Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 18
Текст из файла (страница 18)
7(2п+1)~ — (2)): — 1)~] . 2),+„+1 ( 1) яш х, Т (301) 2 ( — 1)1Г ( Р ' +п — 2й) (р+1) ~' ~, „, „вши 2пхя]п (2п — 2))с+ 1) х-(- 2 Г ~ — +и) ),— о 2 ( — 1)йг( 2 + — 2й ) Г, — 1 ~ вши — 2а-1 х сов (2п — 2Л) х 211-2Г (р 2й) 21 "Г (р — 2и-7-1) [р не равно — 3, — 5, ..., — (2п+ 1)]. ГХ1 [332] (бс) 158 БХ [71] (2) и 2.542 1 вш2 ! 2 мпих (и — 2)зиР вх ' При п=2: 2.
~ '., с!х 21ав!Ех, Г вш2х вшв и 2.543 в!и 2х 1Ы 2 сов~х (и — 2)сов" вх ' При п=2: 2. ~ — — -~Ь вЂ” 21псовх, Г вш2х сов' х 2.544 2.545 2.541 1 2 3 4 5 б 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ свх НХЦИй я(л(п+1)хв(л" 'хсзр -яш" хя!Епх. БХ [71] [1)и я1п (и+ 1) х сов" вход(х = — — сов" х сов пх. и соя(п+1)хя!и" ~хЫх= — я!Пихсояпх. 1 БХ [71] (3)и Э соя(п+ 1) хсоз" 'хс(х= — сов" хвшпх.
БХ [71] [4)и п 1 в' [Оп+ 1) 1 — — *)] ввп" '*в*= — впв"~сов ( — ", — *) . БХ [71] (5)и ~ со [(и+ 1) [ в — )] По х 1х= — в1п"*вМп[Х. х) БХ [71] (6)и сов 2х йх =2соях+ 1п йд —. и вшх 2 ' сов 2т в1х — = — СВух-2х. вш"х сов2х1Ъ совх 3 х вшвх 2вшвх 2 2 сов 2х <Ы г сов и = 2я!Пх — !и Фд ~ — + — ~. ~.4 2~' сов 2* и 2 М сов~ х сов 2х а!х в!и х + 3 1 и + х = х+ з!и 2х.
зш Зх в1х вш х -Ых=31н Зд — + 4соях. Ь1111 Х 2 вп1 Зх — Их = — 3 сяд х — 4х. иов х з1иЗх ! 4 сових (и — 3)совп вх (п — 1)сови вх ' 159 2.Ь 2.6 тРИРОНОМИтРИЧИСКИй 2Р22НКЦИИ При п хи 1 и и = 3: 2. ~ 12х=2вшвх+1исовх. Г в(д Зх Г вшЗХ 3. ~ оххх — — в — — 41исовх соввх 2еов х 2.546 сов вх ( 4 1 вш22х (в — З)вш22 вх (н — 1)в1а22 вх При пхи 1 и и=В: с1х = — 2 вш х+ 1и в(и х.
сов Зх ввв х сов Зх 1 ох= — . -41двшх. вш"х 2вшвх 2.547 в(овх 1 2 (' в1а(з — 1)хнах (' в1иа~(в — 2)Х2)х созв х ~ СОВР-1 х,) Еезв х — — Ых= в)и 2х — х. сов Зх соз Зх сЬ = 4 в(н х — 3 Ы йд ~~ — + — ~ . /11 . Хи, сов* х 4 2,/ сов Зх — Их=4х — Зарх. СОВв х 2.548 1 вши2 х 2(х зш (2и+1) з вх „-. г( —.).+* ) 12(2в+1) 2 ~ [ж — натуральное число - 2п].
Т (378) 22 — 1 ВШВ2в хйх ( — 1)22 Г 1 й Й1С 22 121~ 1 вш 2ах 2х ( =: ~1асовх+~ ( — 1) сов2" — 1н~соввх — внтв —.А. 2ХЛ в=1 [ж — натуральное число <п]. Т(379) "2 -1 ""(1 22( —," — —;)<- 22-1 +2( — 1)" сои' Ю вЂ” "12[22("— +и — 2)12(" и — — )Д Ь-1 2 3 [т — натуральное число < п]. Т. (381) [т- натуральное число ~ п]. Т(380) ,12 .221 2..2! [ 11(2 2)+ и +Х С 12 и22 ~2.и 1 [2в(112 -222 " 2)12( 212 211 " 2)2) В=1 Ф Г ып!))) ! х )))х ( — 1)о'! ( в -)- ~ ) — !)" с в~ +' 1 (шв'* — н1ь' — — )-)) В ! [т — натуральное число < и]. Т (382)и 2Ф вЂ” 2п+1 х 2я — ! Я!П' а+в ",* = —,' 2 )-!)"."~~" [ —,+' ) ) 8)) 2 .] [ж — натуральное число (2п].
Т(377) Г соя!~ !х!!х 1 7. ~ ~! = ~)дядю+ + ~ ( 1) сов2 !! — 1д (в1дах — в2д~ )~). ~! [т — натуральное число "и], Т (376) совх))) х !!х 1 ) 1 х вш )2в+1) х 2ю+1„! е 2 и с~) 1 Г~(2 4 2 / ~~2 )и й=! [ис — натуральное число < п] Т (375) Г еов2!)!'!х 1 Г х 9. ~ .. Нх= —.~1дйд — + вш2ах 2п ( 2 +,~~ ( — 1)" сов' ' — 1д ~'$д [ — *+ —" ) 1о [ * В а — ! ]т — натуральное число ~; и]. Т (374) 10. совх))) х 21а 2дх дх = — ] 1д а(д х+ г 2 1 х — ! + ')', ( — 1)" сов2 .
1ИГ в!д'х — в!д' ~" ~~ 2)) вг! ./ й=! 1т †'натуральдое число < и]. Т (373) Г 2й+1 х ! в)д [ — — — )$+ — ] !!х —,')' ( — Ц сов, ж 1д ~о 4п 2 [т — натуральное число < и]. Т (372) сов!)' х 2.549 1. ) ип~а!я-' )/ д 8)~). 2. ) со~~'ш= е/-.с)~).
Г 2 16() 2. ниопРидилинныд интиРРАлы от алиминтАРных еРнкции 161 2,5 — 2.6 тРИГОИОМБТРИЧБСКИБ ФвсНКЦИИ П (445) 2.55 — 2.56 Рациональные функции от синуса и косинуса 2.551 А+В в1пх 1, ( (АЬ вЂ” аВ) сов х (а+Ь вш х)" (п — 1)(ав — Ьв) ( (а+Ьв(пх)п 1 -)- (Аа — ВЬ) (п — 1)+(а — ЬА) (и — 2) вш х ) (а+Ь в(ах)" 1 Т (358) и При п=1: 3.. = агс1д ° 1 а 1Я вЂ” +Ь Га >Ьв); а+Ь в1п х )Г ае Ьв Ь' аа — бе а вд — +Ь вЂ” )' Ье — аа [ '< ЬЧ.
а$Б — +Ь+ф/ Ьв — ав 2 2.552 1 Ых — — . +А 1 (а — 1) (а+Ь вш х)п г д (а+Ь в)п х)п (см. 2.5523 ). Т (361) А-4-В гост (а ~-Ьып х)" При п=1: А ' Всовх 2. ~ с . е = — 1 с+се~*)+А) (см. 2.551 3.). Т (344) дх 3.1 .,( + ( Ь сов х (а+ Ь вш х)" (и — 1) (ае — Ье) ~ (а-(- Ь в)п х)п 1 + (п — 1) а — (а — 2) б вт х (а-Г- Ь вш х) ах (см. 2.551 1.). Т (359) 2.553 1 ах +А1 (и — 1) Ь(а)- Ь совх)п с ~ (а+Ь сов х)п (см. 2.554 3.). Т (355) А+ В в(п х (а-~-Ь сов х)п 11 тсавжпы ивсегралов / и с ас Ьа 3. в1н (аха -)- 2бх -(- с) Их = 1/ — ( сов г 2а а 5 ссссо*', СС.+с>С )I Хсас --"' 5.
в(н 1н хпЪ= — (вш (нх — сов)пх). 2 6. сов 1нхсЬ= — (а(н )их+сов )нх), 2 ( ах+Ь ~ с('*+")— ас — Ьа (ах (-Ь~) П (444) 162 2. ниопРжднлжнныи интжРРАлы от элимжнгАРных ювнкций При п=1: Ь * с(х ь )п(я+дсов*)+ 1 +Ь (см. 2.553 3.). Т (343) 3. 2 Ь~ ав — Ь* Сд— 2 а+Ь сов х ~/ав Ьв агсйп а+Ь [ав ) дв1; ЬГ Ь~ — ам Гя — + а+ Ь г/Ь~ — а" У Ь~ — авгс х — и — Ь 2 [ав < дз].
Ф П 93, 94; Т (ЗО5) в— А+ В сов х 1 Г (а — АЬ) вш х — Ж= + (а сбсовх)" (л — 1)(ив — Ьв) ( (а+Ьсовх!" ' (Аа — ЬВ) (л — 1)+(л — 2) (а — ЬА) сов х ] (и+б сов х)л 1 г(~ Т (353) (' А-+В в)а х 1 (1 ~ вш х)л 2в в ~ л — 1 Гввм. ~Я+х1 в с Т (361)и л — м „~вм1 Гя ТГя х1 А+Всовх ( 1 2д в~~ ~л — 21 ) 4 1 4 2,/~ ,) (1 ассах)л 2" 1 ~~ ~ Ь,/ 2Ь+1 в=о При п=1: з.: 5"— ,~~,"",*в =+ви~.~л ~в~чЯ~ —,). Т (250) При п=1: ах 1 ( Ьвшх (а+Ьсовх)" (л — 1)(ав — б') ( (а+б сов х)" 1 с(х ~ (см.
2.554 1.). Т (354 При интегрировании функций в пп 2.551 3. и 2.553 3 нельзя переходить через точки, в которых подынте~ ральная функция обращается а з бесконечность, т. е. через точки ж=агсз)п ~ — — ) в формуле 2.5513. а ~ в через точки х=агссоз( — — ~в формуле 2.5533. б~ 2.555 Формулы 2.551 3 в 2.5533 при ав дв неприменимы. В этих случаях вместо них можно применять следующие формулы: 2.5 — Я,З 'ГРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 163 ФП93 2.557 дх а 1 ах (а Соз х+Ь зш х) )Г(а»+Ьг)и,) - Г а~ з)пи х+ згсга Ь1 (см. 2.515). МфК 173 и а~ ах — Ь )п з(п (х+ агота — ) ьг я1п х Ых а соз х.+Ьз)пх аз+ Ь» а ах+ Ып зш ~х+агсйд — ~ ь ) соя х ах 3 а соз х+ бзшх МфК 174 и а*+ ь' )п1Ь ~ —' ,(х+згсйд ')~ 4. <)х а созх+Ьзшх У +Ь* а~ с$я (х+агс1)г — ) 5.
° 1 ах (а соз х+ Ь зш х)з аз+ бе 1 асозх — Ьз)пх ЫфК 174 и а*+бе а з)п х+Ь соз х 2.558 и+В паях+С зш х (Вс — СЬ)+(Ас — Са) соя х — (АЬ вЂ” Иа) ят х 1. (а+Ь соя х+ с з1п х)и (л — 1) (аз — б" — с») (а+Ь соз х+с з)п х)" ' сЬх— »» .- + ° 1 ( (п — 1) (Аа — ВЬ вЂ” Сс) — (и — 2) ((Аь — Ва) соз х — (Ас — Са) з(п х) + (л — 1) (໠— Ьз — сз) ) (а+Ь соя х+с з(п х)" г [и чь 1, аз -ь ья+сз]; СЬ Вс+Са соз х — Ва зш х Г А и (ВЬ+Сс)~ )( — ссозж+Ьз1их) х (л — 1) а (а+Ь соз х+с з)п х) а (и — 1) а и — г (л Ц! и (2в — 2й — 3)! ) гп ,-й 1 ая = Ьз сз1 (2и — 1))) ~~ (и — й — 1)1 ай (а+Ь соя х-)-сзшх)п " [ ' + »=о При п=1=' Г А+В созх+Сз)пх ( Вс — СЬ „, » . ВЬ+Сс +~А ья з а~ ~ +ь з1 х (см.
2.558 4.). ГХ1 [331](18) 3. ~)х а (х — а) (а+Ь соя х-+с з(п х)" ) (а+г соз (х — а))» т где Ь=гсоза, с=гав)псе (см. 2.554 3.). 4. ), .„,* = и* и +в>иЫ+Л-й1. га4Е 2.556 (1 — аз) ах Г1+а 1. ~1 ~ ~,— — 2 ис~1— 'ьсг) [0< <1. ~х~<а) »П93 а+ Ь сов х+ е в)а х х (а — Ь) сд — +с агой [ав > Ьв+ св); Т (253), Ф 1194 $/ аг — Ь* — с* (а — Ь) Сд +с — 1ГЬг+сг — аг 1и [а' < Ь'+ св1; Т (253) и (а — Ь) йа — +с+ 1/ Ьг-)-сг — аг 2 )/ Ьг+сг — аг — 1а(а+с Ьв,' — ~ [а= Ь1 [а'= Ь +св).
Т(253) и е+(а — Ь) Фк— 2 2.559 <1х 1 [ с(авда х — ссовх) ( )[ а 1п (а + с йд — 1 [ . (а(1+совх)+свшх)в е* ~ а(1 — , 'сов х)+свдидх д, 2 / ) ' А+ В сов х+ С вга х сЬ= (ад+Ь, сов х+с, вга х) (а,+Ь, сов х+с,вш х) ад+ Ь сов х+с вда х аг+Ьвсовх+сг вдох д ад+6 совх+с вдах + ах в,) аг+ Ь, сов х+ сг вда х где А В С ад Ьд сд аг Ьг сг ад Ь, сд аг Ь сг А ! ед ад в з св ав ед Ь с ! Ьд сд,'г ~сд ад в ь Ьв св) )е аг +~ (см. 2.5584.). ГХ1 [331[ (19) (' Асовгх4 2Вв1ахсовх+свпФх а сов г х+ 2Ь вда х сов х+с вдаг х Ьг+(' ) ([4ВЬ+(А С)(а с)[х+[(А — С) Ь вЂ” В(а — с)1.х Х 1п(а соввх+2Ьвпдхсовх+свш'х)-+ + [2 (А 2- С) Ьв 2ВЬ (а+ с) + (а С вЂ” Ас) (а — с)1) (х)), $64 в.
нкопгкдклинныи инткггАлы от алкминтлгных агнкции 165 й,з — 2,в ТРНГОнОмжтРи'пескиж Функиии у( ) 1 с Ся х+Ь вЂ” )/ Ь~ — ас 2 $/Б* — ас сСах+Б+~/ БЯ вЂ” ас агой ~ + 1ЬЯ с"ас); ф' ас — ЬЯ У ас — Ья ГХ1 331 (24) [ЬЯ= ас). сСдх+Ь 2 561 1 (А+ В я(а х) ьСх я)п х(а+Б яаа х) (А+ В я(п х) дх я)а х (а+ Ь соя х) ья5 При ав= ЬЯ(=1): А / х 1 Ъ х — [1п Сд — + 2 [ 2 1+зоях ) ) +ВСу,—. 2 А Г 1 ) х = — .5 1п Су,' — — ) — В ОСр, — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
