Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Решение уравнения (144) (4.144) г Ь. =Ь вЂ” — ) уса".(С вЂ” тс)с(С, Ь/о о где Ьо=1/ои — начальное условие (ос — априорная дисперсия случайной величины т). Конкретизируя в этом решении наблюдаемый процесс ус, можно убедиться, что функция Ьс с ростом времени С неограниченно возрастает. Поэтому коэффициент усиления сс-оО и, следовательно, в пределе (при С-ооо) обратная свизь в следящем измерителе разрывается. Это будет соответствовать точному измерению параметра, ногда апостериорная дисперсия К = !/Ь =О.
Отметим, что при более сложной постановке задачи, ногда задержка меняется со временем, являясь некоторым случайным процессом тс, определяемым, например, уравнением типа (122), коэффициент с, не стремится к 0 при С-ооо, при этом рассматриваемый измеритель (рнс.
4.16) следит за изменением задержки сит. кала. Обработку сигнала, связанную с вычислением производной з'(1 и~) в схеме на рис. 4.16, можно упростить, если зту производную заменить конечной разностью ( ~Ф) яз (з( тс + Л т/2) — 3(/ — тс — Дт/2В/дт Если, кроме того, переменный случайный козффициент усиления с, заменить постоянным (подобно предыдущему примеру), то рассматриваемый измеритель (рис. 4.16) будет по существу аналогичен следящему язмерителю на рнс. 4.7, полученному методом разделения обработки на операции дискриминирования и сглаживания. В заключение отметим, что рассмотренные уравнения оптимальной фильтрации допускают непосредственное обобщение на задачи, когда полезный сигнал зависит от многих параметров Г!4, 86, 48, 53), Гл а в а 5.
СОВМЕСТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ 5.1. ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Задачи оптимального обнаружения радиосигналов и оценивания их параметров рассматривались раздельно в гл. 2 и 4. Такое расчленение задач широко используется в теории радиолокации, так как при этом оптимизация упрощается. Однако радиолокационное наблюдение представляет собой единый процесс цриема сигналов, при этом оптимизация многофункциональной РЛС должна включать в себя, в частности, оптимизацию системы обнаружения и оценивания сигналов как единого целого. Поэтому синтез и анализ эффективности оптимальной системы совместного обнаружения и оценивания сигналов актуальны. Представляет также интерес исследование возможных вариантов совмещения оптимального обнаружителя и оптимального измерителя в единую систему, хотя и не являющуюся оптимальной в смысле выполнения совместной операции обнаружения и оценивания.
Для практики особую ценность имеют различного рода квазиоптимальные системы, решающие задачи совместного обнаружения и оценивания и обладающие простотой технической реализации. В главе изучаются основные подходы к обсуждаемой проб- 191 леме, при этом рассматриваются различные типы систем совместного обнаружения и оценивання радиосигналов 1191. Вначале остановимся на методике, позволяющей синтезировать сравнительно простые системы совместного обнаружения и оценивания. Предположим, что в течение заданного отрезка времени наблюдается реализация у некоторого случайного процесса, являющегося шумом (снтуация 9=0) либо смесью сигнала и шума (ситуация 6=1). Полагаем, что полезный сигнал зависит от информативного Ое=й и неинформативного ренМ параметров; плотность распределения вероятностей смеси сигнала и шума в(у)9, )г, 6=1) будет также зависеть от этих параметров.
Считаем, что плотность распределения вероятностей одного шума в(у~О=О) неизвестных параметров не содержит. По результатам наблюденйя у требуется выяснить, какая ситуация имеет место: О=О илн 6= 1. т. е. необходимо решить задачу обнаружения, и, кроме того, требуется оценить информативный параметр сигнала 9. Относительно этого параметра возможны две постановки задачи: байесовская и небайесовская. Байесовская задача.
Рассматривая байесовскую постановку задачи, предполагаем, что параметры 0 и )з — случайные величины, априорные плотности вероятностей которых в9(9) и ш9(р) известны. Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия Л=в(у(0=1)/ш(у(6=0), которое в данной задаче имеет вид )" )" в(у(0, в,0=1)в,(0)в,(в)квд0 Л вм (5.1) в (у!0 = О) Конкретизируя входящие в эту формулу плотности вероятностей (с помощью распределений шума н параметров сигнала) и вычисляя двойной интеграл, получаем отношение правдоподобия, определяющее структуру оптимального обнаружителя.
Однако, принимая во внимание, что информативный параметр Оен6 подлежит оцениванию, обработку реализации у целесообразно представить по-другому, вычислив интеграл в формуле (1) только по области М. При этом (1) перепишем в виде Л= У Л(у(9),(9) (9, (5.2) е где ,) в(у)0 и 0= В .(и)лв Л(у(0) = м в(д(0, 0 = 1) в(у!О = О) в(у(0 = 0) — условное отношение правдоподобия. 192 (5.3) где е+, Ру= )' и!а (0) НО=Р(0 ~ ЛОу), 1 1,..., пт, '1 — априорная вероятность того, что параметр 8 принадлежит отрезку ЛОь Обработку наблюдаемой реализации у в соответствии с формулой (3) можно осуществлять гп-канальным устройством (рис. 5.1,а), /-й канал которого формирует условное отношение правдоподобия Л(у(Ое;), 1=1, ..., Рт.
Схема весового суммирования складывает выходные сигналы с весами Рь пРи этом полУчаемое отношение правдоподобия Л подается на пороговое устройство ПУ, которое выносит решение А и с(е согласно алгоритму (2.25). Значение порога Ь определяется используемым критерием оптимальности обнаружения (см. 9 2.2). Пусть множество 6 представляет собой отрезок прямой 10 ы, Оы»»). Разобьем его на лт отрезков точками Оь 1=1, ..., пт+ +1, Оыы=Ог<О»« ... О!« ... Опт+!=Оп!»». Тогда отношение правдоподобия (2) можно представить в виде Л= ~ У+'Л(у!О)ш,(0) (О. 1=! Еу Предположим, что условное отношение правдоподобия Л(у)0) непрерывно поО.
Таккак плотностьвероятностей тно(0))0, то согласно теореме о среднем существуют такие точки Оса~[Оп 0;+!) =ЛОь при которых Л = ~ Л (у)Ое) р,, г=! ' а) Рнс. 5.1, Структурные схемы многоканальных систем обнаружения сигнала н опеннаання его параметра прн байесоаской (а) н небайесоеской (б) постаноаках задачи 193 Если полезный сигнал присутствует в наблюдаемой реализации у, то, отыскав канал, для которого выходной эффект макситазлен (пусть это будет, например, 1-й канал), тем самым определим отрезок Лй„с наибольшей вероятностью содержащий неизвестный параметр, т.
е. осуществим оценивание параметра сигнала. Выне. сение оценки параметра естественно связать с вынесением решения с(1 о наличии сигнала. Не рассматривая пока вопрос об оптимальной взаимосвязи операций обнаружения и оценивания" будем считать, что в случае принятия решения с(1 ключ Кл замыкается и выдает оценку параметра, формируемую на выходе схемы выбора максимума СВМ. 'Таким образом, схема на рис.
5.!,а представляет собой систему совместного обнаружения сигнала и оценивании его параметра. Остановимся на вопросе об оптимальности обнаружителя и измерителя, входящих в эту систему. Если бы случайный параметр 0 мог принимать лишь конечное число дискретных значений О,е:— О с вероятностями р,()=1,, пт), то вместо интеграла в (2) сразу бы имели сумму, т. е. отношение правдоподобия имело бы вид (3), причем 0',=0,. В этом случае каждый канал схемы на рис. 5.1,а был бы точно «настроен» на соответствующее значение параметра О, так как условное отношение правдоподобия Л(у)0,) зависело бы от известной величины 0т.
При этом обнаружитель был бы оптимальным по критерию отношения правдоподобия, и в частности по критерию Неймана— Пирсона (если порог выбран по заданной вероятности ложной тревоги), а измеритель был бы оптимальным по критерию максимума апостернорной вероятности. В последнем нетрудно убедиться, принимая во внимание, что согласно формуле Байеса Л(у(0,) рт= — "(У)0м0="Рт =(с (у) Р(0,)у, 0=1), ее (у)0 = О) где величина Я~ м(у(01 0 = 1) РГ т(( ) 1=1 м(у)0=1) в (у(д = О) м(у(д =- О) не зависит от значения параметра 0 Поэтому на выходе СВМ (рис. 51,а) имеем максимальную апостериорную оценку, максимизирующую апостериорную вероятность Р(0,(у, 6=1), 1'=1, ..., пт, оцениваемого параметра. Отметим, что на выходе СВМ получаем оценку параметра сигнала лишь при 0=1, т, е, при наличии полезного сигнала в наблюдаемом процессе у. " Этот воврос рассматривается в й о 3 194 Рассмотрим теперь более общий случай, когда оцениваемый случайный параметр 8 является непрерывным.
При этом обнару- житель и измеритель, показанные на рис. 5.1,а, будут, вообще говоря, квазиоптимальными. Отход от оптимальности вызван тем, что точки 0',е=Л0, в общем случае неизвестны * и их придется выбирать внутри отрезков ЛО,(1=1, ..., пг) более или менее произвольным образом. При достаточно малых отрезках Л0, (число каналов и велико) проигрыш квазиоптимальных схем по сравнению с оптимальными будет невелик, причем при лт — ~-сс этот проигрыш стремится к нулю. Рассмотренное байесовское решение задачи обнаружения сигнала и оценивания его параметра требует знания априорной плотности вероятностей параметра шс(0), по которой определяются априорные вероятности (4), используемые при весовом суммировании в многоканальном устройстве (рис.
5.1,а). Если эти априорные сведения неизвестны, то суммирование сигналов с выходов каналов может оказаться неэффективным. В этом случае следует использовать иебайесовский подход. Небайесовская задача. Считаем, что оцениваемый параметр 9 является неслучайным, принадлежащим множеству О. В данном случае для синтеза оптимального обнаружителя целесообразно воспользоваться критерием максимального отношения правдоподобия*'. Согласно этому критерию оптимальное правило обнаруже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
