Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 36
Текст из файла (страница 36)
По теореме о дисперсии суммы независимых величин имеем 0гпр = 0е + 0бг (4): где 0бг = 0(ог) определяется законом движения цели. Прогнозированное по результатам первого отсчета распределение величины аг удовлетворяет соотношению ( ' епр) р (а)= Е гпр (5) У2пР,пр где по аналогии с (1) агпр является прогно:ированной оценкой, а 0гп — дисперсией. Распределение (5) является дооаытным для последующего отсчета аг. Пусть далее поступает второй отсчет а„„„. Вводя плотность вероятности аг при условии двух отсчетов Рг (аг) Р1 (ае ~ аг отсч) имеем Р1 (ае ( аг отсч) = Й>01 (аг) Р (аг отсч ( иг), откуда, используя выражение для нормальных законов и логарцфмируя, находим ~~г г г (с~г аг) (аг с~е пр) (ае ото ае) + + сопз1.
21 ~г 2Ргпр 2Ре отсч г Приравнивая козффициенты при аг, а затем при а, в левой и правой части равенства !7) соответственно получаем ! 1 1 + 1.)г Репр Рг отсч (9) е пр г отсч (8) аг=а~+ ' (а„„,— а,"), (10) г отсч Рг г + бг Рг отсч + (11) Аналогично можно найти выражения для оптимальной оценки и дисперсии после третьего и вообще т-го отсчета: а =а ~+ (а „,„— а,„1), (12) Рт отеч 1 1 1 Р,„т- ! + бт Рог отсч Р ! Р + 20ь $4.7 Используя (3) и (4) и определяя 1!0епр из (8), находим окончательные выражения для оптимальной оценки и дисперсии после второго отсчета А 2'-.2п2 от сч (14) Поскольку отсчеты вводятся п о с л е до в а т ел ь н о, к моменту получения т-й оценки нет необходимости сохранять в памяти вычислительного устройства результаты предыдущих отсчетов, достаточно сохранить предыдущую оптимальную оценку сс,„ и ее дисперсию 0 Описанная последовательная обработка не является единственно возможной.
Сохранив в памяти вычислительного устройства т отсчетов, можно, например, получить сразу т оценок: а~, и~, ...,сс, в том числе оценки параметроВ от и, до а 1, более точные, чем полученные по меньшей совокупности отсчетов. Однако оценкаа окажется такой же, как и при последовательной обработке. Поскольку уточнение предыдущих оценок чаще всего не представляет самостоятельного интереса, целесообразно использовать последо.
вательную обработку. Более подробный анализ последовательной обработки начнем с простейшего случая, когда параметр а не изменяется за время наблюдения, т, е. не только М(о ) = О, но и 0(б ) = Оь = О. Соотношения (12), (13) приводятся при этом к виду 1) — + (15) ~-~П2 — ~ ПП2 Отсч (16) ~П2 ~П2 1 ОП! ОТСЧ Здесь соотношение (16) получено из (12) с использованием (15). Заа" меняя ~ в (15) и '" — ' в (16) по видоизмененным формулам (15) Л! — ! и! и (16) (замена т на т — 1), повторим аналогичную процедуру многократно, полагая в силу отсутствия доопытных данных об измеряемой величине Оо = оо .
Тогда придем к соотношениям, аналогичным 1(6) и (?), ~4.51, 2П П2 2~! отсч ,аюе2 П, — 2 ОТСЧ (18) ! ~2П 202 Пользуясь этими выражениями и вводя результаты отсчетов, можно последовательно определять соответствующие оптимальные оценки и дисперсии. Каждая последующая оценка (12) складывается из прогнозированной по предыдущим отсчетам оценки а пр —— = а 1 и сигнала ошибки (а „,„— а,), умноженного на весовой множитель Ротсч 7 13 Ротсч О 54 Ротсч 55 133 Ротсч О141 Ротсч Ротсч О~37 Ротсч~ 1251 4030 11505 — 0„„= 0,35 Р„,ч, Из приведенного расчета видно, что происходит цспшновление дисперсии ошибки.
Уравнение для установившегося значения дисперсии ошибки Р = Р 1 — — 0 следует из (13) 1 1, 1 +— (19) ~1+ 116 11отсч или Р + 06 Р 016 01отсч Положительное решение этого уравнения имеет вид 0 ( 06+1, 062+ 4060 ) (20) и, в частности, для рассмотренного выше примера приводит к установившемуся значению 0„„ равному 3 203 Согласно этим соотношениям оценка а„, определяется как средневзвешенная из результатов отсчетов с весами, обратными дисперсиям последних, а при одинаковых дисперсиях — как среднее арифметическое результатов отсчетов.
Дисперсия 0 последовательно уменьшается с увеличением числа отсчетов, в частности, при одинаковых дисперсиях отсчетов — обратно пропорционально числу их т. Естественно ожидать, что при достаточно большом числе отсчетов можно прийти к сколь угодно малым ошибкам. Это действительно справедливо для неманеврирующих стабильно движущихся целей. Однако имеющие обычно место нестабильности движения и элементы маневра, выражающиеся в том, что 06 =АДЬО, ограничивают процесс уменьшения ошибок. Пусть, например, дисперсии всех отсчетов одинаковы и равны 1 Р„,ч, значение Р, = оо, а величина 06' составляет — 0,„„(независиме от и).
Тогда, последовательно пользуясь формулой (13), получаем: Одновременно с 0 устанав1ивается коэффициент В /О = А в алгоритме (12) последовательного получения оценок; его установившееся значение с'В А= =<р( ~-~отеч ~ ~1отсч 121) определяется из (20).
Это значит, что в установившемся режиме последовательной обработки любая последующая оценка а получается из предыдущей а ~ и текущего отсчета а „,„по одному и тому же оптимальному правилу, независимо от номера наблюдения ит — ач — 1+ А (а „,„— а* ~). (22) очи от 1со,,т 1 Р ис. 4.17.
Схема последовательного получения оптимальных оценок для установившегося режима движения со стационарными первыми приращениями 204 $ 4.7 Оптимальному правилу обработки (22) соответствует схема вычислительного устройства, представленная на рис. 4.17. Операции алгебраического суммирования выполняются сумматорами 1 и 2.
Первый сумматор вычисляет сигнал ошибки по результату последнего отсчета а „,„и предыдущей оценке аьч 1. Умножение на коэффициент А может быть осуществлено в схеме потенциометра, усилителя и т. п. Оценку а выдает второй сумматор, на вход которого подается предыдущая оценка а„, ~ и сигнал ошибки, умноженный на постоянный весовой коэффициент А. Предыдущая оценка снимается с подключенной ко входу второго сумматора линии задержки, время задержки в которой равно периоду повторе' ния отсчетов. Устройство (рис. 4.17) содержит два замкнутых контура, охваченных обратной связью.
Один из них обведен пунктиром и представляет собой рециркулятор с передаточной характеристикой от входа к выходу сумматора К(р) = 1/(1 — е — Рг). Частотная характеристика рециркулятора К(го) в области низких частот (аТ (~ 1, е — 7"г = 1 — /'гяТ) обращается в 1//'вТ, что соответствует интегратору с передаточной характеристикой 1/рТ. Поэтому по своему воздействию на медленно меняющуюся часть функции а(/) — огибающую последовательности а, где т = 1, 2, ..., рециркулятор Я,а) =2 (а 1)+2'(а ~) (а — а 1)+ + — 2" (и,п 1) (а — а,п ~) 2 (23) Максимум выражения (23) достигается в точке а =а для которой Л'(а „,„) =О.
Дифференцируя (23 по а и подставляя а=а,,„„, получим Л (а„, ~)+Л (а ~) (а „,„— а ~) = — О, откуда 2'(а ,) ат отеч (24) Используя выражение, определяющее значение производной произвольной функции т(а), ~'(а„) = — ) т (а) 6'(а — а„) да, где 6'(а) — производная дельта-функции, приведем (24) к виду, позволяющему сопоставить полученный результат с работой реальной схемы автоматического сопровождения, а „,„— а „р — — ~ 2 (а) 6' (а — а,р) да.
(25) 2"( т.,) '„ Еще более полное соответствие можно было бы обеспечить, используя (1) нлн (3) для предельного случая, когда справедлив переход к производной ат ат — 1 — = !)т ~т 1т — 1 т )т — 1 4 4.7 может быть заменен интегратором. Это позволяет выявить единство между синтезированной теоретически схемой (рис. 4.17) и практической схемой автосопровождения по дальности, рассматриваемой в следующем параграфе*. Для пояснения этого единства рассмотрим дополнительно некоторые соотношения, определяющие работу дискриминаторных устройств при получении разности (а „.,„— а,) двух оценок, а именно: текущей оценки без учета доопытных данных а „„ч и доопытной оценки ип, „= а „прогнозируемой по результатам предыдущих измерений.
Выход оптимального корреляционного приемника будем характеризовать при этом модульным значением корреляционного интеграла Е(а). Представим это значение первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора относительно точки ат — 1 — ат пр. ф 4.8. Устройство автосопровождения по дальности с одним интегратором На рис. 4.18 показана схема устройства автосопровождения по дальности одной цели, состоящая из временного дискриминатора; интегрирующего усилителя (интегратора); схемы управляемой временной задержки; схемы выработки опорного напряжения временного дискриминатора. На временной дискриминатор подаются два напряжения: а) выходное напряжение приемника гр(а — а „,„), которое представлено на рис. 4.18, б в виде импульса, имеющего в т-м периоде посылки абсциссу вершины а„, „,„[если приемник оптимальный, то ~р(а) = Я(а)[; б) опорное напряжение временного дискриминатора фа — а „,) (рис. 4.18, в), антисимметричное относительно некоторой точки а,„„,; значение а „, соответствует ожидаемому запаздыванию отраженного сигнала, прогнозированному по отсчетам, предшествующим отсчету с номером т.
Во временном дискриминаторе в каждом периоде посылки осуществляется перемножение и интегрирование подаваемых на него напряжений, в результате чего вырабатывается напряжение Ун = [ ~(а — а„„„)ф(а — а „)Йа. (1) которое в .конце периода сбрасывается. Опорное напряжение ~(а — а, ), изображенное на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
