Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 28
Текст из файла (страница 28)
с полностью известными параметрами При наличии только йомехи каждая из независимых величин г, и га описывается условным распределением вероятностей (1). Поэтому для Л имеет место закон распределения Релея: р„(Л) = —, е Я г'д~2 т'о (4) При воздействии полезного сигнала со случайной начальной фазой р каждая из кривых условных плотностей вероятности величин г, и 22 смещается соответственно на Х (1,~1 Х! 2 (1) д1 = З а простое распределение Релея переходит в обобщенное а+а Е а2 (231 Реп(4= — 2Е ' ~О~ —,~ т'о о (5) (7) т. е. в данном случае величина до= р 21п ! г ф 3.18 Кривые условных плотностей вероятности р„(Е) и реп (2) представлены на рис.
3.54, а. Заштрихованные площади под кривыми правее пороговой абсциссы Ло соответствуют условным вероятностям правильного обнаружения О и ложной тревоги Р, которые получаются путем интегрирования плотностей вероятности в пределах Е от Уо до оо. После замены переменных — = з имеем Уо 00 9~+5 В= ~ з7 (да)е ' дз, (6) еп 00 -ее~2 2 2 Р = ~ ае г(я=е Чп 88 О,б 8 18 Тг 14 18 18 -Ю О Ф б 818 1Г й ТЮ 18 гб гт ггв ~ ~о' Рис. 3.53, кривые обнаружения для сигналов: с полностью известными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир), со случайными амплитудой и начальной фазой (сплошные линии) Кривые обнаружения 0 (д) для сигнала со случайной начальной фазой при различных Р = сопМ представлены на рис. 3.53 пунктиром. Лля флюктуируюи(его по амплитуде сигнала с параметрами В и Р смещение Гауссовых кривых распределения случайных величин г, и зз произойдет на ВЭ с.
р. Проекции релеевского вектора ВЭ з!п з!и (Э вЂ” с р е д н я я энергия) — центрированные гауссовы величины с дисперсией В2Э'созе р = В'Э'3!и' р = — Э'. При сложении 1 2 двух центрированных нормально распределенных величин получается также центрированная нормально распределенная величина с суммарной дисперсией. Поэтому при наличии флюктуирующего по амплитуде сигнала кривые распределения величин г, и 22 остаются центрированными, чему соответствует простой релеевский закон распределения р„,(2) = — е ! Е -а 12т2 7, (8) с дисперсиеи т! =те+ — Э, измененной в результате воздейст- 2 2 1 2 т 1 вия сигнала в — ' =1+ — д' раз.
Кривые рп(2) и реп(2),соответ'о 462 3 3.18 ствующие релеевским распределениям с дисперсиями ~о и ~!, 2 2 представлены на рис. 3.54, б. Заштрихованные площади правее пороговой абсциссы Ло!~!о соответствуют условным вероятностям ложной тревоги и правильного обнаружения 2 ао 2 г2 о зя2 =е (9) о 2 с~2 В=е г ,в' ! Уравнение кривой обнаружения В(!)) флюктуирующего по амплитуде сигнала в соответствии с (9) имеет вид ! ! !+ — а' г В=Е (10) Сами кривые 0(д) для флюктуирующего по амплитуде сигнала при различных Р = сопз1 представлены на рис.
3.53 сплошными линиями. При этом величина д для флюктуирующего сигнала рассчитывается по его средней энергии, а рассматриваемый случай флюктуаций амплитуды относится к классу м едл е н н ы х флюктуаций, не искажающих структуру сигнала. Случай быстрых флюктуаций рассматривается в ~3.21 и 6,18. Итак, на рис.
3.53 нанесены кривые обнаружения для разновидностей когерентных сигналов: с полностью известными параметрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир) и со случайными амплитудой и начальной фазой (сплошные линии). Кривые для сигнала со случайной начальной фазой с д в и г а ю т с я по сравнению с кривы- 04 02 Р гаюа Ф х ю 2/!!и д 1 2а/Ъ4 з в 2/~Ь п) 4 Рис.
3.54, Кривые условных плотностей вероятности прн обнаружении сигналов: со случайной начальной фазой (а), со случайными амплитудой и начальной фазой (б) $3 !8 163 ми с полностью известными параметрами в п р а в о, т. е. в этом случае требуется большая энергия для обеспечения требуемых качественных показателей обнаружения. Кривые для сигнала со с л у ч а й н ы м и а и п л и т у д о й и начальной фазой особенно сильно смещаются вправ о в области б о л ь ш и х значений вероятности правильного обнаружения. Это связано с возможными замираниями при случайной амплитуде сигнала.
Чтобы обеспечить достаточно большие вероятности правильного обнаружения при наличии таких замираний, необходимо значительное увеличение средней энергии когерентного сигнала. Наоборот, при м а л ы х вероятностях правильного обнаружения (Р ( 0,2) флюктуации амплитуды облегчают обнаружение и кривые сдвигаются влево. Пользуясь кривыми обнаружения, можно найти пороговый сигнал. Пороговым называется сигнал, который при заданной вероятности ложной тревоги Р может быть обнаружен с заданной вероятностью правильного обнаружения Р. Пороговый сигнал характеризуют его энергией (или мощностью), которую можно рассчитать, зная значение параметра обнаружения д.
Величина д определяется по кривым обнаружения. Пусть, например, при оптимальном обнаружении прямоугольного радиоимпульса длительностью т„со случайной начальной фазой следует обеспечить вероятность Р = 0,9 при Р = 10 †'. По кривым рис. 3.53 находим д=б,7, что соответствует энергии по- 1 рогового сигнала 3 = — И,д' = 22,4 У, или его уровню в депибелах 10!ц — = 13,5 дб. При этом мощность порогового сигнала 3 Мо ь Р = — = 22,4 —. 3 Уо ти Та Если мощность сигнала или его энергия больше соответствующих пороговых значений, то при установленном значении Р = = 10 — ' условная вероятность правильного обнаружения больше чем 0,9. э / 2,3 Параметр обнаружения д = ~ — когерентного сигнала заданд~о ного вида (с полностью известными параметрами, со случайной начальной фазой, со случайными амплитудой и начальной фазой) зависит от энергии сигнала и спектральной плотности шума.
Поэтому несуи(ественно, какую форму имеет когерентный сигнал — импульсный он или непрерывный, по какомузакону он модулирован — возможность обнаружить его при оптимальном приеме с заданными значениями Р и Р определяется лишь отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума. Последний вывод имеет фундаментальное значение. 164 6 З.16 9 3.19. Качественные показатели обнаружения некогерентных сигналов Напряжение на выходе идеального квадратичного сумматора можно представить в виде Ц (/2+ (/2+ + Ц2 (1) для линейного сумматора (/ = У, + У, + ... + (/м.
(2) Здесь (/„(/,, ..., 1/м — амплитуды первого, второго и М-го импульсов соответственно. При отсутствии сигнала эти амплитуды — независимые случайные величины, подчиняющиеся закону Релея. При наличии сигнала распределение каждой из амплитуд меняется. Зная законы распределения амплитуд, можно найти плотностивероятноспги р„„(У) и р„(г/) суммарной величины У при наличии и отсутствии полезного сигнала. Интегрируя эти плотности вероятности в пределах от порогового значения (/„ до оо, можно перейти к условным вероятностям правильного обнаружения Р и ложной тревоги Е и оценить выигрыш некогерентного суммирования импульсов по сравнению с приемом одного из них.
Пример расчета для квадратичного суммирования приведен в приложении 4. Кривые для оценки выигрыша некогерентного суммирования нефлюктуирующей пачки с прямоугольной огибающей приведены на рис. 3.55, а. Эти кривые построены при фиксированных значениях Р = 0,5 и Е = 10 — '", сплошная — для линейного, пунктирная— для квадратичного суммирования. По оси ординат отложено число суммируемых импульсов М (от 1 до 10'), по оси абсцисс — необходимое превышение энергии одного импульса З„над спектральной плотностью шума на входе оптимального фильтра.
Величина превышения 13,5 дб при М = 1 соответствует точке Р = 10 — ~ ", Р = 0,5 кривой обнаружения одиночного сигнала со случайной начальной фазой (см. рис. 3.53). Небольшое расхождение сплошной и пунктирной кривых на рис. 3.55, а показывает, что при малом уровне ложной тревоги и большой вероятности правильного обнаружения переход от квадратичного суммирования к линейному практически не меняет порогового сигнала. Оба рассмотренных вида неоптимальной обработки хорошо аппроксимируют оптимальную обработку У 1п /„(СУ,) (где С вЂ” постоянная, зависящая от уровня по- 1 мехи), соответствующую линейному суммированию при больших и квадратичному при малых уровнях сигнала (э 3.17). Интегрирование большого числа импульсов понижает пороговый уровень энергии каждого импульса в пачке.
При переходе от одного импульса к 10 пороговый уровень снижается на 8 дб, при переходе к 100— на 15,5 дб, а при переходе к 10 000 импульсам в пачке — на 25,5 дб. $ 3.19 165 (рэ $ (оу ь Д гп -уг-в -~ о ~ в уг ~и стб ~) %~' рис, 3.55. Кривые, связывающие значения пороговой энергии од- ного импульса прямоугольной пачки с числом импульсов М: р-для линейного (сплошная кривая) и квадратичного (пунктир) суммиро. ванна (В=0,6, г"' 10 )0); 6 — для некогерентного (сплошная кривая) и когерентного (пунктир) суммирования (В=0,9; И=(0 т) На рис. 3.55, б нанесены кривые для оценки выигрыша от некогерентного суммирования (сплошная линия) и когерентного (пунктир) для вероятностей Р = 0,9 и г" = 10 — '. Как видно из сопоставления кривых на рис.
3.55, а и б, требования Р = 0,5, Р = 10 — ) 0 и Р = 0,9, Р = 10 — ' при некогерентном суммировании практически эквивалентны, т. е. имеет место почти одинаковый выигрыш в пороговой энергии импульса. Пользуясь одной из них, можно ориентировочно построить аналогичную кривую для произвольных значений Р, Е путем смещения ее вправо или влево относительно точки с абсциссой 13,5 дб и ординатой М = 1. Смещение должно соответствовать изменению пороговой энергии одиночного импульса в децибелах при переходе к новым значениям Р и Р.* Лналогично можно оценить влияние дружных флюктуаций пачки при произвольном М, взяв для заданных Р, Е поправку на эти фуюктуации из кривых рис. 3.53.
Представляет значительный интерес сравнение некогерентного суммирования с когерентным. Легко убедиться, что когерентное ' Более точная методика расчета дана в 11911. (ЕЕ $ 3.19 о 1 Е ФБ 1О 1ОО 1ООО Число инпульсод ю Рис, 3.56, Потери энергии в депибелах при некогерентном интегрировании по сравнению с когерентным («г) = 0,9; Р = 10 ) — 7 суммирование дает больший выигрыш, так как наилучшим образом использует энергию всей пачки. Поэтому, например, при переходе от одного импульса к 10 пороговая энергия каждого импульса уменьшается в! 0 раз, т. е.
на 10 дб (а не на 8 дб, как при некогерентном суммировании), при переходе к 100 импульсам — в 100 раз, т. е. на 20 дб (а не на 15,5) и т. д. На рис. 3.56 построен график потерь в децибелах не«согерентного суммирования (некогерентного интегрирования) по отношению к «согерентному для 0 = 0,9, г" = 10 — '. При небольшом числе импульсов потери сравнительно невелики, но с увеличением числа импульсов в пачке, когда при заданных О, Е и энергии пачки 3 уменьшается энергия каждого импульса, они становятся значительными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
