Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Случайные флюктуации, нарушая оптимальность обработки принимаемых колебаний в одиночном корреляторе (при фиксированной их средней мощности), приведут к уменьшению величины 2. Последнее равносильно приему сигнала с неискаженной структурой, ноуменьшенной энергией ~)Э. Здесь ц — к о э ф ф и и и е и т и с п о л ь з о в а н и я э н е рг и и при флюктуационных искажениях. Для определения т1 вычислим величину Р = Я~Г, используя соотношение (1). Заменяя произведение интегралов двойным интегралом и относя знак усреднения к произведению В(~) В*(з) = =Я(1 — з), получим 2' = — 1 сУ 1 Я (1 — з) И (1) (/' (з) сй 4 (2) 171 где У= ~17~.
Введем спектральные плотности: а) мощности 5ф — для стационарного случайного процесса Р(~) и б) напряжения Н(7)— для квадрата модуля огибающей неслучайной модуляции, т. е. положим Интеграл свертки (2) можно тогда привести к виду При отсутствии флюктуационных искажений 5 (~) = 5 6 ()), где о Д) — дельта-функция, а Е = 3 = — 5 ~ Н(0) ~~= — 5 Ноо (4) Для величины т) =Л~/Ло из (3) и (4) получим Ч = (1+ (т./т.)Ч вЂ” "'. (6) Из выражения (6) следует, что при т„= т, одиночный коррелятор использует в среднем 70'4~ от энергии сигнала, которую он использовал бы в случае значительно более медленных флюктуаций.
Качество обнаружения несколько повышается, если синтез оптимальной обработки производится с учетом модулирующих помех (см. ~ 6.18), т. е. если время когерентного накопления сокращается, а когерентное накопление дополняется некогерентным. Результат (6) также может быть частично улучшен, когда вместо одиночного коррелятора используется набор корреляторов (или оптимальный фильтр). В силу случайного характера флюктуаций, в корреляторе, частично рассогласованном по дальности, может наблюдаться больший пик сигнала, чем в корреляторе, согласованном полностью, но применительно к случьчо отсутствия флюктуаций. Пусть, например, ожидаемым сигналом является когерентный колокольный радиоимпульс длительностью т, на уровне 0,46 с огибающей е "('~'с) и ее квадратом е ('~'с) . Пусть далее автокорреляционная функция флюктуаций имеет колокольную огибающую е ~'~ ' с шириной пика корреляции т, на том же 2 2 2 2 уровне.
Тогда 5(~) =5,е ""'о ~, ~Н()))=Н,е "" ~, а ГЛАВА ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОГО ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ А. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ. ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ ф 4.1. Качественные показатели и критерии оптимальности измерения параметров радиолокационных сигналов Практически обнаружение и измерение часто сливаются в е д ин ы й п р о ц е с с.
Однако в ходе первоначального теоретического анализа удобно рассматривать их раздельно. При этом имеется в виду, что в результате обнаружения устанавливаются факты наличия или отсутствия цели в определенных областях пространства, грубо заданных значениями параметров а, при которых решение А* (у (1) ~ а) = 1. В результате измерения должны выдаваться возможно более точные оценки дальности, радиальной скорости, угловой координаты в предположении, что наличие цели достоверно. В зависимости от условий локации измеряемый параметр считают случайной величиной, неизменной в течение времени приема отраженного сигнала, либо случайной величиной, изменяющейся в течение этого времени (скачкообразно или непрерывно) в соответствии с заданной статистикой движения цели. Вначале рассмотрим лишь первый случай, считая параметр неизменной во время измерения случайной величиной (например, временем запаздывания сигнала, отраженного от неподвижной случайно расположенной цели).
Затем будут рассмотрены некоторые более сложные случаи. Итак, в результате проведенного измерения должна быть дана оценка и* каждого измеряемого параметра а. Показателем качества измерения является статистически усредненная величина ошибки е = а* — я измерения параметра. Чем меньше величина ошибки, тем выше качество измерения. Ошибки измерений делятся на грубые промахи, систематические и случайные ошибки. Если приняты меры для исключения систематических ошибок и грубых промахов, ошибки измерений сводятся $ 4л 17З 4'гг и еа ~илие со Рис.
4.1. К расчету вероятности Р(!8):- ео) Рис. 4.2. Кривая вероятности Р ( ~ е ! = в) = Ч'(вв) ескв = ~ и р(е)сге=ев, В случае наиболее распространенного центрированного нормального закона распределения случайных ошибок (рис. 4.1) среднеквадратичная ошибка полностью характеризует другие виды ошибок — вероятную и максимальную. В этом случае вероятность выполнения условия 1 е ) е ' ев, где е„— некоторое произвольно выбранное значение е, будет ев~есвв Р((е~ (ев)= е с1х= — Ф~ е" 1'2п о ~ есвв Вероятная (срединная) ошибка еве соответствует такому значению е, =е„,р, при котором заштрихованная площадь на рис. 4.1 составляет половину всей площади под кривой р(е): Р((е! ев,р) =--Р(~е! .- и,„„):--0,5, э 4.1 174 к слг)чайным.
Случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флюктуациями сигнала, а иногда случайным поведением самой системы измерений. Качественными показателями измерения одномерной случайной величины являются: среднеквадратичная ошибка, верояпгная (срединная) ошибка, максимальная ошибка, математическое ожидание, дисперсия, средний риск ошибки и т.
д. При измерении многомерных величин вводятся корреляционные моменты ошибок, учитывающие взаимосвязь ошибок измерения отдельных случайных величин, о чем речь будет идти ниже Я4.?, 4.9, 6.4, 6.1?). Здесь остановимся несколько подробнее на качественных показателях измерения одномерных величин. Для произвольного закона распределения случайных ошибок р(е) среднеквадратичная ошибка измерения определяется из соот- ношения т, е.
Ф( — ' =05 ~ вскв при вс в«р. во '2 Тогда — ' = —, так что вероятная ошибка (рис. 4,2) вскв 2 вср 'с кв 3' 0 (е( = М ((е — М (е((в( = М (ев( — М' (е( которое легко получить, раскрывая квадрат разности. В случае несмещенной оценки 0 (е) совпадает со средним квадратом ошибки О (е( — М (е ( — в = вскв. В качестве обобщенного критерия качества измерения можно ввести средний риск ошибки измерения. Для этого рассмотрим совокупность с и т у а ц и й с о в м е щ е н и я с л у ч а й н о г о значения параметра а и случайной оценки а*.
Для каждой из ситуаций введем совместную плотность вероятности р(а*, а) и дифференциальную вероятность совмешения с(Р(а*, а) = р(а*, а) с(а* с(а, причем ~ р(а*, а) с(а*да= ~ с(Р(а*, а) =1. — СΠ— СЮ (ав. а1 Каждой ситуации совмещения поставим в соответствие некотоРую стоимость ошибки г(а", а) в зависимости от ее важности, Тог- $4.! 175 В качестве максимальной ошибки е„„„обычно принимают ошибку„вероятность превышения которой по модулю составляет 0,8'Ъ, Для нормально го закона Ф ( ' — """ — '~ = 1 — 0,008, откуда вскв 8 16 — 4е 1 оворят что инт вокруг оценки является доверительным, причем вероятность выхода истинного значения величины за пределы доверительного интервала составляет в данном случае 0,8сс.
Математическое ожидание ошибки М(е) отлично от нуля, когда действует источник систематической ошибки (наряду с источниками случайных). Оценку а* в этом случае называют с м е щ е и н о й. Наоборот, в довольно часто встречающемся случае ц е н т р и р он а н н о го распределения ошибок, когда М(е) = 0 (т. е. систематическая ошибка ие сказывается), опенку называют н е с м е щ е ни о й. Дисперсия ошибки определяется выражением да критерием качества оценк и а* я в л я е т с я средняя стоимость (с р е д н и й р и с к) о)иибки измерений г(а', а) = ~ г(а*, а) р(а*, а) с(а*с1а. (а*, а) 0 Оптимизация оценки сводится при этом к г)~):/~/ а) обеспечению минимума среднего риска. Оценивая степень ошибки по величине разности а* — а =е, в качестве функции стоимости г(а*, а) достаточно задать функцию г(е) одной переменной.
На о с рис. 4.3 показаны возможные графики стои- ф~ мости г(е) в функции величины ошибки е. гф Так, основная кривая г(е) = е' (рис. 4.3, а) соответствует случаю, когда стоимость равняется квадрату ошибки. При этом средний риск соответствует среднему квадрату ошибки, а оптимизация измересп ния сводится к достижению м и н иф мума среднеквадратичнои Рис. 4Л.
Возможные о ш и б к и. В случае выбора функции стоифункиии стоимости мости г(е) = ~ е ~ (рис. 4.3, б) оптимизация ошябкя измерения сведется к обеспечению м и- н имума среднего модуля о ш и б к и. Если же выбирается ступенчатая функция стоимости: «(е) = О при ! е ! < е, и г(е) = сопз1 при ! е ) ) е, (рис. 4.3, в), то обеспечивается условие минимума вероятности превышения модулем ошибки некоторой установленной величины е,.Таким образом, взависимости от выбора разновидности функции стоимости ошибки устанавливаются различные критерии оптимизации измерения.
Наиболее употребительным является использование к в а д р атичной стоимости ошибки (рис. 43,а) г(а*, а) =(а* — а)', тогда оптимизация сводится к обеспечению минимума среднего квадрата ои)ибки г(а*, а) = (а* — а)' = ~ (а* — а)~ р(а*, а) йа' с(а. (2) )а~, а) $4.2. Постановка и методика решения задачи оптимального измерения параметра, Простейший оптимальный измеритель Полагаем, что на вход измерителя поступают колебания уф в виде наложения флюктуационной помехи и сигнала у (1) = и (1) + х,1, а, р), Ф где х(1, а, р) — известная функция времени, случайного измеряемого параметра а и случайных неизмеряемых параметров р,имеющих заданную плотность вероятности р(р). Требуется установить правило отыскания оценки и,„„, оптимальной с точки зрения квадратичного критерия, построить схемы оптимальной обработки при измерении, определить среднеквадратичную ошибку и другие необходимые характеристики оптимального измерения.
Как и в5 3.4, при решении задачи измерения наряду с непрерывными реализациями входных колебаний у(1) введем соответствующие дискретные многомерные реализации У (выборки по теореме Котельникова) с целью более удобного использования соотношений теории вероятностей. Полагаем, что оценка и* = я*(У) закономерно устанавливается в зависимости от принятой реализации У. При этом стоимость, а именно средний квадрат ошибки измерения 1(2), ч 4.11, будет зависеть от выбора решающей функции а* = а*(У): «(а*, а) = «1а*(У)1. Заменим в 1(2), ~ 4.11 дифференциальную вероятность совмеще ния оценки и параметра дифференциальной вероятностью совмещения реализации и параметра р (а*, а) йа* йа =- р (У, а) йУ да, где по теореме умножения р(У, а) = р(У) р(а ~ У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
