Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Здесь р1У) — плотность .вероятности реализации У, р(а ~ У)— послеопытная плотность вероятности параметра а (при условии приема реализации У). При наличии случайных неизмеряемых параметров ~ все перечисленные вероятности берутся с учетом случайного распределения р.
Выражение для среднего риска можно тогда представить в вида «(а*(У)) = ~ (а*(У) — а)'р(У) р(а ~ У) иа дУ, или иначе «(а*(У)) = ~ р(У)«[а*(У)~У)й~ 177 7 зэк. 1200 Рнс. 4.4. Кривые послеопытной плотности вероятности р(а ~ У) и стоимости ошибки г(а*, а). Их взаимное расположение соответствует выбранной оценке а* Здесь г [а*(У)~У) — условный средний риск ошибки измерений, а именно средний риск, соответствующий условию приема реали- зации У, г [а*(У) ~ У1 = ~ (а* (У) — а|а р (а ~ У) да. (2) — (а* — а)'р(а~У)с(а=О при а = а,„,(У), (3) Иа* откуда ~ (а* — а) р(а~У) да=О при а = а,„,(У), (4) Поскольку площадь под кривой послеопытной плотности вероятности р;а~У) при любом условии У равна единице 178 ф 4.2 Минимум (1) достигается тогда и только тогда, когда для каждой принятой реализации имеет место минимум условного среднего риска (2), На рис.
4.4 показана кривая послеопытной плотности вероятности р(а*~ У) и кривая стоимости ошибки г(а*, а) = (а* — а)а для произвольно установленной оценки. Рисунок иллюстрирует, что для неудачно выбранной оценки а* минимум г(а*(У) ~ У) не достигается, Оценка значительно отличается от оптимальной, поскольку наиболее вероятным значениям а соответствует большая стоимость ошибки. Чтобы найти оптимальную оценку, приравняем нулю производную условного среднего риска по оценке а', т.
е. положим имеем а „, (У) = ~ ар (а ) У) йа = М (а ) У), (5) (а — а,„,) = )а — М (а) у))в = 0)а)у). (6) Для определения оптимальной оценки и,„,(У) и минимального среднего квадрата ошибки 0(а) У) в соответствии с (5) и (6) требуется найти явное выражение п о с л е о п ы т н о й п л о т н ости вероятности параметра р(а)У). Эту плотность вероятности называют также у с л о в н о й, так как она определяется при условии конкретной реализации У принимаемых колебаний. Возьмем две эквивалентные формы записи теоремы умножения, определяющей плотность вероятности р(У, а) совмещения слу.
чайных событий, а именно р (У, а) = р (У) р (а ) У) = р (а) р (У ) и), Пользуясь приведенным равенством, послеопытную плотность вероятности параметра р(а) У) свяжем с д о о п ы т н о й ( б е зусловной) плотностью вероятности р(и), а также с условной плотностью вероятности п р и н и м а е м о й р е а л из а ц и и р(У)а) при рассматриваемом значении параметра, т. е. * Операция (5) определения оптимальной оденки аналогична операци! ! 1 ям вычисления абсциссы центра тяжести х'= — ~ х; т, или х*= — ) хх ин ~ т~ ) К п1 (х) г!х для дискретного или непрерывного распределения массы пг.= !' вдоль оси х, 7* !?У где М(а) У) — математическое ожидание а при условии Таким образом, оптимальная по минимуму среднеквадратичной ошибки оценка а,„, представляет собой математическое ожидание измеряемого параметра, соответствующее кривой послеопытной плотности вероятности р(а) У) (ее «центру тяжести»*) для принятой реализации У.
В силу (4) такая оценка является несмещенной, т. е. М(а„ч, — а) = О. Поэтому минимальный средний квадрат возможной ошибки (а„„вЂ” а)' = (а — и„„)' определяется дисперсией распределения послеопытной плотности вероятности для принятой реализации У, т. е. р(а~У) = р.'а) р(У1а). РЮ (7) р(У) = ~ р(а) р(У~а) да, р (а ! У) = р (а) р (У ~ а). р(а) р(У!а)с)а (8) (9) Формула (8) является аналогом фо р м у л ы п о л н о й в ер о я т н о с т и, в котором вероятности заменены плотностями вероятностей, а суммирование интегрированием.
Формула (9) является подобным же аналогом ф о р м у л ы Б е й е с а. Заметим, что не зависящая от а дрооь с определенным интегралом в знаменателе (9) играет роль нормирующего коэффициента. Чтобы облегчить проведение аналогии между обнаружением и измерением, а также иметь возможность использовать готовые результаты предыдущей гл. 3, можно искусственно ввести еще одну условную плотность вероятности принимаемой реализации У, а именно плотность вероятности этой реализации р,(У) применительно к условию отсутствия сигнала (т, е. условию наличия одной помехи). Отношение условной плотности вероятности реализации р(У',,а) при наличии сигнала с параметром а к плотности вероятности р„(У) представляет в соответствии с 5 3.4 условное отношение правдоподобия )1У ~и) = 1(а), характеризующее справедливость гипотезы о наличии в составе реализации У сигнала с параметром а. Тогда р (У ~ а) = ) (У ~ а) р„(У), р (а ~ У) = р (а) ) (У ~ а).
~ р(а))(У~а)с)а Окончательно приходим к соотношениям: — для послеопытной плотности вероятности р (а ~ У) = А, р (а) р (У) / а) = Уг, р (а,) ( (У ~ а), (10) э 4,2 Наряду с функциями а в правую часть (7) входит б е з у с л о вная вданномслучае плотность вероятности реа л и з а ц и и У, определяемая применительно к наличию сигнала для всей совокупности возможных значений а. Последнюю плотность вероятности определим, интегрируя (7) по а от — со до со и замечая, что интеграл ст р(а~У) равен единице.
Тогда — для оптимальной оценки параметра М [а~У) =а,„,=н, ~ ар(а) р(У[а) йа= =А, ~ ар(а)1(У[а)да„ (11) — для минимальной дисперсии ошибки измерений .0(а ~У) =/г, ~ [а — а„,) р(а) р(У~а) с(а= =lг, ~ [а — а,„,) р(а)1()'[а)йа, (12) где ~ р (а) р (У ~ а) с[а р~а)!Д ~и)Ша~ (13) (14) — множители, нормируюи(ие площадь под кривой послеопытной плотности вероятности к единице, При использовании теоремы Котельникова в предельном случае интервала дискретизации Л~ -э О отношение правдоподобия 1(У~а) ди с к р ет но й выборки У переходит,как и в ~ 3.4, в отношение правдоподобия 1[у(1) ~а]=1„(а) н е п р е р ы в н о й реализации у(1), которое определяет оценку а,„, = а,„, [у (1)).
Итак, оптимальная оценкаа„„, соответствует «центру тяжести» распределения послеопытной плотности вероятности р[а; 'У[ или р[а~у(~)[ для произвольной принятой реализации: дискретной У или непрерывной у(1). Если послеопытное распределение с и м и е т р и ч н о или близко к симметричному и на оси симметрии имеет единственное максимальное значение, то его «центр тяжести» совпадает с этим значением. Таким сбразом, в качестве оптимальной оценки а „, может быть принята оценка максимума послеопытной плотности вероятности.
Сформулированные условия можно считать выполненными только в том случае, если сигнал достаточно хорошо выделяется над шумами, а потому влиянием обусловленной ими многопиковости (равно как и несимметрии послеопытного распределения) можно пренебречь. $4.2 181 б) у аа а в) Е/ Рнс. 4.6. Кривые доопытной и послеопытной плот. ностей вероятности: а-для слабой помехи; б — для сильной помехи Рнс. 4.5. Кривые плотностей вероятности: а — доопытной р (а); 6 †измеренно ана чення р (у(п) а функции истинного иначе ния и; в в послеопытной р (п(у) Проиллюстрируем рассмотренную методику отыскания оптимальных оценок на п р о с т е й ш е м и р и м е р е о п т и м и з ац и и и з м е р е н и я. Обратимся к стрелочному прибору (рис.
3.1, $3,2), считая, что его показание у складывается из помехи )г и сигнала х, т. е. у=л+х. В отличие от рассмотренного в 5 3.2 случая, сигнал обязательно присутствуег, но его значение х не известно и подлежит измерению, т. е. в данном случае х = а является параметром, подлежащим оценке. Условимся, что доопытное распределение р(а) параметра а является равномерным в интервале с(, <- а ~ а, (рис. 4.5, а).
Распределение помехи полагаем подчиненным центрированному нормальному закону, так что (у — а)' Соответствующая кривая в функции неизвестного параметра я представлена на рис, 4.5, б. Она является гауссовой кривой с дисперсией пой и средним значением ц. В рассматриваемом простейшем случае нет необходимости вводить отношение правдоподобия. С точностью до множителя пропорциональности послеопытная плотность вероятности р(б( ~ у) как функция параметра а определяется произведением р(а)р(у1а)„а множитель пропорциональности нор- 182 й 4.2 мирует площадь под кривой (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
