Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Однако в ходе первоначального теоретического анализа удобно рассматривать их раздельно. При этом имеется в виду, что в результате обнаружения устанавливаются факты наличия или отсутствия цели в определенных областях пространства, грубо заданных значениями параметров а, при которых решение А* (у (1) ~ а) = 1. В результате измерения должны выдаваться возможно более точные оценки дальности, радиальной скорости, угловой координаты в предположении, что наличие цели достоверно.
В зависимости от условий локации измеряемый параметр считают случайной величиной, неизменной в течение времени приема отраженного сигнала, либо случайной величиной, изменяющейся в течение этого времени (скачкообразно или непрерывно) в соответствии с заданной статистикой движения цели. Вначале рассмотрим лишь первый случай, считая параметр неизменной во время измерения случайной величиной (например, временем запаздывания сигнала, отраженного от неподвижной случайно расположенной цели).
Затем будут рассмотрены некоторые более сложные случаи. Итак, в результате проведенного измерения должна быть дана оценка и* каждого измеряемого параметра а. Показателем качества измерения является статистически усредненная величина ошибки е = а* — я измерения параметра. Чем меньше величина ошибки, тем выше качество измерения. Ошибки измерений делятся на грубые промахи, систематические и случайные ошибки. Если приняты меры для исключения систематических ошибок и грубых промахов, ошибки измерений сводятся $ 4л 17З 4'гг и еа ~илие со Рис.
4.1. К расчету вероятности Р(!8):- ео) Рис. 4.2. Кривая вероятности Р ( ~ е ! = в) = Ч'(вв) ескв = ~ и р(е)сге=ев, В случае наиболее распространенного центрированного нормального закона распределения случайных ошибок (рис. 4.1) среднеквадратичная ошибка полностью характеризует другие виды ошибок — вероятную и максимальную. В этом случае вероятность выполнения условия 1 е ) е ' ев, где е„— некоторое произвольно выбранное значение е, будет ев~есвв Р((е~ (ев)= е с1х= — Ф~ е" 1'2п о ~ есвв Вероятная (срединная) ошибка еве соответствует такому значению е, =е„,р, при котором заштрихованная площадь на рис. 4.1 составляет половину всей площади под кривой р(е): Р((е! ев,р) =--Р(~е! .- и,„„):--0,5, э 4.1 174 к слг)чайным. Случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флюктуациями сигнала, а иногда случайным поведением самой системы измерений.
Качественными показателями измерения одномерной случайной величины являются: среднеквадратичная ошибка, верояпгная (срединная) ошибка, максимальная ошибка, математическое ожидание, дисперсия, средний риск ошибки и т. д. При измерении многомерных величин вводятся корреляционные моменты ошибок, учитывающие взаимосвязь ошибок измерения отдельных случайных величин, о чем речь будет идти ниже Я4.?, 4.9, 6.4, 6.1?). Здесь остановимся несколько подробнее на качественных показателях измерения одномерных величин.
Для произвольного закона распределения случайных ошибок р(е) среднеквадратичная ошибка измерения определяется из соот- ношения т, е. Ф( — ' =05 ~ вскв при вс в«р. во '2 Тогда — ' = —, так что вероятная ошибка (рис. 4,2) вскв 2 вср 'с кв 3' 0 (е( = М ((е — М (е((в( = М (ев( — М' (е( которое легко получить, раскрывая квадрат разности. В случае несмещенной оценки 0 (е) совпадает со средним квадратом ошибки О (е( — М (е ( — в = вскв.
В качестве обобщенного критерия качества измерения можно ввести средний риск ошибки измерения. Для этого рассмотрим совокупность с и т у а ц и й с о в м е щ е н и я с л у ч а й н о г о значения параметра а и случайной оценки а*. Для каждой из ситуаций введем совместную плотность вероятности р(а*, а) и дифференциальную вероятность совмешения с(Р(а*, а) = р(а*, а) с(а* с(а, причем ~ р(а*, а) с(а*да= ~ с(Р(а*, а) =1. — СΠ— СЮ (ав.
а1 Каждой ситуации совмещения поставим в соответствие некотоРую стоимость ошибки г(а", а) в зависимости от ее важности, Тог- $4.! 175 В качестве максимальной ошибки е„„„обычно принимают ошибку„вероятность превышения которой по модулю составляет 0,8'Ъ, Для нормально го закона Ф ( ' — """ — '~ = 1 — 0,008, откуда вскв 8 16 — 4е 1 оворят что инт вокруг оценки является доверительным, причем вероятность выхода истинного значения величины за пределы доверительного интервала составляет в данном случае 0,8сс. Математическое ожидание ошибки М(е) отлично от нуля, когда действует источник систематической ошибки (наряду с источниками случайных). Оценку а* в этом случае называют с м е щ е и н о й.
Наоборот, в довольно часто встречающемся случае ц е н т р и р он а н н о го распределения ошибок, когда М(е) = 0 (т. е. систематическая ошибка ие сказывается), опенку называют н е с м е щ е ни о й. Дисперсия ошибки определяется выражением да критерием качества оценк и а* я в л я е т с я средняя стоимость (с р е д н и й р и с к) о)иибки измерений г(а', а) = ~ г(а*, а) р(а*, а) с(а*с1а. (а*, а) 0 Оптимизация оценки сводится при этом к г)~):/~/ а) обеспечению минимума среднего риска. Оценивая степень ошибки по величине разности а* — а =е, в качестве функции стоимости г(а*, а) достаточно задать функцию г(е) одной переменной. На о с рис.
4.3 показаны возможные графики стои- ф~ мости г(е) в функции величины ошибки е. гф Так, основная кривая г(е) = е' (рис. 4.3, а) соответствует случаю, когда стоимость равняется квадрату ошибки. При этом средний риск соответствует среднему квадрату ошибки, а оптимизация измересп ния сводится к достижению м и н иф мума среднеквадратичнои Рис. 4Л. Возможные о ш и б к и.
В случае выбора функции стоифункиии стоимости мости г(е) = ~ е ~ (рис. 4.3, б) оптимизация ошябкя измерения сведется к обеспечению м и- н имума среднего модуля о ш и б к и. Если же выбирается ступенчатая функция стоимости: «(е) = О при ! е ! < е, и г(е) = сопз1 при ! е ) ) е, (рис. 4.3, в), то обеспечивается условие минимума вероятности превышения модулем ошибки некоторой установленной величины е,.Таким образом, взависимости от выбора разновидности функции стоимости ошибки устанавливаются различные критерии оптимизации измерения.
Наиболее употребительным является использование к в а д р атичной стоимости ошибки (рис. 43,а) г(а*, а) =(а* — а)', тогда оптимизация сводится к обеспечению минимума среднего квадрата ои)ибки г(а*, а) = (а* — а)' = ~ (а* — а)~ р(а*, а) йа' с(а. (2) )а~, а) $4.2.
Постановка и методика решения задачи оптимального измерения параметра, Простейший оптимальный измеритель Полагаем, что на вход измерителя поступают колебания уф в виде наложения флюктуационной помехи и сигнала у (1) = и (1) + х,1, а, р), Ф где х(1, а, р) — известная функция времени, случайного измеряемого параметра а и случайных неизмеряемых параметров р,имеющих заданную плотность вероятности р(р).
Требуется установить правило отыскания оценки и,„„, оптимальной с точки зрения квадратичного критерия, построить схемы оптимальной обработки при измерении, определить среднеквадратичную ошибку и другие необходимые характеристики оптимального измерения. Как и в5 3.4, при решении задачи измерения наряду с непрерывными реализациями входных колебаний у(1) введем соответствующие дискретные многомерные реализации У (выборки по теореме Котельникова) с целью более удобного использования соотношений теории вероятностей.
Полагаем, что оценка и* = я*(У) закономерно устанавливается в зависимости от принятой реализации У. При этом стоимость, а именно средний квадрат ошибки измерения 1(2), ч 4.11, будет зависеть от выбора решающей функции а* = а*(У): «(а*, а) = «1а*(У)1. Заменим в 1(2), ~ 4.11 дифференциальную вероятность совмеще ния оценки и параметра дифференциальной вероятностью совмещения реализации и параметра р (а*, а) йа* йа =- р (У, а) йУ да, где по теореме умножения р(У, а) = р(У) р(а ~ У).
Здесь р1У) — плотность .вероятности реализации У, р(а ~ У)— послеопытная плотность вероятности параметра а (при условии приема реализации У). При наличии случайных неизмеряемых параметров ~ все перечисленные вероятности берутся с учетом случайного распределения р. Выражение для среднего риска можно тогда представить в вида «(а*(У)) = ~ (а*(У) — а)'р(У) р(а ~ У) иа дУ, или иначе «(а*(У)) = ~ р(У)«[а*(У)~У)й~ 177 7 зэк.
1200 Рнс. 4.4. Кривые послеопытной плотности вероятности р(а ~ У) и стоимости ошибки г(а*, а). Их взаимное расположение соответствует выбранной оценке а* Здесь г [а*(У)~У) — условный средний риск ошибки измерений, а именно средний риск, соответствующий условию приема реали- зации У, г [а*(У) ~ У1 = ~ (а* (У) — а|а р (а ~ У) да. (2) — (а* — а)'р(а~У)с(а=О при а = а,„,(У), (3) Иа* откуда ~ (а* — а) р(а~У) да=О при а = а,„,(У), (4) Поскольку площадь под кривой послеопытной плотности вероятности р;а~У) при любом условии У равна единице 178 ф 4.2 Минимум (1) достигается тогда и только тогда, когда для каждой принятой реализации имеет место минимум условного среднего риска (2), На рис.
4.4 показана кривая послеопытной плотности вероятности р(а*~ У) и кривая стоимости ошибки г(а*, а) = (а* — а)а для произвольно установленной оценки. Рисунок иллюстрирует, что для неудачно выбранной оценки а* минимум г(а*(У) ~ У) не достигается, Оценка значительно отличается от оптимальной, поскольку наиболее вероятным значениям а соответствует большая стоимость ошибки. Чтобы найти оптимальную оценку, приравняем нулю производную условного среднего риска по оценке а', т. е. положим имеем а „, (У) = ~ ар (а ) У) йа = М (а ) У), (5) (а — а,„,) = )а — М (а) у))в = 0)а)у). (6) Для определения оптимальной оценки и,„,(У) и минимального среднего квадрата ошибки 0(а) У) в соответствии с (5) и (6) требуется найти явное выражение п о с л е о п ы т н о й п л о т н ости вероятности параметра р(а)У).
Эту плотность вероятности называют также у с л о в н о й, так как она определяется при условии конкретной реализации У принимаемых колебаний. Возьмем две эквивалентные формы записи теоремы умножения, определяющей плотность вероятности р(У, а) совмещения слу. чайных событий, а именно р (У, а) = р (У) р (а ) У) = р (а) р (У ) и), Пользуясь приведенным равенством, послеопытную плотность вероятности параметра р(а) У) свяжем с д о о п ы т н о й ( б е зусловной) плотностью вероятности р(и), а также с условной плотностью вероятности п р и н и м а е м о й р е а л из а ц и и р(У)а) при рассматриваемом значении параметра, т.
е. * Операция (5) определения оптимальной оденки аналогична операци! ! 1 ям вычисления абсциссы центра тяжести х'= — ~ х; т, или х*= — ) хх ин ~ т~ ) К п1 (х) г!х для дискретного или непрерывного распределения массы пг.= !' вдоль оси х, 7* !?У где М(а) У) — математическое ожидание а при условии Таким образом, оптимальная по минимуму среднеквадратичной ошибки оценка а,„, представляет собой математическое ожидание измеряемого параметра, соответствующее кривой послеопытной плотности вероятности р(а) У) (ее «центру тяжести»*) для принятой реализации У. В силу (4) такая оценка является несмещенной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
