Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Нас будет интересовать не только определение оптимальнойоценкиа,„„но и дисперсия ошибки оптимального измерения. Б. ОДНОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И ЧАСТОТЫ ф 4.3. Измерение времени запаздывания когерентиого сигнала со случайной начальной фазой На рис. 4.8, а показаны элементы оптимального приемника обнаружения сигнала со случайной начальной фазой, состоящего из оптимального фильтра и линейного детектора. Такая схема вырабатывает модульные значения корреляционного интеграла в функции измеряемого параметра а: — У(1) 0" (1 — а) Ж 2 .l 2(а) = р (а $ у (~)] = Й, р (а) У (а), 7В зак. ~ ~0о 185 Выходное напряжение представлено на рис.
4.8, б. Решение о наличии цели А,„, = 1 принимается для тех областей а, где превышается порог. Оптимальная оценка наибольшего правдоподобия а„„, соответствует максимуму выходного напряжения. Если имеются доопытные данные о том, что измеряемый параметр равновероятно принимает значения только в интервале от а, до а,, то соответствующая оценка максимума послеопытной плотности вероятности— это оценка положения максимума выходного напряжения, но на стробированном участке временной шкалы. Такое стробирование, осуществляемое обычно с помощью электронно-ключевой схемы, устраняет возможность оценки по ложному выбросу вне интервала а, < а а,, особенно опасной при невысоком отношении сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра.
Оценка ~„, отличается от истинного значения измеряемого параметра. Возможные ошибки определяются послеопытной плотностью вероятности Рис. 4,8. Общие элементы схемы оптимального обнаружителя-измерителя (а) и напряжение на выходе детектора (б); показан порог обнаружения где для сигнала со случайной начальной фазой э (а) ( (а) =е — — (2Е(х) ~ У о ~ о р (а ~ у ®) = И, (и), (2) где а = — Л(а). 2 )уо Соответствующее построение приведено на рис. 4.9. Здесь нанесена кривая 1о(и), по форме напоминающая быстро нарастающую экспоненту, а для малых значений аргумента и принимающая значения, близкие к единице (в масштабе рисунка это показать не удается).
На том же рисунке представлена кривая и(а) = — - Е(сс), 2 'Л~, характеризующая график напряжения на выходе оптимального фильтра после линейного детектора. Она содержит пик сигнала и боковые выбросы помехи, образующие «шумовую дорожку». Вследствие экспоненциального характера кривой 1в(и) имеет место «отсечка» шумов и пик сигнала резко подчеркивается в кривой после- опытного распределения. По существу, небольшой участок вершины кривой и(а) переходит практически во всю кривую послеопытной плотности вероятности, если можно пренебречь остатком отсекаемой «шумовой дорожки».
186 э 4,3 Поскольку зависимостью энергии сигнала от возможных значений параметра к на ограниченном интервале можно пренебречь, то при р(а) = сопз1 В этой связи проанализируем форму кривой и(а) вблизи максимума, поскольку от нее зависит точность отсчета временного положения. При не очень сильных помехах кривая 2(а), а следователь- 2 но, и и(я) = — Л(сс) определяются, в основном, формой сигнала на й~о выходе оптимального фильтра. Используя [(26), 5 3.10), можно записать и (а) = — Е (а) =. д' [1 — — П~ (а — а',„,1 ~~, О где величина Оа считается конечной и определяется из [(27) или (28), ~ 3.101. Разность временных отсчетов в формуле [(26), 5 3.10[ заменена разностью возможного значения параметра а и принимаемого в качестве оценки значения а,",„,. Приближенное равенстго (4) справедливо, когда сигнал достаточно сильный и после фильтрации хорошо выделяется над уровнем шумов.
Это значит, что средний уровень шумов вне пика сигнала не сказывается на положении центра тяжести кривой послеопытной плотности вероятности, так что может быть использована оценка максимального правдоподобия, представляющая собой абсциссу сигнального пика. Форма пика выходного сигнала практически не искажается. Имеет место лишь смещение его максимума. Используя асимптотическое представление модифицированной бесселевой функции при больших значениях ее аргумента 1р(ы) — ав а аоа~ Рис. 4.9. Пояснение преобразования вершины 2 кривой и(я)= — Е(и) в основную часть кривой л'о р[сс [ д(01 при д )) 1 187 7В* У,(и) = — е", 1 1'2ли подставляя в него выражение (4) и пренебрегая малым поправочным членом в знаменателе, получим д Пп (а — аопт) р !а !у(~)) =Се Окончательный результат представим в виде (и попт) р(а!у(1И = е 1/2но 1 что соответствует нормирующему множителю С= —, где р'2по о=— (7) д1т, ' Таким образом, при конечной величине П, и достаточно интенсивном сигнале послеопытное распределение измеряемого времени запаздывания подчиняется нормальному закону, а стандартное отклонение о ="!l О! а !у) обратно пропорционально параметру обнаружения д и аффективной ширине спектра П,.
На рис. 4.10 показаны кривые, аналогичные кривым (рис. 4.9), но для значительно более слабого сигнала. В соответствии с выра- ~Уу~ ~уу~ ОУ 'а! ОТ!О 1 ОБ' и ! Рис. 4.10. Пояснение сглаживания выбросов кривой р(я ! у(1)! нри д ( 1 5 4,3 — изб 1 /7у 150 ог ~ппрог Рис. 4.11.
Зависимости о = о(д) — сплошная кривая и о, = о1(д) — пунктир, построенные с учетом и без учета шумовой дорожки соответственно при числе элементов разрешения ТП» = 1000 жениями для 2 зависимость и(а) характеризуется меньшим уровнем не только сигнала, но и шума. Выбросы сигнала и помехи на рис. 4.10 сглаживаются и послеопытная плотность вероятности оказывается пропорциональной одной только доолытной. В силу одинаковой нормировки коэффициент пропорциональности равен в этом случае единице, т. е. имеет место совпадение послеопытной и доопытной (априорной) плотностей вероятности р (а ! у (1)) = р (а) при д ( 1. (8) В промежуточном случае наряду с пиком послеопытной плотности вероятности рЬ ~ у(1)~, приближенно описываемым нормальным законом, приходится учитывать равномерную сплошную «шумовую дорожку» во всем диапазоне априорно возможных значений параметра. Часть площади под кривой послеопытной плотности вероятности, приходящаяся на шумовую дорожку, характеризует вероятность ошибки ложного измерения, соответствующего ложной тревоге в случае обнаружения, и носит наименование козффи11иента ненадежности.
Коэффициент ненадежности тем больше, чем меньше отношение сигнал/помеха д и чем больше элементов разрешения 1/Л, содержит диапазон Т возможных значений параметра а. С увеличением коэффициента ненадежности возрастает дисперсия о' и стандартное отклонение о послеопытных ошибок, особенно для значений д, близких к некоторому пороговому значению д„,р„(рис.
4.11). В предельном случае о — ~ 0 стандартное отклонение приобретает значение Т/~/12, характерное для прямо- Я 4,3 169 угольного закона доопытного распределения. Расчетные соотношения к кривой (рис. 4.11) даны в приложении Б, где оптимальная оценка определяется по «центру тяжести» послеопытного распределения. Как видно из кривой (рис.
4.11), при о) ок„р„можно пользоваться выведенной ранее формулой стандартного отклонения 1 О«= — 1 41? а (9) где индекс т здесь и в дальнейшем характеризует измерение времени запаздывания. По величине среднеквадратичной ошибки о, = е,„, может быть найден доверительный интервал, как в ~ 4.!, Полученные результаты вначале поясним на примере колокольного радиоимпульса 1(1), ~ 3.111. Подставляя (l(1) = е — "" в формулу 1(28), ~ 3.101, найдем и, = 1 ~2а1е — "тй ~ 1 ~е — "1'и Используя табличные интегралы П,=— ти = ~~я П„, (10) ти 1 о«= $ д»'л дп„(/д (11) 1 где П„= — ширина спектра на уровне 0,46.
ти При т„= 2 мксек и д = 8 среднеквадратичная ошибка измерения времени запаздывания колокольного радиоимпульса составит 2 о, =- =0,14мксск. Доверительный интервал с вероятностью з 1~п %,2,о будет 2е „„= — о,=0,75 мксек. ~поа: 16 макс « Перейдем далее к сигналу с прямоугольным спектром 6(1)=1 при ~~~ с П„/2 и 6(1) =0 при )~~-: П„(2 (см. ~ 3.13). В соответствии с соотношением 1(2?), ~ 3.101 190 в 4.3 Я Х2 е — ~'х' с(,с 2уа получим Па — — ~ а.
Заменяя а = 1 отсчета длительности импульса— й '2 ~а 1 — ~ !пд и выбирая уровень =е 4 ~0,46, найдем Пи' 2 П /2 П,' =4лл ~ Яй~ ~ ф — П /2 — П /2 откуда (12) (13) В заключение остановимся на случае измерения времени запаздывания радиоимпульса прямоугольной формы без внутриимпульсной модуляции, когда спектральная плотность 6(/) описывается функцией вида (з(пл1та)/н~т„ и в соответствии с 1(27), э 3.101 величина Пз обрашается в бесконечность, так что пользоваться описанной выше методикой нельзя. В этом случае пик кривой Я(сс) имеет треугольную, а не параболическую вершину, 1 г~ ~ э(~- — ( — ~.„,(), ти (14) и вместо (4) следует записать (15) Рис. 4.12, Кривая послеопытной плотно.
сти вероятности времени запаздывания импульса строго прямоугольной формы В качестве третьего примера остановимся на сигнале в виде двух синусоид равной амплитуды на частотах ~~~П,~2. Эти синусоиды образуют биения, по огибающей которых можно точно, но неоднозначно измерить расстояние до одной цели (если в каком-то угловом направлении целей много, измерение невозможно). Такой сигнал имеет наибольшую эффективную полосу из всех возможных сигналов в ограниченной полосе П„. Величина Па в данном случае равна П, = ттП„, что в 1/3 раз больше, чем при равномерном распределении энергии по спектру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
