Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Известным недостатком модели рис. 4.16 является то, что она не учитывает ограничения максимальной скорости движения, характерного для реальных целей. Рассмотренные процессы с независимыми приращениями (рис. 4.15, 4.16) являются частными случаями известных из теории вероятностей Чепей Маркова: 1) простых, когда вероятность реализацииа„зависит только от предшествующего значения а„, ~ и не зависит от предыдущих более ранних значений; 2) сложных, когда вероятность реализациия„, зависит от некоторого числа ~ (~ 1) таких значений, а именно: от я„, ~, а„, ~, ..., а,; вторая из рассмотренных выше моделей движения (рис. 4.16) соответствовала ~ = 2. Возможны и другие варианты цепей Маркова, пригодные для аппроксимации движения маневрирующей цели.
Примером может быть сравнительно простая цепь вида в 4.6 а = ра ~+т~ (ц(1), (3) 199 ф 4.7. Оптимальная последовательная обработка результатов наблюдения для движения с независимыми стационарными первыми приращениями Пусть доопытные данные об измеряемой величине сс отсутствуют и первый ее отсчета~ „„„получен сдисперсией Р, „„.„. Полагая, что ошибки вызваны только наличием шумов и что энергия сигнала заметно превышает пороговую (см.
14.3), закон распределения ошибок считаем нормальным, а систематическую ошибку — равной нулю. Закон послеопытного распределения вероятностей измеренного параметра а, тогда будет (о' "1 отсч) Р1 (ц1) = Р(а1~а1отсч) = )' 2В (1) ~ ~т~~ отсч Здесь индекс «1» при букве р означает, что плотность вероятности р,(а,) условная; условием является наличие одного и только одного первого отсчета;а~ „„ †оптимальн оценка; Р ~ „,„ †дисперс.
Пользуясь соотношением ца = ~х1+бт (2) можно прогнозировать значение а, по первому отсчету. Полагая закон распределения б„как и я,, нормальным, заключаем, что я, является нормально распределенной случайной величиной, характеризуемой математическим ожиданием а.„ор и дисперсией Рсо . Математическое ожидание величины а, складывается из математйческих ожиданий М(а,) = а1отс„и М(6Д = О, т. е. ца ор = цт отсч = а! (3) $ 4.7 200 где т~,„(т = О, 1, 2, ...) — взаимно независимые случайные величины с одинаковой дисперсией Р,. При увеличении и в этом последнем случае дисперсия случайной величины а, характеризующая неопределенность положения цели при известном значении а„, нарастает для т-ч-со в отличие от случая (рис.
4.15) только до определенного предела Р„(1+ р'+ р4+ ...) = Р„/(1 — р'). Рассмотренные модели движения можно характеризовать интервалами Л1 = 1 — 1о, ~ между дискретными моментами времени, которым соответствуют отсчеты. Устремляя эти интервалы к нулю, от дискретного описания можно перейти к непрерывному, на чем подробно не останавливаемся. При обработке результатов наблюдений за неманеврирующими целями (например, неманеврирующими баллистическими объектами) для повышения точности многократных измерений в качестве моделей движения используют известные уравнения их траекторий, в которых неизвестны лишь отдельные параметры. По теореме о дисперсии суммы независимых величин имеем 0гпр = 0е + 0бг (4): где 0бг = 0(ог) определяется законом движения цели. Прогнозированное по результатам первого отсчета распределение величины аг удовлетворяет соотношению ( ' епр) р (а)= Е гпр (5) У2пР,пр где по аналогии с (1) агпр является прогно:ированной оценкой, а 0гп — дисперсией.
Распределение (5) является дооаытным для последующего отсчета аг. Пусть далее поступает второй отсчет а„„„. Вводя плотность вероятности аг при условии двух отсчетов Рг (аг) Р1 (ае ~ аг отсч) имеем Р1 (ае ( аг отсч) = Й>01 (аг) Р (аг отсч ( иг), откуда, используя выражение для нормальных законов и логарцфмируя, находим ~~г г г (с~г аг) (аг с~е пр) (ае ото ае) + + сопз1. 21 ~г 2Ргпр 2Ре отсч г Приравнивая козффициенты при аг, а затем при а, в левой и правой части равенства !7) соответственно получаем ! 1 1 + 1.)г Репр Рг отсч (9) е пр г отсч (8) аг=а~+ ' (а„„,— а,"), (10) г отсч Рг г + бг Рг отсч + (11) Аналогично можно найти выражения для оптимальной оценки и дисперсии после третьего и вообще т-го отсчета: а =а ~+ (а „,„— а,„1), (12) Рт отеч 1 1 1 Р,„т- ! + бт Рог отсч Р ! Р + 20ь $4.7 Используя (3) и (4) и определяя 1!0епр из (8), находим окончательные выражения для оптимальной оценки и дисперсии после второго отсчета А 2'-.2п2 от сч (14) Поскольку отсчеты вводятся п о с л е до в а т ел ь н о, к моменту получения т-й оценки нет необходимости сохранять в памяти вычислительного устройства результаты предыдущих отсчетов, достаточно сохранить предыдущую оптимальную оценку сс,„ и ее дисперсию 0 Описанная последовательная обработка не является единственно возможной.
Сохранив в памяти вычислительного устройства т отсчетов, можно, например, получить сразу т оценок: а~, и~, ...,сс, в том числе оценки параметроВ от и, до а 1, более точные, чем полученные по меньшей совокупности отсчетов. Однако оценкаа окажется такой же, как и при последовательной обработке. Поскольку уточнение предыдущих оценок чаще всего не представляет самостоятельного интереса, целесообразно использовать последо. вательную обработку.
Более подробный анализ последовательной обработки начнем с простейшего случая, когда параметр а не изменяется за время наблюдения, т, е. не только М(о ) = О, но и 0(б ) = Оь = О. Соотношения (12), (13) приводятся при этом к виду 1) — + (15) ~-~П2 — ~ ПП2 Отсч (16) ~П2 ~П2 1 ОП! ОТСЧ Здесь соотношение (16) получено из (12) с использованием (15). Заа" меняя ~ в (15) и '" — ' в (16) по видоизмененным формулам (15) Л! — ! и! и (16) (замена т на т — 1), повторим аналогичную процедуру многократно, полагая в силу отсутствия доопытных данных об измеряемой величине Оо = оо . Тогда придем к соотношениям, аналогичным 1(6) и (?), ~4.51, 2П П2 2~! отсч ,аюе2 П, — 2 ОТСЧ (18) ! ~2П 202 Пользуясь этими выражениями и вводя результаты отсчетов, можно последовательно определять соответствующие оптимальные оценки и дисперсии. Каждая последующая оценка (12) складывается из прогнозированной по предыдущим отсчетам оценки а пр —— = а 1 и сигнала ошибки (а „,„— а,), умноженного на весовой множитель Ротсч 7 13 Ротсч О 54 Ротсч 55 133 Ротсч О141 Ротсч Ротсч О~37 Ротсч~ 1251 4030 11505 — 0„„= 0,35 Р„,ч, Из приведенного расчета видно, что происходит цспшновление дисперсии ошибки.
Уравнение для установившегося значения дисперсии ошибки Р = Р 1 — — 0 следует из (13) 1 1, 1 +— (19) ~1+ 116 11отсч или Р + 06 Р 016 01отсч Положительное решение этого уравнения имеет вид 0 ( 06+1, 062+ 4060 ) (20) и, в частности, для рассмотренного выше примера приводит к установившемуся значению 0„„ равному 3 203 Согласно этим соотношениям оценка а„, определяется как средневзвешенная из результатов отсчетов с весами, обратными дисперсиям последних, а при одинаковых дисперсиях — как среднее арифметическое результатов отсчетов.
Дисперсия 0 последовательно уменьшается с увеличением числа отсчетов, в частности, при одинаковых дисперсиях отсчетов — обратно пропорционально числу их т. Естественно ожидать, что при достаточно большом числе отсчетов можно прийти к сколь угодно малым ошибкам. Это действительно справедливо для неманеврирующих стабильно движущихся целей. Однако имеющие обычно место нестабильности движения и элементы маневра, выражающиеся в том, что 06 =АДЬО, ограничивают процесс уменьшения ошибок.
Пусть, например, дисперсии всех отсчетов одинаковы и равны 1 Р„,ч, значение Р, = оо, а величина 06' составляет — 0,„„(независиме от и). Тогда, последовательно пользуясь формулой (13), получаем: Одновременно с 0 устанав1ивается коэффициент В /О = А в алгоритме (12) последовательного получения оценок; его установившееся значение с'В А= =<р( ~-~отеч ~ ~1отсч 121) определяется из (20). Это значит, что в установившемся режиме последовательной обработки любая последующая оценка а получается из предыдущей а ~ и текущего отсчета а „,„по одному и тому же оптимальному правилу, независимо от номера наблюдения ит — ач — 1+ А (а „,„— а* ~). (22) очи от 1со,,т 1 Р ис. 4.17.
Схема последовательного получения оптимальных оценок для установившегося режима движения со стационарными первыми приращениями 204 $ 4.7 Оптимальному правилу обработки (22) соответствует схема вычислительного устройства, представленная на рис. 4.17. Операции алгебраического суммирования выполняются сумматорами 1 и 2. Первый сумматор вычисляет сигнал ошибки по результату последнего отсчета а „,„и предыдущей оценке аьч 1. Умножение на коэффициент А может быть осуществлено в схеме потенциометра, усилителя и т.
п. Оценку а выдает второй сумматор, на вход которого подается предыдущая оценка а„, ~ и сигнал ошибки, умноженный на постоянный весовой коэффициент А. Предыдущая оценка снимается с подключенной ко входу второго сумматора линии задержки, время задержки в которой равно периоду повторе' ния отсчетов.
Устройство (рис. 4.17) содержит два замкнутых контура, охваченных обратной связью. Один из них обведен пунктиром и представляет собой рециркулятор с передаточной характеристикой от входа к выходу сумматора К(р) = 1/(1 — е — Рг). Частотная характеристика рециркулятора К(го) в области низких частот (аТ (~ 1, е — 7"г = 1 — /'гяТ) обращается в 1//'вТ, что соответствует интегратору с передаточной характеристикой 1/рТ. Поэтому по своему воздействию на медленно меняющуюся часть функции а(/) — огибающую последовательности а, где т = 1, 2, ..., рециркулятор Я,а) =2 (а 1)+2'(а ~) (а — а 1)+ + — 2" (и,п 1) (а — а,п ~) 2 (23) Максимум выражения (23) достигается в точке а =а для которой Л'(а „,„) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
