Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4.5, в) к единице. Кривая р(а~у) учитывает, таким образом, как результат измерения у, так идоопытные данные о значениях измеряемой величины к и помехи п. Существенное влияние на послеопытное распределение оказывает уровень помех, что иллюстрируется на рис. 4.6 для двух крайних случаев: 1) помеха слабая: и, ~а, — а, — ход кривой послеопытного распределения определяется результатом измерения у и дисперсией помехи по, 2. 2) помеха сильная: и, «)а, — а, — кривая послеопытного распределения не отличается от кривой доопытного, поскольку результат измерения недостоверен. В первом случае оптимальная оценка соответствует отсчету а„„„ = у; дисперсия ошибки измерения при этом будет равна и',. Во втором случае оценка определяется центром тяжести доопытного распределения (а, + а,)!2, а дисперсия ошибки не отличается от доопытной (а, — а,)'/12.
Таким образом, методика отыскания оптимальных оценок а„„ сводится: 1) к определению функций измеряемого параметра а, пропорциональных его послеопытной плотности вероятности; 2) к определению центра тяжести или абсциссы максимума для кривых этих функций. Соотношение (4), лежащее в основе проведенного рассмотрения, допускает следующую интересную трактовку. Предварительно заменим послеопытную плотность вероятности р(а~у(1)) через доопытную и отношение правдоподобия, представив это соотношение и виде ~ (а* — а) р(а)11у(1) ~ а) да=О при а = а,„,.
(15) Лля случая, когда а — время запаздывания, полученному выражению (15) соответствует схема, представленная на рис. 4.7. В схему входит оптимальный приемник, вырабатывающий, в общем случае, непосредственно отношение правдоподобия 11у(1),'а) = 1„(а) в функции а, Приемник может бьггь построен п о ф и л ь т р о в о й или же многоканальной корреляционн о й с х е м е, выдающей значение отношения правдоподобия для различных значений а по каждой принятой реализации у(г). Он заканчивается близким к экспоненциально му д е т е к т о р о м, чтобы в общем случае обеспечить выдачу именно отношения правдоподобия 1 (а), а не его монотонной функции, например 1п /„(я).
В соответствии с (15) отношение правдоподобия умножается на ограниченный, близкий к пилообразному строб(сс — и') р(а) и интегрируется. Ограничение во времени (и изменение формы) пиэ' 4,2 18З игнал ошаакЮ о~ " ' й;с~апл Рис. 4.7. Измеритель с обратной связью для случая, когда и — время запаздывания лообразногостроба определяется д о о п ы т и о й п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и р(а). Произведение пилообразного напряжения управляемого генератора на отношенис правдоподобия и и т е г р ир у е т с я. Напряжение с выхода интегратора по цепи о б р а т н о й с в я з и воздействует на схему управляемого генератора пилообразного напряжения. При сильной обратной связи оптимальная оценка определяется положением нулевой точки пилообразного строба. Если измеряемый параметр будет менять свои значения во времени, измеритель (рис.
4.7) способен следить за изменениями этого параметра, т. е, становится с л е д я щ и м и з м е р и т е л е и. Оптимальность или неоптимальность его в этом случае будет зависеть от того, в какой мере используются д о о и ы т н ы е д а иные о характере изменения параметра и в о в р е м е н и. Возможность оптимизации измерения при изменяющихся во времени значениях я будет проиллюстрирована в ~4.6 — 4.9. Пока же продолжаем считать параметр а неизменной во времени случайной величиной, характеризуемой доопытной плотностью вероятности р(а). Если кривая р(а) достаточно ползгая, т.
е. доопытная информация не уточняет результата измерений, оценка максимума послеопытной плотностивероятности сводится к о ц е н к е н а и б о л ьш е г о п р а в д о п о д о б и я, соответствующей абсциссе максимума одной из монотонно связанных между собой функций: р [д(1) ~ а! = гр(и), или 1(у(1) ,'я) = 1, (а), или )и 1(у(1) ~ сс) = ! и 1„(а)., Последняя из этих функций применительно к рассмотренным ранее случаям сводится к какой-либо более простой функции измеряемого параметра я к корреляционному интегралу, его модульному значению, сумме линейных или нелинейных функций от модульных значений и т. д.), которая получается на выходе оптимального приемника обнаружения, до подачи на пороговую схему. Этот приемник может уже не содержать экспоненциально- 184 $4.2 г о д е т е к т о р а. Хотя при изменении закона детектирования изменится и вид продетектированной кривой, максимум последней обеспечивается в обоих случаях при одном и том же значении а независимо от закона детектирования, если только кривая детектирования монотонна.
В следующем разделе вопрос о переходе от приемника обнаружения к приемнику измерения рассмотрим более подробно применительно к приему когерентного сигнала, когда параметром а является время запаздывания (частота). Нас будет интересовать не только определение оптимальнойоценкиа,„„но и дисперсия ошибки оптимального измерения. Б. ОДНОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И ЧАСТОТЫ ф 4.3. Измерение времени запаздывания когерентиого сигнала со случайной начальной фазой На рис. 4.8, а показаны элементы оптимального приемника обнаружения сигнала со случайной начальной фазой, состоящего из оптимального фильтра и линейного детектора.
Такая схема вырабатывает модульные значения корреляционного интеграла в функции измеряемого параметра а: — У(1) 0" (1 — а) Ж 2 .l 2(а) = р (а $ у (~)] = Й, р (а) У (а), 7В зак. ~ ~0о 185 Выходное напряжение представлено на рис. 4.8, б. Решение о наличии цели А,„, = 1 принимается для тех областей а, где превышается порог. Оптимальная оценка наибольшего правдоподобия а„„, соответствует максимуму выходного напряжения. Если имеются доопытные данные о том, что измеряемый параметр равновероятно принимает значения только в интервале от а, до а,, то соответствующая оценка максимума послеопытной плотности вероятности— это оценка положения максимума выходного напряжения, но на стробированном участке временной шкалы.
Такое стробирование, осуществляемое обычно с помощью электронно-ключевой схемы, устраняет возможность оценки по ложному выбросу вне интервала а, < а а,, особенно опасной при невысоком отношении сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра. Оценка ~„, отличается от истинного значения измеряемого параметра. Возможные ошибки определяются послеопытной плотностью вероятности Рис.
4,8. Общие элементы схемы оптимального обнаружителя-измерителя (а) и напряжение на выходе детектора (б); показан порог обнаружения где для сигнала со случайной начальной фазой э (а) ( (а) =е — — (2Е(х) ~ У о ~ о р (а ~ у ®) = И, (и), (2) где а = — Л(а). 2 )уо Соответствующее построение приведено на рис. 4.9.
Здесь нанесена кривая 1о(и), по форме напоминающая быстро нарастающую экспоненту, а для малых значений аргумента и принимающая значения, близкие к единице (в масштабе рисунка это показать не удается). На том же рисунке представлена кривая и(а) = — - Е(сс), 2 'Л~, характеризующая график напряжения на выходе оптимального фильтра после линейного детектора.
Она содержит пик сигнала и боковые выбросы помехи, образующие «шумовую дорожку». Вследствие экспоненциального характера кривой 1в(и) имеет место «отсечка» шумов и пик сигнала резко подчеркивается в кривой после- опытного распределения. По существу, небольшой участок вершины кривой и(а) переходит практически во всю кривую послеопытной плотности вероятности, если можно пренебречь остатком отсекаемой «шумовой дорожки».
186 э 4,3 Поскольку зависимостью энергии сигнала от возможных значений параметра к на ограниченном интервале можно пренебречь, то при р(а) = сопз1 В этой связи проанализируем форму кривой и(а) вблизи максимума, поскольку от нее зависит точность отсчета временного положения. При не очень сильных помехах кривая 2(а), а следователь- 2 но, и и(я) = — Л(сс) определяются, в основном, формой сигнала на й~о выходе оптимального фильтра.
Используя [(26), 5 3.10), можно записать и (а) = — Е (а) =. д' [1 — — П~ (а — а',„,1 ~~, О где величина Оа считается конечной и определяется из [(27) или (28), ~ 3.101. Разность временных отсчетов в формуле [(26), 5 3.10[ заменена разностью возможного значения параметра а и принимаемого в качестве оценки значения а,",„,. Приближенное равенстго (4) справедливо, когда сигнал достаточно сильный и после фильтрации хорошо выделяется над уровнем шумов. Это значит, что средний уровень шумов вне пика сигнала не сказывается на положении центра тяжести кривой послеопытной плотности вероятности, так что может быть использована оценка максимального правдоподобия, представляющая собой абсциссу сигнального пика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
