Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 24
Текст из файла (страница 24)
[аз < Ъз]. [с ) — 1]; [с < — 1]. 3 2.838 Д (531. 1) Д (531.2) а д $ 0 ( агся)п — < — ~ 1" 2 1' Л вЂ” — < агсвп2 — < 0 ~ . 2 х Д 1534.1) 2.851 х ха+1 х а Г х"'1а~х 1. х" атосами — 2Ь = — агсссд — + — ~ а а+1 а а+1 ) а2+х2 При гг= — 1 агам х сЬ не может быть выражен с помощью конечнои комбинации элементарных функций.
2.841 2 3 2 6 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФЪГНКПИИ 5 Х2 аГС21П Х Х2 Х г— 1 Нх = — — — у 1 — хаагсв1п х+ — 1агсвшх)2. ха агса)п х х* 2х 1 — — — сГх= — + — — 1ха+2) Р 1 — хаагсв1пх. 9 3 а агсМпх хагса)па+ 1 р' Г1 — х2)2 )/ 1 — х2 х агса1в х агс21п х 1 1 — х ох = — + — 1п Р (1 — х2)2 )/1 — х2 2 1+х * 2.84 Арксекане, арккосеканс. и степени м а Г а х агсяес — сЬ = ~ х агссоя — 12х = а х = — ~х агссоя — — а х — а зг ~ 0 < агссоя — < — ~; 1 Г а 2 2 а и 1, и 1 х х 2 /' = — ~х агссов — +а х — а у ~ — ° агссов — < 22~ 1 Га а а 2 х ) ~ 2 х х Г а хаагсяес — 12х = ~ х'агссоя — 12х = а х = — ~х агссов — — — х "1/х — а — —,1п (х+ х — а )у з а а„хаааа 2 2 =2). х 2 2 ~0 < агссоя — < 2 ~; — — г ~мыв — ~ —.*ги- '-)- — ! (~-~-г*' — а')) В ).
х 2 2 Я< я — <22~. х Г а х агссовес — сГх = ~ х агсв1п — дх = а х = — ~х агсв1п — +а ~~х — а у 2 1 2 1 = — 2х агсв1п — — а Р х — а у 2.85 Арктангеис, арккотаигеис и алгебраическая функции х х" +" х а Г Ха1НХ х" агой — сЬ = — агс$3 — — — ~ а а+1 а и+ 1 ) а2+х2 3.— 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУнкЦий 3.0 ВВКДЕНИЕа) 3.01 Теоремы общего характера Ф И 132 *) Определение определенных в кратных интегралов мы опускаем, так как они широко известны и их можно легло навтл в каждом учебяике Мы приводим здесь только некоторые теоремы общего характера, дающие оценки или приводящие данный интеграл к более простому ее) Функция 1(л) называется ивглеарируелгой в промежутке (р, л), если существует 9 ~ (х) Ых.
При этом обмчио подразумевают существование интеграла в смысле р Римана Если же речь идет с существсвавии интеграла в смысле Стилтьеса Лебега и т и,, та говорят об иетегрируемости в смысле Стилтьеса, Лебега и т. п 15 таблвлм интегралов 3.011 Пусть [ (х) интегрируема **) в наибольшем из промежутков (р, д), (р, г), (г, д). Тогда (независимо от взаимного располоп[ения точек р, д, г) она интегрируема н в двух других промежутках, и имеет место равенство Я г 9 ~ [[ ]а*=) [[ ]а -г ) Г[ ]а.. р р т 3.012 Теорема о среднем значении (первая). Пусть 1) ~(т) непрерывна и я(х) интегрируема в промежутке (р ф; 2) т (~(т) ~.[)Х; 3) л(х) во всем пром[чкутке (р, ф не меняет знака.
Тогда существует хотя бы одна точка «(р-= «(д), для которой е е )[[]а[*]а -Г[~])г[*]а. р р 3.013 Вторая теорема о среднем значении. Если в промежутке (р, Ч) (р ( д] ~(х) монотонно не возрастает н неотрипательна, а йг(х) интегрируема, то существует хотя бы одна точка «[р~«~д], для которой й 1.
~ (х) у'(х) [Ь = ~ (р) д (х) г(х. р р Если при сохранении остальных условий теоремы 3.013 1. ~(х) монотонно не убывает, то 2. ~[[~]г[и]й =[[г]~д'[и]ь [р<$~г]. р й 226 3 — 4 определенные ннтеГРллы От элементлРных Фъ'нкЦий в про яеткутке ()), д) (р ~ д) ~(х) монотонна, а д (х) ннтегри- Коли руема, то о ~ ) ),) д ) )»» =) ) р) ~ р )*)»»-р ) )д) $» )») з* )р - о с»), р р Я В Ч ~))*)р)*)»*=» ~ р) )» -р~о ~») )»* )р<о»), р р где А и  — два любые числа, удовлетворяющие условиям А>~(р+О) и В</(д — О) [если ~ убывает|, А ~() (р+ О) и В >) (д — О) (если ~ возрастает]; в частности, а $ о 5.
~ ~)»)»)*)о» ))р-) О) ~ а)»)о»~-))д — о) )») )» . Оп ао 3.02 Замена переменного в определенном интеграле оооо '))) )»*=~))р)о)р')оа; =а)г). Эта формула действительна прн следующих условиях: 1. ( (х) непрерывна на некотором отрезке А < х < В, заключающем в себе старые пределы а и ]з. 2. Имеют место равенства а= д(рс), р= д()])). 3.
д(() и ее ироизводнан д (о) непрерывны на отрезке )р~8 (ф. 4. При изменении ~ от )р до ф я(() изменяетс,я всегда в одном и том же направлении от д()р) =а до е(о])) = р «) а 3.021 Инте1 рал ~ ~ (х) ох может быть преобразован в другой интеграл а с виданными пределами )р и ф при помощи линейной подстановки р — а а)]) — ]3)() х=- (+ ]) — т ] т в частности, при г)) = О, )]) = 1- е о ')р) )о»=)о-»)~ПФ вЂ” »)').»)»' Р е1 ео )() ~ 1 (х) ь)в= ~ 1 (д(ю)] у' (») й+ ~ ) [а (»)] а' (г) ер-)-... ~- ~ 5 ]Е (р)] в' (о) й. «) й случае, если последнее условие не удовлетворено, отрезок ч) (г (ф следует разделить на части, а которых ото условие удовлетворяется: р р 227 3 О ВВЕДЕНИЕ При ф О, $= со: ш 3.
~ ((х)в*=О-а) ~ (('— ,,') „"',„. а о 3.022 Имеют место также следующие равенства: Р Р 1. ~ )(х]вх= ~ ((а-Р() — х)вм О) а В 2. 1(х) Ых = ~ (р — х) е(х. о о 2. 5)(-) = $((-*) *. 3.03 Формулы общего характера ((х) В* — 2 ~ ((х) Ь. ФП 159 2 Пусть ~(х) — функция, интегрируемая на отрезке ( — р, р) и удовлетворяющая на этом отрезке соотношению ~ ( — х) = — ~ (х) (такую фуикцию называют яе(ел2ной); тогда ~ (( )р,=о.
Ф П 159 3.032 2 2 1. ~ ((~ш*)х* '))(те*)хх. о о где 1(х) — интегрируемая на отрезке (О, 4) функция. 2п 22 ' 5 (( - *+ "".)'*=Ф() "+ -*)" о о гре ((х) — ее р рре е в реме ( — )/р .)-р', Ф11 159 функция. Ф 11 160 22 Рр 2 2 3. 1(з1ц 2х) соя х~Ь вЂ” ~(соз х) сов х~Ьр где 1(х) — интегрируемая на отрезке (О 1) функция, Ф11 161 о5 ° 3.03$ $. Пусть 1(х) — функция, интегрируемая на отрезке ( — р, р) и удовлетворяющая на этом отрезке соотношению ~( — х) = ~(х) (такую функцию называют челзной); тогда з.о вввдвнив то ~ ""'*! = — ")(-') о 2. ') ),(е, х), = —," ])(хе е) — ((О)]. () П ЕО 3. ' ' ббх= х 11(г) — Г(0)]. ОО 3.038 ~ г' (ух+ р ]/ 1+ х~) = ~ г' (р сЬ х+ (1 вЬ х) вЬ х ох = О у( 1+ХО ОО = 2д ~ У" (в18п р ф р~ — ох аЬ х) вЬ2х (Ы о ]р — функция, имеющая непрерывную производную в промежутке ( — оэ, со); все использованные интегралы сходятся].
Ло 111 281и, Ло 111391 и. Ла 230 (19) Ла 230 (20) Ла 230 (2$) Ла 230(22) 3.04 Несобственпьге интегралы 3.041 Пусть функция ~(х) определена в промежутке (р, + со) и интегри- руема в любой его конечной части (р, Р); тогда по определению +СО Р ') )(х)бх (пп ) )(~)бж Р-О+Еж если этот предел существует. В случае существования указанного предела +СО говорят, что интеграл ~ 1(х)Их существует или сходится. В противном р случае говорят, что интеграл расходится. 3.042 Пусть в любом промежутке (р, д — т~) (О < т~ < о — р) функция ~(х) ограничена и иптогрируема, но оказывается неограниченной в каждом промежутке (д — 2), д) слева от точки д.
Точка д носит в этом случае на- звание особой точви. Тогда по определению (] е) — а ') ((,)б*=()ж ') )(,)б*, ч'р если этот предел существует. В этом. случае говорят, что интеграл 1(х) сЬ существует или сходится. р 3.043 Ксли сходится не только интеграл от ~(х), но и интеграл от ]1(х)], то 2оворят, что интеграл от 1(х) сходится абсаа2отио. +бо 2.баб И~жеож~ ') ((х)б шпее ~ об*о жено, еееб ажно )пае а е ное р Зл — 3.2 стипиннын и»»лгнвРАичиские ч)»'нкции 231 )» расходится, но существует в смысле главного значения. ФП 605 3.053 Расходящийся интеграл от положительной функции не может существовать в смысле главного значения.
Ф 11605 3.054 Пусть в промежутке ( — со, + со) у функции ~(х) яе1 особых точек. Тогда, по определению, причем предел должен существовать при независимом предельном переходе по Р и по ф Если указаняый предел нв существует, но существует предел 1)ш ~ ~(х)сЬ, Р-г+со то этот последний называют главным значением несобственного интеграла Ф11607 3.055 Для четной функции главное значение несобственного интеграла существует только в том случае, когда этот иптограл сходится (в обычном смысле). Ф 11607 3.1 3.2 СТЕПЕППЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСИИЕ ФУПШЗИИ 3.11 Рациональные функции О» 3.111 ~, ~ ~ з Их = =(р — дг соз 7») (главное значение)*) гз+2гх со» Х+хе г е1в )), (см.
также 3.194 8. и 3.252 1. и 2.). БХ [22~ (14) *) В справочнике даны значения собстненных и несобстзенвътх сходяногхся интегралов, е также главные значения расходящихся интегралом (сы. 3.05), если таковые имеются. В дальнейшем главные значения ничем не выделяются. то этот последний называют главным значением несобственного интеграла 9 е )(~)з»»»»», ч»» Р~ ) ))~)з )» Р значения. Ф11603 3.052 Пусть функция )'(х) непрерывна в промежутке (р, д) и обращается в нуль в одной лишь точке г внутри этого промежутка. Пусть в окрестности точки г существует первая производная ~' (х), причем пусть )'-'(г) + О, и в самой точке г существует вторая производная ) (г). Тогда 232 з-4 опгкдклкннык инткггллы от элкикнтАрных егннции ОО 3.112 Интегралы т и и а ~» (х) 1» ( х) Ш где д (х) = 5 хз 3.+ Ь,хз" 4 + ...
( Ь„ Ь (х) =а х»+и х» 1+ ° . +а ]все норки Ь„(х) лежат в верхней полуплосности]. о» (х) ах»3 1а» Ь (х) Ь»( — х) ао где О О О ... а„ О 0 О ... а 331ЬЗ аоа Дж454 аз(х) аЪ "з (х) "з ( — х) Ьз (— ~6 (х) )13( х) аМз 2. Г1 (х) (х )11 (х) Ь1 ( — х) -ОО СО 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
