х я1нз ' х сояд х [а я1н х — (р + )! ) соз х! + -1-д ~ х ~ *сове'*И*+]р — 1)]р-)-д)']~ ю~'*. Ф х 1; Т (524) — — -;1е я(п]' ххсоз8 'х(аз1пхсоях+31я1п8х — рсояхх!+ 158+ (Р-Г-ЮЗ ] -1-д]д — 1) ~ е в)сносов ~8~1-р)р — 1) ] е н' е с~в~~до!1 Т]535) 2.к — 2.6 ттРИГОЫОМЯтРИЧЪСКИЛ ФУНКЦИИ а +(р+а)2 1 , ф е "я]п)у 2хсояо 2 х(а я[Их соя х+ ((я]пах — р соя~ х)+ -~-д)д — 1) ] ~н1 *сон *дав — 11 — р))рд-д — 1) ~ с вм ясов ~Я*) 1 Т 1525) 1 ~е~яиР 'хсояо 'х(ая]пхсовх+дя]пах — рсов~х)+ =а*+( +а)* [ 4-рьр-1)~ ~ ( н '* о *яд*+ 2.662 1 1., е'х яш" Ьх фьх = а'+ )52Ь2 (а я[п Ьх — пЬ сов Ьх) е'* я[п" 1 Ьх+ + 1 — 1)Ь ) а-ою- ~Ш) (а соя Ьх+ и Ь я[п Ьх) е™ соя" ' Ьх+ 2.
соя" Ьх сЬ, фь, ав+ 252Ь2 4-~!~ ЦЬС) 'сов 'Ь Ш) 3. е~ я[нет Ьх Их = юв-1 =Х (2т)! Ьф)н~а" о(пдт (2т — 2й)! [а~.+(2т) Ьв] [ад+(2т — 2)2 Ь*] ... [ад+(2)а — 2/а)2 Ьд] ) =о ( )!Ь х [а я2п Ьх- (22п — 2й) Ь сов Ьх]+ -) ) —,„")"н —,,Х ь — 1) ( ) .ь мн.ь~мм2ььх-)-25)ннн 2ььх). 4. 1 31п +! Ь Ь= (2т+1)! Ьдаеах зьпфуа да Ьх [а о(п Ьх — (2т — 2й-]-1) Ь соя Ьх] (2т — 2й ]-1)! [аф-)-(2уа+ 1)2 Ь*] [ад+ (2т — 1)2 Ь2] .. [ад+(2т — 2й+ 1)* Ь*] 2-О 1 — ')', (2 ",') ! вю 12ь + ц ~-425-ь ц ь мм Ььь-ь ц ьхф 14 табаапи внтог))айов Ь)д — р))р+д — 1) '! с н) хоан *дв). Т)41)224)11~) При ))ь=рп и а=п натуральных и четных интеграл еахя[п хсоя"хф(х а святая а омомою ~кн форму~ к квтн рвлу ) а дх; ко дв жс юо только лф или только п, то к интегралам вфща е"'сов" хИх или, соответственно, е' я[п х Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
