Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151796), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. М(а„ч, — а) = О. Поэтому минимальный средний квадрат возможной ошибки (а„„вЂ” а)' = (а — и„„)' определяется дисперсией распределения послеопытной плотности вероятности для принятой реализации У, т. е. р(а~У) = р.'а) р(У1а). РЮ (7) р(У) = ~ р(а) р(У~а) да, р (а ! У) = р (а) р (У ~ а). р(а) р(У!а)с)а (8) (9) Формула (8) является аналогом фо р м у л ы п о л н о й в ер о я т н о с т и, в котором вероятности заменены плотностями вероятностей, а суммирование интегрированием. Формула (9) является подобным же аналогом ф о р м у л ы Б е й е с а. Заметим, что не зависящая от а дрооь с определенным интегралом в знаменателе (9) играет роль нормирующего коэффициента.
Чтобы облегчить проведение аналогии между обнаружением и измерением, а также иметь возможность использовать готовые результаты предыдущей гл. 3, можно искусственно ввести еще одну условную плотность вероятности принимаемой реализации У, а именно плотность вероятности этой реализации р,(У) применительно к условию отсутствия сигнала (т, е. условию наличия одной помехи). Отношение условной плотности вероятности реализации р(У',,а) при наличии сигнала с параметром а к плотности вероятности р„(У) представляет в соответствии с 5 3.4 условное отношение правдоподобия )1У ~и) = 1(а), характеризующее справедливость гипотезы о наличии в составе реализации У сигнала с параметром а. Тогда р (У ~ а) = ) (У ~ а) р„(У), р (а ~ У) = р (а) ) (У ~ а).
~ р(а))(У~а)с)а Окончательно приходим к соотношениям: — для послеопытной плотности вероятности р (а ~ У) = А, р (а) р (У) / а) = Уг, р (а,) ( (У ~ а), (10) э 4,2 Наряду с функциями а в правую часть (7) входит б е з у с л о вная вданномслучае плотность вероятности реа л и з а ц и и У, определяемая применительно к наличию сигнала для всей совокупности возможных значений а. Последнюю плотность вероятности определим, интегрируя (7) по а от — со до со и замечая, что интеграл ст р(а~У) равен единице.
Тогда — для оптимальной оценки параметра М [а~У) =а,„,=н, ~ ар(а) р(У[а) йа= =А, ~ ар(а)1(У[а)да„ (11) — для минимальной дисперсии ошибки измерений .0(а ~У) =/г, ~ [а — а„,) р(а) р(У~а) с(а= =lг, ~ [а — а,„,) р(а)1()'[а)йа, (12) где ~ р (а) р (У ~ а) с[а р~а)!Д ~и)Ша~ (13) (14) — множители, нормируюи(ие площадь под кривой послеопытной плотности вероятности к единице, При использовании теоремы Котельникова в предельном случае интервала дискретизации Л~ -э О отношение правдоподобия 1(У~а) ди с к р ет но й выборки У переходит,как и в ~ 3.4, в отношение правдоподобия 1[у(1) ~а]=1„(а) н е п р е р ы в н о й реализации у(1), которое определяет оценку а,„, = а,„, [у (1)). Итак, оптимальная оценкаа„„, соответствует «центру тяжести» распределения послеопытной плотности вероятности р[а; 'У[ или р[а~у(~)[ для произвольной принятой реализации: дискретной У или непрерывной у(1).
Если послеопытное распределение с и м и е т р и ч н о или близко к симметричному и на оси симметрии имеет единственное максимальное значение, то его «центр тяжести» совпадает с этим значением. Таким сбразом, в качестве оптимальной оценки а „, может быть принята оценка максимума послеопытной плотности вероятности. Сформулированные условия можно считать выполненными только в том случае, если сигнал достаточно хорошо выделяется над шумами, а потому влиянием обусловленной ими многопиковости (равно как и несимметрии послеопытного распределения) можно пренебречь. $4.2 181 б) у аа а в) Е/ Рнс.
4.6. Кривые доопытной и послеопытной плот. ностей вероятности: а-для слабой помехи; б — для сильной помехи Рнс. 4.5. Кривые плотностей вероятности: а — доопытной р (а); 6 †измеренно ана чення р (у(п) а функции истинного иначе ния и; в в послеопытной р (п(у) Проиллюстрируем рассмотренную методику отыскания оптимальных оценок на п р о с т е й ш е м и р и м е р е о п т и м и з ац и и и з м е р е н и я. Обратимся к стрелочному прибору (рис. 3.1, $3,2), считая, что его показание у складывается из помехи )г и сигнала х, т.
е. у=л+х. В отличие от рассмотренного в 5 3.2 случая, сигнал обязательно присутствуег, но его значение х не известно и подлежит измерению, т. е. в данном случае х = а является параметром, подлежащим оценке. Условимся, что доопытное распределение р(а) параметра а является равномерным в интервале с(, <- а ~ а, (рис. 4.5, а). Распределение помехи полагаем подчиненным центрированному нормальному закону, так что (у — а)' Соответствующая кривая в функции неизвестного параметра я представлена на рис, 4.5, б.
Она является гауссовой кривой с дисперсией пой и средним значением ц. В рассматриваемом простейшем случае нет необходимости вводить отношение правдоподобия. С точностью до множителя пропорциональности послеопытная плотность вероятности р(б( ~ у) как функция параметра а определяется произведением р(а)р(у1а)„а множитель пропорциональности нор- 182 й 4.2 мирует площадь под кривой (рис. 4.5, в) к единице.
Кривая р(а~у) учитывает, таким образом, как результат измерения у, так идоопытные данные о значениях измеряемой величины к и помехи п. Существенное влияние на послеопытное распределение оказывает уровень помех, что иллюстрируется на рис. 4.6 для двух крайних случаев: 1) помеха слабая: и, ~а, — а, — ход кривой послеопытного распределения определяется результатом измерения у и дисперсией помехи по, 2. 2) помеха сильная: и, «)а, — а, — кривая послеопытного распределения не отличается от кривой доопытного, поскольку результат измерения недостоверен.
В первом случае оптимальная оценка соответствует отсчету а„„„ = у; дисперсия ошибки измерения при этом будет равна и',. Во втором случае оценка определяется центром тяжести доопытного распределения (а, + а,)!2, а дисперсия ошибки не отличается от доопытной (а, — а,)'/12. Таким образом, методика отыскания оптимальных оценок а„„ сводится: 1) к определению функций измеряемого параметра а, пропорциональных его послеопытной плотности вероятности; 2) к определению центра тяжести или абсциссы максимума для кривых этих функций. Соотношение (4), лежащее в основе проведенного рассмотрения, допускает следующую интересную трактовку.
Предварительно заменим послеопытную плотность вероятности р(а~у(1)) через доопытную и отношение правдоподобия, представив это соотношение и виде ~ (а* — а) р(а)11у(1) ~ а) да=О при а = а,„,. (15) Лля случая, когда а — время запаздывания, полученному выражению (15) соответствует схема, представленная на рис. 4.7. В схему входит оптимальный приемник, вырабатывающий, в общем случае, непосредственно отношение правдоподобия 11у(1),'а) = 1„(а) в функции а, Приемник может бьггь построен п о ф и л ь т р о в о й или же многоканальной корреляционн о й с х е м е, выдающей значение отношения правдоподобия для различных значений а по каждой принятой реализации у(г).
Он заканчивается близким к экспоненциально му д е т е к т о р о м, чтобы в общем случае обеспечить выдачу именно отношения правдоподобия 1 (а), а не его монотонной функции, например 1п /„(я). В соответствии с (15) отношение правдоподобия умножается на ограниченный, близкий к пилообразному строб(сс — и') р(а) и интегрируется. Ограничение во времени (и изменение формы) пиэ' 4,2 18З игнал ошаакЮ о~ " ' й;с~апл Рис. 4.7. Измеритель с обратной связью для случая, когда и — время запаздывания лообразногостроба определяется д о о п ы т и о й п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и р(а).
Произведение пилообразного напряжения управляемого генератора на отношенис правдоподобия и и т е г р ир у е т с я. Напряжение с выхода интегратора по цепи о б р а т н о й с в я з и воздействует на схему управляемого генератора пилообразного напряжения. При сильной обратной связи оптимальная оценка определяется положением нулевой точки пилообразного строба.
Если измеряемый параметр будет менять свои значения во времени, измеритель (рис. 4.7) способен следить за изменениями этого параметра, т. е, становится с л е д я щ и м и з м е р и т е л е и. Оптимальность или неоптимальность его в этом случае будет зависеть от того, в какой мере используются д о о и ы т н ы е д а иные о характере изменения параметра и в о в р е м е н и.
Возможность оптимизации измерения при изменяющихся во времени значениях я будет проиллюстрирована в ~4.6 — 4.9. Пока же продолжаем считать параметр а неизменной во времени случайной величиной, характеризуемой доопытной плотностью вероятности р(а). Если кривая р(а) достаточно ползгая, т. е. доопытная информация не уточняет результата измерений, оценка максимума послеопытной плотностивероятности сводится к о ц е н к е н а и б о л ьш е г о п р а в д о п о д о б и я, соответствующей абсциссе максимума одной из монотонно связанных между собой функций: р [д(1) ~ а! = гр(и), или 1(у(1) ,'я) = 1, (а), или )и 1(у(1) ~ сс) = ! и 1„(а)., Последняя из этих функций применительно к рассмотренным ранее случаям сводится к какой-либо более простой функции измеряемого параметра я к корреляционному интегралу, его модульному значению, сумме линейных или нелинейных функций от модульных значений и т.
д.), которая получается на выходе оптимального приемника обнаружения, до подачи на пороговую схему. Этот приемник может уже не содержать экспоненциально- 184 $4.2 г о д е т е к т о р а. Хотя при изменении закона детектирования изменится и вид продетектированной кривой, максимум последней обеспечивается в обоих случаях при одном и том же значении а независимо от закона детектирования, если только кривая детектирования монотонна. В следующем разделе вопрос о переходе от приемника обнаружения к приемнику измерения рассмотрим более подробно применительно к приему когерентного сигнала, когда параметром а является время запаздывания (частота).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
