Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Как видим, вторые производные функции неопределенности в начале координат (в точке максимума) позволяют определить элементы информационной матрицы 1 н, следовательно, потенциальные точности совместного измерения времени запаздывания и доплеровского смещения частоты. При этом среднеквадратические ошибки (85) выражаются через указанные производные (с учетом о(=7=0) следующим образом: о = !+» (ч)' )~ — х„,(о,й)(! — ') 1+» ! о( —— (»)' ~-х;((о, о)(1-.*) ' ошибками (г=О) имеем ц 1+д 1 /1+д 1 (ч ) р — х"„ (о, о) у (о ) 1à — у (о, о) где г ции м от Та паздь деляю опред ции н Оц объек дится диоси ловых можн сигна Ра рим задачу оценивания угловой координаты на примере итудного метода пеленгации, использующего зависимость амплитуды принятого сигнала от разности углов га а,— а между направлением максимума результирующей ДН антенной системы ~и направлением прихода радиоволн, отраженных или излученных пелеигуемым объектом.
Результирующая ДН 1р(а) определяется произведением диаграмм направленности передающей и приемной антенн. Если обзор по угловой координате а осуществляется с угловой скоростью О, то положение максимума ДН будет меняться со временем Согласно а к=2(, а амплитуда принимаемого сиг- нала бравом, потенциальные точности измерения времени заи доплеровского смещения частоты радиосигнала опретиошением сигнал-шум д, а также остротой функции не- ости, характеризуемой вторыми производными функделенности в точке максимума.
угловой координаты. Измерение угловых координат зависимости от используемого метода пеленгации своениванию тех или иных параметров принимаемых рав (см. 5 3.2). Поэтому при оптимизации измерения угдинат и расчете потенциальных точностей измерения менить предыдущие результаты оценнвания параметров А (а, г) = Ао 1р (й (( — т)) (4.89) где т=а/Й вЂ” момент совпадения направления максимума диаграммы направленности с направлением на пеленгуемый объект (рис. 4.13). Измерив время т, можно прн известной угловой скорости вращения антенны й определить угловую координату объекта а. Таким образом, в данной постановке задачи углометрии оценка максимального правдоподобия а угловой координаты объекта а определяется через оценку макси- Рнс.
4.!3. Диаграмма, поясняющая опенивание угловой коорди- наты 175 При ализа иаль. дыва- 4.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В $4.1, 4.2, как правило, предполагалось, что параметры принимаемых сигналов не изменяются в течение времени наблюдения. Однако в радиолокации и радионавигации это предположение не всегда выполняется. В общем случае параметры принимаемых сигналов меняются во времени, причем нередко случайным образом.
При этом наиболее общей и в то же время удобной математической моделью изменяющегося параметра сигнала является случайный процесс О(/) = — Оь 176 мального правдоподобия т„момента времени т: а„= этом можно воспользоваться предыдущим результата и оценивания времени запаздывания радиосигнала. Так, п ная точность измерения угловой координаты. о„= ьго„ (4.90) где а, — потенциальная точность измерения времени з ' ния радиосигнала. Пусть, например, главный лепесток результирующей имеет колоколообразную форму /р (а) = ехр [ — а (а/а„)', где а,— ширина ДН антенны на уровне 0,46. Тогда при равномерном обзоре огибающая принимяемого сигнала согласно (89) имеет вид А (а, 1) = А, ехр [ — а (1 — т)э/тэ,], (4.91) где т.,=а,/Π— длительность огибающей сигнала на уровне 0,46. Потенциальная точность измерения времени запаздь/вания сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой, (згибающая которого имеет вид (91), определяется аналогично (75): о,= )с(1+а)/2а(д)'то .
Следовательно, потенциальная точность измерения угловой координаты согласно (90) а,,= 1' (1+ д)/2п (д)' сс,. (4.92) Таким образом, среднеквадратическая ошибка а, характеризующая потенциальную точность углометрии, прямо пропорциональна ширине ДН антенны а,. Подставив соотношение (1.2) в (92), видим, что погрешность измерения а„= ~ тс 1+д 2я (ч)' ль/Х уменьшается с увеличением относительного размера апертуры антенны Ы,/Х. Сиг для которых моделями параметров служат те или иные с ные процессы, называются стохастическими.
При этом задача ивания стохасгического сигнала и его параметров сводится к аче оценивания некоторых случайных процессов. Отметим, чт ерминированный сигнал в(Г) и квазидетерминированный си з(0, 4), где 0 — случайная величина,— предельные час~)1ы ча~и стохастического сигнала з(Оь 1) [53]. Ита сть оцениваемый параметр Ос — случайный процесс, вид ко о пока не конкретизируем. В течение времени [О, г] наблюд реализация д'ь= (д„ 0 =т =4) случайного процесса дь явл гося смесью шума и стохастического сигнала, зависящего араметра Оь В результате наблюдения втой реализации и енения решающей 'функции 6, выносится решение А =б, которое представляет собой оценку параметра О, в момент ени т. Обр внимание на то, что оценка А, зависит от двух моментов ени: от момента окончания на|блюдения 1 и от момента т, д оторого отыскивается оценка параметра О,.
Если этн момент емени совпадают: т=~, то оценивание называется фильтр ц . При т)( оценивание называется экстраполяцией или предсказанием, а при т(1 — интерполяцией или сглаживаиием. Задав функцию потерь с(О, й), можно определить байесовское решение й'ы=б~,(у'ь) путем минимизации среднего риска или же апостериорного риска; ппп М (с [О„, б, (у,') ~ д,'] = М (с [О„б,' (у,')] ( у',] . ь, Это решение и будет оптимальной в байесовском смысле оценкой параметра О,. Причем при т=г имеем оптимальную фильтрационную оценку й*и, а при т)~ и т(1 — оптимальные экстраполяционную и интерполяционную оценки соответственно. При квадратичной функции потерь (3) оптимальные оценки параметра сигнала определяются выражением й„;=М(О,~у,), т: ( (в этом нетрудно убедиться, поступая так же, как и при выводе оценки (4)). Если функция потерь квадратична относительно сигнала з(Оь 1), т. е.
с(0, й) =[з(0, 1) — й]з, 7)0, то оптимальные оценки сигнала й;,=М [ (О„тид,], (4.94) Качество оптимального оценивания определяется значением байесовского риска г*ы=Мс[О„б*, (у'ь)], который при квадратичной функции 'потерь (3) 177 (4.95) ценива- дратиче- у,=а(Оь 1)+$о (=1,2... (4.96) сигнала з(0„1,) и шума е,. Параметр О,=— 0(1,) представляет собой марковский процесс с дискретным временем и непрерывным " См. комментарии к формуле (419). 178 г;,=М 10,— М(О,~ доН', т. е. совпадает со средним значением квадрата ошибки ния. Квадратный корень этой величины есть среднекв ская* ошибка оптимального оценивания: ам= Угаат. Отметим, что среднеквадратические ошибки оптим ьной интерполяции и оптимальной фильтрации удовлетворяют неравенству оы<о„, т(й Это объясняется тем, что дополни льное наблюдение реализации у'т=(уе, т(и(й) не может ух дшить качества оптимального оценивания.
Оно может быть либ улучшено, либо, по крайней мере, остаться прежним. Последнее, как следует нз (95), будет в том случае, если М(От)у'о) =М(~0, у'о), т. е. когда параметр 6, статистически не зависит от допо нительного наблюдения реализации у',. Таким образом, интерполяция позволяет повыситй качество оценивания по сравнению с фильтрацией. Покупаетс~ это ценой увеличения времени наблюдения и усложнения алгоритма обработки на~блюдаемого процесса 1531. Что касается эксТраполяции, то она применяется тогда, когда наблюдение окончейо, однако необходимо продолжать оценивание параметра О,.
Тамая задача возникает, например, во вторичной обработке радиолокационной информации при определении траектории движущегося объекта (гл. 7). Центральное место в теории оценивания случайных процессов занимает задача фильтрации; на ее основе решаются также задачи интерполяции и экстраполяции. В дальнейшем рассматривается только задача фильтрации. Для получения конкретных результатов необходимо задать вид случайного процесса Оо который может служить математической моделью изменяющегося параметра радиосигнала.
Наиболее широкий и в то же время гибкий (в смысле возможности математического исследования) класс случайных процессов составляют марковские случайные процессы [22, 50, 531. Этими процессами можно с необходимой степенью точности аппроксимировать параметры реальных сигналов, используемых в радиолокации и радио. навигации. Поэтому в дальнейшем предполагается, что оцениваемый параметр О~ является марковским случайным процессом. Общие уравнения оптимальной фильтрации. Вначале рассмотрим случай, когда в дискретные моменты времени 1, наблюдается аддитивная смесь фазов м пространством.
Такой процесс описывается переходной (услов ой) плотностью вероятностей ше(91+1 ~8;) и начальной плотнос ью вероятностей ве(О~). Считаем, что шум $; является случайн м процессом с независимыми значениями, описываемыми плотйостью вероятностей ше($;). Так кик оптимальная оценка сигнала и его параметра находится путем минимизации апостериорного риска, то для отыскания таких оценок необходимо определить прежде всего апостериорнук) плотность вероятностей параметра, которую обозначим ш (Ою !У, — У1) = — р; (ОА Е = 1, 2, .... (4.97) При квадратичной функции потерь оптимальные оценки параметра и сигнала, как следует из (93) и (94), соответственно будут д;ч=й4(Е,.!У,)= ( 9, р,(В,)дй,.=бо — ФО (4.98) д,",=М(з(Еь Ыд,)- Р з(йь(,) р,(В,.)дв,='ь где у'~= — (Уь - У) Зная апостериорную плотность р;(9;), можно определять также качество получаемых оценок, в частности среднеквадратическую ошибку фильтрации.
Действительно, качество оптимальной фильтрации можно характеризовать «шириной» апостериорной плотности вероятностей, мерой которой служит апостериорпая дисперсия К,.=МЦ0,— М(Е,~У1)1'1У,) = )' (В,— Е,)'Р,(0,)дв,. (4.99) Ю Усредняя апостериорную дисперсию, получаем (с учетом (2.4)) среднее значение квадрата ошибки оптимальной фильтрации: ИК,=М (И((В,.— 8,)'1УЗ=М(0,— Вд'. Следовательно, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильт- рации (4 100) а" = — о~ = 3' й4 %.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
